9758
.pdf
|
|
b1=1 |
|
b2=1 |
|
b3=1 |
|
b4=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1=1 |
|
|
2 |
|
10 |
|
9 |
7 |
|
|
|
1- - - - - - |
- - - - - - - - - - - - |
- - - - - - |
|
|
|||
a2=1 |
|
| |
15 |
|
4 |
| |
14 |
8 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a3=1 |
|
| |
13 |
|
14 |
| |
16 |
11 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
a4=1 |
|
| |
4 |
|
15 |
| |
13 |
19 |
|
|
|
0- - - - - - |
- - - - - - - - - - - - |
- - - - - - 1 |
|
|
|||
|
|
V1 |
|
V2 |
|
V3 |
|
V4 |
|
1). ai bi |
– закрытая транспортная задача (ТЗ) |
|
|||||||
2). m + n-1=7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
3). ui + vj = Cij |
|
|
|
|
|
|
|
||
u1 + v1=2 |
u1 = 0 |
|
|
|
|
|
|||
u1 + v4=7 |
u2= -6 |
|
|
|
|
|
|||
u2 + v2=4 |
u3 = 4 |
|
|
|
|
|
|||
u3 + v2=14 |
u4 = 2 |
|
|
|
|
|
|||
u3 + v4=11 |
v1 = 2 |
|
|
|
|
|
|||
u4 + v1 =4 |
v2 = 10 |
|
|
|
|
|
|||
u4 + v3=13 |
v3 = 11 |
|
|
|
|
|
|||
u1 =0 |
v4 = 7 |
|
|
|
|
|
|||
4). ij= Cij – (ui + vj) |
|
|
|
|
|
||||
12 |
= 10 – (0 +10) = 10 – 10 = 0 |
|
|
|
|
||||
13 |
= 9 – (0 + 11) = 9 – 11 = -2 |
<0 |
|
|
|
||||
21 |
= 15 – (-6 +2) = 15 + 4 = 19 |
>0 |
|
|
|
||||
23 |
= 14 – (-6 + 11) = 14 – 5 = 9 |
>0 |
|
|
|
||||
24 = 8 – (-6 + 7) = 8 – 1 = 7 |
>0 |
|
|
|
|||||
31 |
= 13 – ( 4 + 2) = 13 – 6 = 7 |
>0 |
|
|
|
||||
33 |
= 16 – (4 + 11) = 16 – 15 = 1 |
>0 |
|
|
|
||||
42 |
= 15 – (2 + 10) = 15 – 12 = 3 |
>0 |
|
|
|
||||
44 |
= 19 – (2 + 7) = 19 – 9 = 10 |
>0 |
|
|
|
||||
Составляем цикл для |
13: |
|
|
|
|
141
U1
U2
U3
U4
|
|
b1=1 |
|
b2=1 |
b3=1 |
b4=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1=1 |
2 |
|
10 |
9 |
7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a2=1 |
15 |
|
4 |
14 |
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a3=1 |
13 |
|
14 |
16 |
11 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a4=1 |
4 |
|
15 |
13 |
19 |
|
|
1 |
|
|
|
|
u1 + v3=9 |
u1 = 0 |
|
|
|
||
u1 + v4=7 |
u2= -6 |
|
|
|
||
u2 + v1=15 |
u3= 4 |
|
|
|
||
u3 + v2=4 |
u4 = -17 |
|
|
|
||
u3 + v2=14 |
v1 = 21 |
|
|
|
||
u3+ v4=11 |
v2 = 10 |
|
|
|
||
u4 + v1=4 |
v3 = 9 |
|
|
|
||
u1 =0 |
v4 = 7 |
|
|
|
||
11 |
= 2 – (0 + 21) = 2 – 21 = - 19 |
< 0 |
|
|
||
12 |
= 10 – (0 + 10) = 10 – 10 = 0 |
= 0 |
|
|
||
23 = 14 – (-6 + 9) = 14 – 3 = 11 |
> 0 |
|
|
|||
24 = 8 – (-6 + 7) = 8 – 1 = 7 |
> 0 |
|
|
|||
31 |
= 13 – (4 + 21) = 13 – 25 = -12 |
< 0 |
|
|
||
33 |
= 16 – (4 + 9) = 16 – 13 = 3 |
> 0 |
|
|
||
42 |
= 15 – (-17 + 10) = 15 + 7 = 22 |
> 0 |
|
|
||
43 |
= 13 – (-17 + 9) = 13 + 8 = 23 |
> 0 |
|
|
||
44 |
= 19 – (-17 + 7) = 19 +10 = 29 |
> 0 |
|
|
||
Берём наибольшее отрицательное |
по модулю для составления цикла |
|
b1=1 |
|
b2=1 |
b3=1 |
b4=1 |
|
|
|
|
|
|
a1=1 |
|
2 |
10 |
9 |
7 |
|
0 |
|
|
1 |
|
a2=1 |
|
15 |
4 |
14 |
8 |
|
|
|
1 |
|
|
a3=1 |
|
13 |
14 |
16 |
11 |
|
|
|
|
|
1 |
a4=1 |
|
4 |
15 |
13 |
19 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
142 |
|
|
Найденный план является оптимальным: x13=1 x22=1 x34=1 x41=1
L(x) = 9+4+11+4=28 y.e.
3.2.2. Задачи для раздела 2. Элементы теории матричных игр.
Задача 1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
P |
1 |
1 |
1 |
. |
|
2 |
0 |
4 |
|
|
|
Имеет ли игра седловую точку?
Решение. Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число i min ai1,ai2 ,ai3 – это гарантированный выигрыш игрока А, при вы-
боре им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой
ij имеет максимальное значение – max 1, 2 , 3 – это нижняя цена игры.
Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число
j max a1 j ,a2 j ,a3 j – это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии B j . Найдем минимальное из этих чисел min 1, 2 , 3 – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу.
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
|
|
A |
|
3 |
-2 |
1 |
1 |
min 3, 2,1 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
1 |
-1 |
1 |
2 |
min 1, 1,1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
0 |
4 |
3 |
min 2,0, 4 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
max 3,1, 2 3 |
2 max 2, 1, 0 0 |
3 max 1,1, 4 4 |
max 2, 1, 0 0 |
|
|
|
|
|
|
min 3, 0, 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
143
Нижняя цена игры 0 равна верхней цене игры 0 . Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия – A3 , для игрока В опти-
мальная стратегия – B2 .
Ответ: 0 , игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии ( A3 , B2 ) .
Задача 2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей
4 |
0 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
||
P |
5 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
Решение. Дана игра 4 х 2, то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у иг-
рока В – 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей (см. рис. 1). Если игрок А
выбирает стратегию A1 , то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями q1, q2 , будет проигрывать, в среднем, q1 a11 q2 a12 q1 ( 4) q2 0 . Отметим на оси ОУ a11 4 , а на оси ей параллель-
ной a12 0 и соединим эти точки прямой линией – она показывает, сколько, в
среднем, получает игрок В, если А использует стратегию A1 , а В чередует стра-
тегии B1 и B2 с некоторыми вероятностями q1, q2 . Аналогично отмечаем на оси ОУ точку –2, а на параллельной ей оси – точку 0 и соединяем отрезком.
Получаем линию, показывающую, сколько в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию A2 . Точно также для A3 и A4 . Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту страте-
гию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рис. 1
144
это ломаная A3 KA4 , выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В
– точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям A3 и
A4 . Выпишем уравнения этих прямых.
Прямая ( A3 A3 ), проходит через точки с координатами (0; 5) и (1; -2).
Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:
x 0 |
|
y 5 |
|
x |
1 |
y |
5 |
. |
|
1 0 |
2 5 |
7 |
7 |
||||||
|
|
|
|
Уравнение прямой ( A4 A4 ), проходящей через точки (0; -3) и (1; 3), запишется в следующем виде:
x 0 |
|
y ( 3) |
x |
1 |
y |
1 |
. |
|
1 0 |
3 ( 3) |
6 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Точка К – точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяю-
щие системе:
x 17 y 75 .
x 1 y 16 2
Решаем систему:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
1 |
|
1 |
|
13 |
|
3 |
|
3 |
|
42 |
|
9 |
|
|||||||
7 |
7 |
|
y |
|
y |
|
y |
y |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
7 |
6 |
2 |
42 |
14 |
14 |
13 |
13 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда,
x 16 139 12 138 .
Следовательно, цена игры v 139 и оптимальная стратегия для игрока В:
q2 138 , q1 1 138 135 .
145
Для игрока А, стратегии A1 и A2 будут не активными, игроку А не вы-
годно их использовать. Максимально возможный выигрыш, равный цене игры
v 139 , игрок А будет получать, используя стратегии A3 и A4 . Найдем опти-
мальную смешанную стратегию для игрока А из следующей системы, учиты-
вая, что A1 и A2 не активные стратегии, то есть p1 p2 0 :
|
|
|
|
4 p 2 p |
|
|
5 p |
|
3 p |
|
|
v |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
1 p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 p1 0 p2 |
|
2 p3 3 p4 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
5 1 |
p4 |
3 p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
p |
2 |
p |
3 |
p |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
9 |
|
8 p4 |
p4 |
|
7 |
; p3 1 p4 |
1 |
7 |
|
|
|
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
13 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|||
Ответ: Цена игры v |
|
|
|
, оптимальные стратегии игроков |
|
S A 0, 0, |
|
|
, |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 13 |
|
||||||
* |
5 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SB |
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
13 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Если игра размера 2 х n, то ее следует решать для игрока А.
Тогда на чертеже следует выбирать нижнюю границу и максимальное значении этой границы.
Задача 3. Упростить матричную игру, платежная матрица которой имеет
вид:
Bj |
|
|
|
|
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
Ai |
|
|
|
|
|
A1 |
5 |
9 |
3 |
4 |
5 |
A2 |
4 |
7 |
7 |
9 |
10 |
A3 |
4 |
6 |
3 |
3 |
9 |
A4 |
4 |
8 |
3 |
4 |
5 |
A5 |
4 |
7 |
7 |
9 |
10 |
|
|
|
|
146 |
|
Из платежной матрицы видно, что стратегия А2 дублирует стратегию А5,
потому любую из них можно отбросить (отбросим стратегию А5). Сравнивая почленно стратегии А1 и А4, видим, что каждый элемент строки А4 не больше соответствующего элемента строки А1. Поэтому применение игроком А доми-
нирующей над А4 стратегии А1 всегда обеспечивает выигрыш, не меньший то-
го, который был бы получен при применении стратегии А4. Следовательно,
стратегию А4 можно отбросить. Таким образом, имеем упрощенную матричную игру с платежной матрицей вида:
Bj |
|
|
|
|
|
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
Ai |
|
|
|
|
|
A1 |
5 |
9 |
3 |
4 |
5 |
A2 |
4 |
7 |
7 |
9 |
10 |
A3 |
4 |
6 |
3 |
3 |
9 |
Из этой матрицы видно, что в ней некоторые стратегии игрока В домини-
руют над другими: В3 над В2, В4 и В5. Отбрасывая доминируемые стратегии В2,
В4 и В5, получаем игру 3x2, имеющей платежную матрицу вида:
Bj |
|
|
Ai |
B1 |
B3 |
A1 |
5 |
3 |
A2 |
4 |
7 |
A3 |
4 |
3 |
В этой матрице стратегия А3 доминируется как стратегией А1, так и страте-
гией А2. Отбрасывая стратегию А3, окончательно получаем игру 2x2 с платеж-
ной матрицей:
Bj |
|
|
|
B1 |
B3 |
Ai |
|
|
A1 |
5 |
3 |
A2 |
4 |
7 |
147
Эту игру уже упростить нельзя, ее надо решать рассмотренным выше ал-
гебраическим или геометрическим методом.
Необходимо отметить, что отбрасывая дублируемые и доминируемые стратегии в игре с седловой точкой, мы все равно придем к игре с седловой точкой, т.е. к решению в чистых стратегиях. Но лучше сразу проверить, не об-
ладает ли игра седловой точкой – это проще, чем сравнивать почленно все строки и все столбцы платежной матрицы.
Алгебраические методы решения матричных игр иногда производить про-
ще, если использовать также следующие свойства матричных игр.
Свойство 1. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить (вы-
честь) одно и тоже число С, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изменятся, а только цена игры увеличится (уменьшится) на это число С.
Свойство 2. Если каждый элемент платежной матрицы умножить на по-
ложительное число k, то оптимальные смешанные стратегии игроков не изме-
нятся, а цена игры умножится на k.
Отметим, что эти свойства верны и для игр, имеющих седловую точку. Эти два свойства матричных игр применяются в следующих случаях:
1)если матрица игры наряду с положительными имеет и отрицательные элементы, то ко всем ее элементам прибавляют такое число, чтобы исключить отрицательные числа в матрице;
2)если матрица игры имеет дробные числа, то для удобства вычислений элементы этой матрицы следует умножить на такое число, чтобы все выигрыши были целыми числами.
Задача 4. Решить матричную игру 2х2 с платежной матрицей вида:
Bj |
|
|
|
B1 |
B2 |
Ai |
|
|
A1 |
0.5 |
-0.2 |
A2 |
0.1 |
0.3 |
148
Умножая все элементы платежной матрицы на 10, а затем прибавляя к ним число 2, получаем игру с платежной матрицей
Bj
|
B1 |
B2 |
Ai |
|
|
A1 |
7 |
0 |
A2 |
3 |
5 |
Решая эту игру алгебраическим методом, получаем
p |
|
5 3 |
|
|
2 |
|
; |
p |
|
|
7 |
; |
|
|||||||
1 |
|
7 |
5 3 0 |
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
9 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
q |
|
5 0 |
|
|
5 |
; |
|
q |
|
|
4 |
|
; |
|||||||
1 |
|
7 |
5 3 0 |
|
9 |
|
|
|
|
|
2 |
9 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
v |
|
7 5 0 3 |
|
35 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7 5 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии со свойствами 1 и 2, исходная матричная игра имеет те же
оптимальные смешанные стратегии: S A 92 : 79 и S B 95 : 94 . А для получения ис-
ходной цены игры необходимо из полученной цены игры вычесть 2, а затем
35 |
|
|
17 |
|
|||
разделить на 10. Таким образом, получаем цену исходной игры: |
|
|
2 :10 |
|
|
|
. |
9 |
|
90 |
|||||
|
|
|
|
|
Задача 5. (сведение матричной игры к задаче линейного программирова-
ния).
Дана платежная матрица:
Прибавляя ко всем элементам матрицы (Пij) число K= 5, приходим к мат-
рице модифицированной игры
которой соответствует задача линейного программирования
149
Воспользовавшись симплекс-методом, находим решение:
Таким образом, цена модифицированной игры
а цена исходной игры ν*=( 1 )* – 5 = 0. При этом
p1* ( 1 )* x , |
|
|
|
|
i 1,3. |
||||
i |
i |
|
|
|
т.е. оптимальная смешанная стратегия первого игрока
* |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
T |
s x1 |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
2 |
4 |
|||||
|
4 |
|
|
|
В рассматриваемой игре (Пij)T = (Пij) и s*х2 s*х1 . Нетрудно найти опти-
мальную смешанную стратегию второго игрока, решив соответствующую зада-
чу линейного программирования, и убедиться в том, что она совпадает с опти-
мальной смешанной стратегией первого игрока.
Завершая рассмотрение игр двух участников с нулевой суммой без седло-
вых точек, заметим, что при использовании смешанных стратегий перед каж-
дой партией игры каждым игроком запускается некий механизм (бросание мо-
неты, игральной кости или использование датчика случайных чисел), обеспечи-
вающий выбор каждой чистой стратегии с заданной вероятностью. Как мы уже отмечали, смешанные стратегии представляют собой математическую модель гибкой тактики, при использовании которой противник не знает заранее, с ка-
кой обстановкой ему придется столкнуться в каждой следующей партии игры.
При этом ожидаемые теоретические результаты игры, при неограниченном воз-
растании числа разыгрываемых партий, стремятся к их истинным значениям.
150