9758
.pdfтимальные управления на каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах, начиная с данного и до конца процесса;
второй раз – от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные управления на всех шагах процесса.
Аналогично рассуждая, можно выстроить и прямую схему условной опти-
мизации:
Z *(s |
0 |
) max f (s |
0 |
, X |
1 |
) |
, |
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
|
||||||||
1 |
|
{X1 |
} |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z * (s |
k 1 |
) max{ f |
(s |
k |
1 |
, X |
k |
) Z * |
1 |
(s |
k |
2 |
)} |
( k 2, n) |
. |
(10) |
||||||||
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
{Xk } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оптимальное решение задачи в данном случае находится по следующей схе-
ме:
Z Z * (s ) X * (s ) Z * (s ) X * (s )
max n n 1 n n 1 n 1 n 2 n 1 n 2Z 2 (s1 ) X 2* (s1) Z1* (s0 ) X1* (s0 ).
Таким образом, построение модели динамического программирования и ре-
шение задачи на ее основе в общем виде можно представить в виде следующих этапов:
1.Выбирают способ деления процесса управления на шаги.
2.Определяют параметры состояния sk и переменные управления Xk на
каждом шаге, записывают уравнения состояний.
3. Вводят целевые функции k-ого шага и суммарную целевую функцию, а
также условные оптимумы Z * (s ) и условное оптимальное управление на k- k k 1
ом шаге X k* (sk 1) ( k {1, 2, ..., n}).
4. Записывают в соответствии с обратной или прямой схемой рекуррентные уравнения Беллмана и после выполнения условной оптимизации получают две
последовательности: { Z * (s ) } и { X * (s ) }. k k 1 k k 1
101
5. Определяют оптимальное значение целевой функции Z * и оптимальное решение X * .
Метод ДП позволяет с успехом решать экономические задачи. Рассмотрим одну из простейших таких задач:
Задача распределения средств между предприятиями.
Имеется определенное количество ресурсов s0, которое необходимо распре-
делить между n хозяйствующими субъектами на текущую деятельность в течение рассматриваемого периода (месяц, квартал, полугодие, год и т.д.) с целью полу-
чения совокупной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов xi
n
( i 1, n ; xi so ) в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны не-
i 1
которой величине h. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объема используемых средств xi за рассматриваемый период приносит при-
быль в размере fi(xi) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты).
Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Представим процесс распределения ресурсов между хозяйствующими субъ-
ектами как n-шаговый процесс управления (номер шага совпадает с условным номером хозяйствующего субъекта). Пусть sk ( k 1, n ) – параметр состояния, т.е.
количество свободных средств после k-го шага для распределения между остав-
шимися (n – k) хозяйствующими субъектами. Тогда уравнения состояний можно записать в следующем виде:
|
|
|
|
sk sk 1 xk , (k 1, n). |
(11) |
Введем в рассмотрение функцию Z * (s ), (k 1, n) – условно оптимальная
k k 1
совокупная прибыль, полученная от k-го, (k+1)– го, …, n-го хозяйствующих субъ-
ектов, если между ними оптимальным образом распределялись ресурсы в объеме
102
sk 1 ( 0 sk 1 s0 ). Множество возможных управленческих решений относи-
тельно размера распределяемых ресурсов на k-ом шаге можно представить сле-
дующим образом: 0 xk |
sk 1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Тогда рекуррентные уравнения Р.Э. Беллмана (обратная схема) будут иметь |
|||||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
* (s |
n 1 |
) max |
f |
n |
(x |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
0 xn sn 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
* (s |
|
|
|
|
|
(x ) Z * |
|
|
|
|
|
|
||||
Z |
k 1 |
) |
max |
{ f |
k |
(s |
k |
)}, (k n 1,1), |
(12) |
||||||||
|
k |
|
0 xk sk 1 |
|
|
|
k |
k 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
max |
Z * (s ) max { f (x ) Z * (s )}. |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
0 x1 s0 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далее по полученным результатам условной оптимизации можно определить |
оптимальное распределение ресурсов X * (x*, x* |
, , x* ) по следующей схеме: |
|
1 2 |
|
n |
s0 Zmax Z1*(s0) x1* s1 s0 x1* Z2*(s1) x2* sn 1 |
sn 2 xn* 1 Zn*(sn 1) xn*. |
Пример. Имеется определенное количество ресурсов s0=100, которое необ-
ходимо распределить между n=4 хозяйствующими субъектами на текущую дея-
тельность в течение рассматриваемого периода (месяц) с целью получения сово-
n
купной максимальной прибыли. Размеры вложений ресурсов xi ( i 1, n ; xi so )
i 1
в деятельность каждого хозяйствующего субъекта кратны величине h=20 и заданы вектором Q. Известно, что каждый хозяйствующий субъект в зависимости от объ-
ема используемых средств xi за рассматриваемый период приносит прибыль в размере fi(xi) ( i 1, n ) (не зависит от вложения ресурсов в другие хозяйствующие субъекты):
103
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
20 |
|
|
|
14 |
17 |
22 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
40 |
|
|
|
26 |
20 |
21 |
33 |
|
Q |
|
|
; |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
35 |
32 |
37 |
46 |
|
|
80 |
|
|
|
52 |
61 |
67 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
61 |
72 |
58 |
42 |
|
100 |
|
|
|
|
Необходимо определить, какой объем ресурсов нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.
Решение.
Особенности модели: ограничения линейные, но переменные целочислен-
ные, а функции fi (x ) заданы таблично, поэтому нельзя применить методы цело-
численного программирования.
Составим рекуррентные уравнения Беллмана (обратную схему):
Z |
* (s |
n 1 |
) max |
f |
n |
(x |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
0 xn sn 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Zk* (sk 1 ) |
|
{ fk (xk ) Zk* 1 (sk )}, |
|
|
|
|
|||||||||
max |
(k n 1,1), |
(13) |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 xk sk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
max |
Z * (s ) max { f (x ) Z * (s )}. |
|
||||||||||||
|
|
1 |
0 |
0 x1 s0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим условные максимумы в соответствии с (13), результаты расчетов представлены в таблице 1.
104
Таблица 1. Расчет условных оптимумов
sk-1 xk |
sk |
k=3 |
k=2 |
k=1 |
|
|
|
f |
3 |
(x ) Z * (s ) |
Z |
* (s |
2 |
) |
x* (s |
2 |
) |
f |
2 |
(x |
2 |
) Z * (s |
2 |
) |
Z |
* (s ) |
x* (s ) |
f |
1 |
(x ) Z * (s ) |
Z |
* (s |
0 |
) |
x* (s |
0 |
) |
||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
9 |
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
20 |
0 |
20 |
0+20=20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0+22=22 |
|
|
22 |
|
|
0 |
|
0+22=22 |
|
|
22 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
20 |
0 |
22+0=22 |
|
|
|
|
|
|
|
17+0=17 |
|
|
|
|
|
|
|
14+0=14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
40 |
0 |
40 |
0+33=33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0+42=42 |
|
|
42 |
|
|
0 |
|
0+42=42 |
|
|
42 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
20 |
20 |
22+20=42 |
|
|
|
|
|
|
|
17+22=39 |
|
|
|
|
|
|
|
14+22=36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
40 |
0 |
21+0=21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20+0=20 |
|
|
|
|
|
|
|
26+0=26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
60 |
0 |
60 |
0+46=46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0+55=55 |
|
|
|
|
|
|
|
0+59=59 |
|
|
59 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
59 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
20 |
40 |
22+33=55 |
|
|
|
|
|
|
|
17+42=59 |
|
|
|
|
|
14+42=56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
40 |
20 |
21+20=41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20+22=42 |
|
|
|
|
|
|
|
26+22=48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
60 |
0 |
37+0=37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32+0=32 |
|
|
|
|
|
|
|
35+0=35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
80 |
0 |
80 |
0+30=30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0+68=68 |
|
|
|
|
|
|
|
0+72=72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
72 |
|
|
20 |
|
|
|
|
73 |
|
|
|
20 |
|
|
||||||||
|
20 |
60 |
22+46=68 |
|
|
|
|
|
|
|
17+55=72 |
|
|
|
|
|
14+59=73 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
40 |
40 |
21+33=54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20+42=64 |
|
|
|
|
|
|
|
26+42=68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
60 |
20 |
37+20=57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32+22=54 |
|
|
|
|
|
|
|
35+22=57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
80 |
0 |
67+0=67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61+0=61 |
|
|
|
|
|
|
|
52+0=52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
100 |
0 |
100 |
0+42=42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0+87=87 |
|
|
87 |
|
|
0 |
|
0+87=87 |
|
|
87 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
20 |
80 |
22+30=52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17+68=85 |
|
|
|
|
|
|
|
14+72=86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
40 |
60 |
21+46=67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20+55=75 |
|
|
|
|
|
|
|
26+59=85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
60 |
40 |
37+33=70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32+42=74 |
|
|
|
|
|
|
|
35+42=77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
20 |
67+20=87 |
|
|
|
|
|
|
|
61+22=83 |
|
|
|
|
|
|
|
52+22=74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
100 |
0 |
58+0=58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72+0=72 |
|
|
|
|
|
|
|
61+0=61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам условной оптимизации определим оптимальное распре-
деление ресурсов:
s |
Z |
max |
Z* (s |
) x* s s |
x* Z* (s ) x* |
s |
n 1 |
s |
n 2 |
x* |
Z* |
0 |
|
1 0 |
1 1 0 |
1 2 1 2 |
|
|
n 1 |
n |
s0 100 Z max Z1* (s0 ) Z1* (100) 87 x1* 0
s1 s0 x1* 100 0 100 Z 2* (s1 ) Z 2* (100) 87 x2* 0
s2 s1 x2* 100 0 100 Z3* (s2 ) Z3* (400) 87 x3* 80
s3 s2 x3* 100 80 20 Z 4* (s3 ) Z 4* (20) 22 x4* 20
s4 s3 x4* 20 20 0.
(s |
n 1 |
) x*. |
|
n |
Таким образом, оптимальное распределение ресурсов:
X * (x1* , x2* , x3* , x4* ) (0, 0, 80, 20) ,
которое обеспечит наибольшую прибыль в размере 87 усл. ден. ед.
Ответ: оптимальное распределение ресурсов: X * (0, 0, 80, 20) , которое обеспечивает наибольшую прибыль в 87 усл. ден. ед.
Задача инвестирования:
Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сде-
лать инвестиции P1, P2,…, Pn, соответственно. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r1, а
второй r2. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы.
Премиальные меняются от года к году, и для і-ого года равны qi1 и qi2 в
первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются к концу года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находится там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиции на следующие n лет.
Элементы модели динамического программирования следующие: 1. Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,...n.
106
2. Вариантами решения на і-м этапе (для і-ого года) являются суммы li и li инвестиций в первый и второй банк соответственно.
3. Состоянием xi на і-м этапе является сумма денег на начало і-ого года,
которые могут быть инвестированы.
Заметим, что по определению li xi li . Следовательно,
где і=2,3,…n, x1=P1. Сумма денег xi, которые могут быть инвестированы,
включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделан-
ные на протяжении (і-1)-го года.
Пусть fi(xi) – оптимальная сумма инвестиций для интервала от і-го до n-го года при условии, что в начале і-го года имеется денежная сумма xi. Далее обо-
значим через si накопленную сумму к концу і -го года при условии, что li и
(xi –li ) – объемы инвестиций на протяжении і-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая i (1 ri ) , і=1,2, мы можем сформулировать зада-
чу в следующем виде.
Максимизировать z=s1 +s2 +…+sn , где
Так как премиальные за n-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для sn добавлены qn 1 и qn 2.
Итак, в данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид
где xi +1 выражается через xi в соответствии с приведенной выше форму-
лой, а fn +1 (xn +1 )=0.
107
Задача о загрузке.
Задача о загрузке – это задача о рациональной загрузке судна (самолета,
автомашины и т.п.), которое имеет ограничения по объему или грузоподъемно-
сти. Каждый помещенный на судно груз приносит определенную прибыль. За-
дача состоит в определении загрузки судна такими грузами, которые приносят наибольшую суммарную прибыль.
Рекуррентное уравнение процедуры обратной прогонки выводится для общей задачи загрузки судна грузоподъемностью W предметов (грузов) n
наименований. Пусть mi – количество предметов і-го наименования, подлежа-
щих загрузке, ri – прибыль, которую приносит один загруженный предмет і-го наименования, wi – вес одного предмета і-го наименования. Общая задача имеет вид следующей целочисленной задачи линейного программирования.
Максимизировать z=r1 m1 +r2 m2 +…+rn mn .
при условии, что w1 m1 +w2 m2 +…+wn mn W, m1 ,m2 ,…,mn 0 и целые.
Три элемента модели динамического программирования определяются следующим образом:
1.Этап і ставится в соответствии предмету і-го наименования, і=1,2,…n.
2.Варианты решения на этапе і описываются количеством mi предметов і-
го наименования, подлежащих загрузке. Соответствующая прибыль равна ri mi .
Значение mi заключено в пределах от 0 до [W/wi ], где [W/wi ] – целая часть числа W/wi .
3. Состояние xi на этапе і выражает суммарный вес предметов, решения о погрузке которых приняты на этапах і,і+1,...n. Это определение отражает тот факт, что ограничения по весу является единственным, которое связывает n
этапов вместе.
Пусть fi (xi ) – максимальная суммарная прибыль от этапов і,і+1,...,n при заданном состоянии xi . Проще всего рекуррентное уравнение определяется с помощью следующей двухшаговой процедуры.
108
Шаг 1. Выразим fi (xi ) как функцию fi +1 (xi +1 ) в виде
где fn +1 (xn +1 )=0.
Шаг 2. Выразим xi +1 как функцию xi для гарантии того, что левая часть по-
следнего уравнения является функцией лишь xi . По определению xi –xi +1 пред-
ставляет собой вес, загруженный на этапе і, т.е. xi -xi +1 =wi mi или xi +1 =xi – wi mi . Следовательно, рекуррентное уравнение приобретает следующий вид:
Задача замены оборудования.
Чем дольше механизм эксплуатируется, тем выше затраты на его обслужи-
вание и ниже его производительность. Когда срок эксплуатации механизма до-
стигает определенного уровня, может оказаться более выгодной его замена. За-
дача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптималь-
ного срока эксплуатации механизма.
Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении n
лет. В начале каждого года принимается решение либо об эксплуатации меха-
низма еще один год, либо о замене его новым.
Обозначим через r(t) и c(t) прибыль от эксплуатации t-летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s(t) – стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет.
Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяже-
нии всех лет и равна l.
Элементы модели динамического программирования таковы:
1.Этап і представляется порядковым номером года і, і=1,2,...n.
2.Вариантами решения на і-м этапе (т.е. для і-ого года) являются альтер-
нативы: продолжить эксплуатацию или заменить механизм в начале і-ого года.
109
3. Состоянием на і-м этапе является срок эксплуатации t (возраст) меха-
низма к началу і-ого года.
Пусть fi (t) – максимальная прибыль, получаемая за годы от і до n при условии, что в начале і-ого года имеется механизм t-летнего возраста.
Рекуррентное уравнение имеет следующий вид:
(1)–если эксплуатировать механизм,
(2)– если заменить механизм.
Преимущества и недостатки метода динамического программирова-
ния. К числу положительных качеств можно отнести:
1.МДП дает возможность решать задачи, которые раньше не исследова-
лись из-за отсутствия соответствующего математического аппарата.
2.МДП в ряде случаев сокращает объем при поиске оптимальных реше-
ний.
Кнедостаткам относятся:
1.Отсутствие универсального алгоритма, который был бы пригоден для решения всех задач (мы имеем только схему).
2.Трудности при решении задач большой размерности.
2.4 Контрольные вопросы
Контрольные вопросы к разделу 1 «Задачи линейного программиро-
вания и методы решения».
1.Задачи линейного программирования. Геометрическое решение задач линейного программирования.
2.Задачи линейного программирования. Симплексный метод.
3.Проблема поиска допустимого базисного решения.
4.Теория двойственности в решении задач линейной оптимизации.
110