9698
.pdfy = y0 |
равно значению частной производной по y функции f ( x, y) в |
точке |
M 0 (x0 , y0 ) |
dz( y) |
|
= |
¶f (x0 , y) |
|
= |
¶f (x0 , y0 ) = tgb, |
|
dy |
¶y |
||||||
|
y= y0 |
|
y= y0 |
¶y |
|||
|
|
|
|
|
где β – угол между касательной BM 0 к кривой z( y) = f (x0 , y) в точке M 0 и плоскостью xOy . Аналогичные рассуждения приводят к тому, что
∂f (x0 , y0 ) = tgα ,
∂y
где |
α – |
угол между касательной AM 0 |
к кривой z(x) = f (x, y0 ) |
в точке |
|
M 0 |
и плоскостью |
xOy . |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь понятие производной по направлению. |
Пусть в |
|||
области |
D , в которой определена функция z = f ( x, y) , в некоторой |
||||
внутренней точке |
M 0 (x0 , y0 ) задано |
направление вектором |
s (см. |
рис.1.5). Нас интересует, как быстро меняется значение функции при
движении точки M ( x, y) вдоль этого направления. Пусть |
s = |
x2 + y2 |
|||
|
0 и M , а |
R |
= cosα ×i + sinα × j – |
|
|
расстояние между точками M |
e |
единичный |
|||
вектор заданного направления |
s . |
|
|
|
|
y |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
M (x, y ) |
D |
|
M0 ( x0 , y0 ) α
x
Рис. 1.5
Тогда координаты точки M ( x, y) равны: x = x0 + Dx = x0 + Ds × cosα , y = y0 + Dy = y0 + Ds ×sinα , а приращение функции в этом направлении
Ds z = f (x0 + Ds ×cosα , y0 + Ds ×sinα ) - f (x0 , y0 ) .
Если точка M стремится к точке M 0 , то s → 0 .
Производной функции z = f ( x, y) в точке M 0 ( x0 , y0 ) в заданном направлении s называется предел
250
|
lim |
s z = lim |
f (x0 + s cosα , y0 + s sinα ) − f (x0 , y0 ) |
= ∂f . |
(36.1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
s→0 |
s |
s→0 |
|
|
|
|
|
|
s |
∂ z |
∂ z |
|
∂s |
|
||||
|
В частности, частные производные |
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂ x ; |
|
|
это производные по |
|||||||||||||||
|
∂ y |
||||||||||||||||||
положительному |
направлению координатных осей. |
Найдём, например, |
|||||||||||||||||
частную производную в точке |
M 0 (x0 , y0 ) |
|
положительном направлении |
||||||||||||||||
оси Ox . В этом случае |
угол |
|
α = 0O , |
y = 0 , а |
s = |
x и формула (36.1) |
|||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
f (x0 + |
x, y0 ) − f (x0 , y0 ) |
= ∂f |
|
|||||||||||
|
|
lim |
x z = lim |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|||
|
|
Лекция 37. Производные сложных функций |
|
||||||||||||||||
|
37.1. Дифференцирование сложных функций. Будем предполагать, |
||||||||||||||||||
что |
функция |
z = f ( x, y) имеет непрерывные частные производные в |
|||||||||||||||||
области D , а функции |
x(t ) |
|
и y(t ) |
имеют непрерывные производные в |
|||||||||||||||
промежутке α ≤ t ≤ β . Тогда функция |
z = f ( x(t), y(t)) – сложная функция |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
t . |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|||
одной переменной |
Для |
производной |
|
|
|
этой функции справедлива |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||
следующая формула |
|
|
|
= ∂f |
|
+ ∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dz |
dx |
|
dy |
. |
|
|
(37.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x dt |
∂y dt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Для доказательства рассмотрим приращение |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z = f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) = f ( x, y ) − f ( x0 , y ) + f ( x0 , y ) − f ( x0 , y0 ) . |
|||||||||||||||||
В первой из разностей изменяется только |
x , а во второй – только |
y , т.е. |
|||||||||||||||||
каждая из этих разностей – |
это функция одной переменной. Применим к |
||||||||||||||||||
ним формулу Лагранжа (формулу конечных приращений) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
z = fx′(ξ, y)(x − x0 ) + f y′(x0 ,η)( y − y0 ) , |
|
||||||||||||||
где |
ξ лежит в интервале между |
x |
и x0 , а |
η – |
между y и y0 . К |
||||||||||||||
разностям |
x − x0 |
и |
y − y0 опять применим формулу Лагранжа |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x − x0 = x(t ) − x(t0 ) = x′(t1 )(t − t0 ) = x′(t1 ) t |
|
||||||||||||||
|
|
|
y − y0 = y (t ) − y (t0 ) = y′(t2 )(t − t0 ) = y′(t2 ) t , |
|
|||||||||||||||
где t1 , t2 расположены между |
|
t |
и t0 . Таким образом, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
251 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = fx′(ξ, y)x′(t1) + fy′(x0 ,η) y′(t2 ) . t
Переходя в этом равенстве к пределу и замечая, что при t → 0 имеем
t → t0 t1 , t2 → t0 x → x0 , y → y0 ξ → x0 ,η → y0 ,
с учетом непрерывности всех, входящих в это равенство функций, получаем
dz |
= fx′(x0 |
, y0 )x′(t0 ) + f y′(x0 , y0 ) y′(t0 ) . |
||
|
|
|
||
|
||||
dt t0 |
|
|
||
В силу произвольности значения |
t0 приходим к формуле (37.1). |
Заметим, что это естественное обобщение формулы производной сложной функции одной переменной. В случае большего числа переменных, например, если z = f (u(t), v(t), w(t)) , то
dz |
= |
∂f |
du |
+ |
∂f |
dv |
+ |
∂f |
|
dw |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
∂u dt |
∂v dt |
∂w dt |
37.2. Вычисление производной по направлению. Теперь мы можем получить формулу для вычисления производной по направлению. В самом деле, согласно определению (37.1) производная по направлению совпадает
с |
производной от |
сложной |
функцией |
z = f ( x( s), y( |
s)) , где |
||
x( |
s) = x0 + s cos α, y( |
s) = y0 + |
s sin α . Применяя формулу |
(37.1), |
|||
получаем |
|
∂z |
∂f |
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R |
= ∂x cos α + ∂y sin α . |
|
(37.2) |
|
|
|
|
∂l |
|
Обратим только внимание на тот факт, что в определении производной по направлению мы приближаемся к данной точке с одной стороны, т.е. имеем односторонний предел. Например, частная производная по отрицательному направлению оси абсцисс отличается знаком от частной производной по переменной x .
Аналогичным образом вводится понятие производной по направлению для функции трёх переменных u = F ( x, y, z)
∂u |
= |
∂F |
cos α + |
∂F |
cosβ + |
∂F |
cos γ, |
∂l |
∂x |
∂y |
∂z |
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
252
R |
= cosαi + cosβ j + cosγk – единичный вектор заданного направления |
где e |
l , а α, β, γ – углы между осями координат и этим вектором.
Приведём без доказательства формулы для производной сложной функции z = f (u,v) , u = u( x, y), v = v( x, y) . В итоге
z = f (u( x, y), v( x, y)) = Φ( x, y)
будет функцией двух переменных и ее частные производные находятся по формулам
∂z ∂f ∂u |
|
∂f ∂v |
|
∂z |
|
∂f ∂u |
|
∂f ∂v |
∂x = ∂u ∂x |
+ |
∂v ∂x |
, |
|
= |
∂u ∂y |
+ |
∂v ∂y . |
∂y |
37.3. Дифференцирование неявных функций. Полученные нами правила дифференцирования сложных функций позволяют более просто, чем ранее, находить производные функций, заданных неявно. Пусть
уравнение |
F ( x, y) = 0 |
определяет |
y = ϕ( x) |
как |
|
некоторую |
|||||
дифференцируемую функцию. Тогда имеем тождество F ( x, ϕ ( x)) ≡ 0 . |
|||||||||||
Дифференцируем его по переменной |
x , рассматривая левую часть |
||||||||||
как сложную функцию одной переменной, где |
x = x . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ϕ(x) |
|
|
|
|
∂F |
dx |
+ |
∂F |
dy |
= 0 |
dy |
= − ∂F |
∂F |
. |
(37.3) |
|
|
|
dx |
|
|||||||
|
∂x dx |
∂y dx |
∂x ∂y |
|
|
||||||
Пусть |
теперь уравнение F ( x, y, z) = 0 |
определяет |
z = z( x, y) как |
некоторую функцию двух переменных, у которой существуют частные производные. Как их найти?
Продифференцируем тождество |
F ( x, y, z( x, y)) ≡ 0 по переменной x , |
|||||||||||||
рассматривая его |
левую часть как |
сложную функцию F (u, v, w) , где |
||||||||||||
«промежуточные» функции имеют вид: u = x , v = y , z = z( x, y) : |
||||||||||||||
|
∂F |
dx |
+ |
∂F |
dy |
+ |
∂F ∂z = 0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂x dx |
∂y dx |
∂z ∂x |
|||||||||||
Поскольку x и y |
независимые переменные, то |
dy |
= 0 и, следовательно, |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∂z |
= − |
∂F |
∂F |
|||||||
|
|
|
|
∂x |
∂x |
∂z . |
||||||||
Аналогично, из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂F |
dx |
+ ∂F |
dy |
+ ∂F ∂z = 0 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
∂x dy |
∂y dy |
∂z ∂y |
получаем
253
Выясним геометрический смысл модуля градиента функции двух переменных. Пусть e – единичный вектор направления наибольшего возрастания функции в данной точке. Тогда производная по этому направлению равна
∂z |
UUUUUR |
R |
UUUUUUUR |
|
|
|
|
R |
= (gradz,e) = |
gradz |
= z′2 |
+ z′ 2 . |
|||
∂e |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
отсюда следует, что модуль градиента – это «скорость» изменения функции в направлении наибольшего возрастания функции в данной точке. Как характеризует величина этой «скорости» поверхность z = f ( x, y) в окрестности данной точки? Рассмотрим сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через точку M ( x0 , y0 ) и вектор e
(см. рис. 37.1).
z = f ( x, y)
M 1
e
αM 0 ( x0 , y0 )
B
Рис. 37.1
Касательная |
BM 1 к сечению поверхности в точке M 1 ( x0 , y0 , z0 ) составляет |
|||||||
с вектором |
e , а значит и с плоскостью |
xOy , |
угол α , тангенс которого |
|||||
равен |
|
∂zR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UUUUUUUR |
|
|
|
|
|
|
tgα = |
= |
gradz |
= z′2 + z′ 2 . |
||||
|
|
∂e |
|
|
x |
y |
||
|
|
|
|
|
|
Эту величину называют крутизной подъёма поверхности в данной точке. Теперь убедимся в том, что в каждой точке градиент направлен по нормали к линии уровня f ( x, y) = C , проходящей через данную точку. Пусть функция z = f ( x, y) имеет непрерывные частные производные, а её линия уровня, проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 ) , имеет касательную в этой точке. Обозначим направление этой касательной единичным вектором e . Тогда производная по этому направлению в точке M 0 из
интуитивных соображений должна быть равна нулю. Убедимся в этом.
255
y
β
α
M 0 (1, 2)
x
Рис. 37.3
Крутизна подъёма поверхности в данной точке равна (см. рис. 37.4)
tgϕ = −2i − j = 5 ϕ ≈ 66O .
z
x
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.4 |
|
|
|
|
37.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть |
|||||
поверхность задана уравнением |
F ( x, y, z) = 0 . Будем предполагать, |
что в |
||||
точке |
поверхности M 0 ( x0 , y0 ,z0 ) |
|
∂F |
|
∂F |
|
частные производные |
, |
|
, |
|||
|
∂F |
|
|
∂x 0 |
|
∂y 0 |
|
существуют, непрерывны и хотя бы одна из них отлична от нуля. |
|||||
|
|
|||||
|
∂z 0 |
|
|
|
|
|
Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L , проходящую через |
||||||
точку |
M 0 . Пусть она задана параметрическими уравнениями |
|
|
257
x = x(t) |
|
|
|
0 ( x0 , y0 , z0 ) = M |
0 ( x(t0 ), y(t0 ), z (t0 )) . |
y = y(t) , M |
||
|
|
|
z = z(t) |
|
|
Будем предполагать, |
что функции x(t), y(t), |
z(t) дифференцируемы при |
||||
значении параметра |
t = t0 , |
соответствующем точке M 0 . |
Поскольку |
|||
кривая |
L |
принадлежит |
поверхности, |
то имеем |
тождество |
F ( x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 , левая часть которого дифференцируема в точке t = t0 как сложная функция. Дифференцируя это тождество, получаем
|
|
∂F |
dx |
+ |
∂F |
dy |
+ |
∂F |
dz |
≡ 0 . |
|
|
|
(37.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∂x |
|
dt |
|
|
∂y |
|
dt |
∂z |
dt |
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим два вектора |
|
|
|
|
|
∂F |
|
|
∂F |
|
|
∂F |
|
|||||||
|
|
|
|
|
) = |
iR + |
|
Rj + |
|
kR |
||||||||||
|
grad F (x , y |
, z |
0 |
|||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 0 |
|
|
∂y 0 |
|
|
∂x 0 |
|
|
|
R |
|
R |
+ z′(t0 )k . Вектор |
|
и |
l |
= x′(t0 )i |
+ y′(t0 ) j |
l это касательный вектор к |
||
кривой |
L в точке |
M 0 . |
Тождество (1.5) |
показывает, что эти два вектора |
перпендикулярны, т.к. их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что тождество (37.4) будет выполняться для любой кривой, лежащей на
поверхности и проходящей через точку M 0 . |
Итак, касательный вектор к |
|||
любой кривой на поверхности, проходящей через точку |
M 0 , |
|||
|
|
|
|
|
перпендикулярен к фиксированному вектору |
|
gradF (x0 , y0 , z0 ) . |
Поэтому |
все эти векторы лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в данной точке (см. рис. 37.5).
(gradF )0
l1
M 0
L1
L2 l2
258