9698

обозначим (xў; yў). Поскольку имеет место векторное равенство

OM = OOў+ OўM (рис. 26.2), то можно записать в координатах

Пусть, например, исходное уравнение имеет вид

После выполнения параллельного переноса, задаваемого формулами

Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 5 и b = 5 / 2 с центром в начале координат Oў.

Рис. 26.3

180

Из формул (26.4) ясно, что точка Oў в исходной системе имеет

(положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение

O xўyў (рис. 26.4).

связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M

произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на угол j , имеют вид

181

Исходная система xO y получается поворотом новой системы O xўyў

Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение

xў2 + yў2 = 1. 4 2

Рис. 26.5

182

определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).

Рис. 26.6

Для знакомого по школьной программе уравнения параболы y = x2

выполним тот же поворот на угол j = 900 (рис. 26.7) и получим в новых координатах каноническое уравнение xў= yў2 .

183

Рис. 26.7

Для приведения уравнения xy = 3 к каноническому виду рассмотрим

координат используются для того, чтобы уравнение (26.2) в новой системе координат приобрело канонический вид. Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдём их

уравнений можно распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа.

184

III.Параболический тип

6)y2 = 2 px (парабола),

7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),

8)y2 = 0 (прямая),

9)y2 = - a2 (пустое множество).

185

Полученную классификацию можно использовать в любой задаче, связанной с уравнением второго порядка – даже если, например, в нём B ¹ 0 . Оказывается, по исходным коэффициентам уравнения (26.2), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:

разобраться с построением линий во всех ситуациях, к которым приводит уравнение второго порядка (26.2). Сначала определяем тип линии, задаваемой уравнением. Далее приводим его к каноническому виду, выполняя рассмотренные преобразования координат.

Лекция 27. Поверхности второго порядка

Переходим к изучению поверхностей в трехмерном пространстве. Будем рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x , y и z или их взаимное произведение. Уравнение вида

где коэффициенты A, B,C, D, E ,F ,G , H ,K иL — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел A, B или C отлично от нуля (т.е.

A2 + B2 + C 2 ¹ 0 ), называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Также как и для кривых второго порядка, для поверхностей второго порядка существует полная классификация. С помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат (теперь уже выполняемых в пространстве) любое уравнение второго порядка может быть приведено к одному из семнадцати видов. Этим уравнениям в пространстве отвечают классические поверхности: эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и

186

гиперболический параболоиды, а также целая группа поверхностей, называемых цилиндрическими.

27.1. Цилиндрические поверхности. Поверхность, состоящая из параллельных прямых (так называемых образующих), проходящих через каждую точку заданной линии L (направляющей), называется

цилиндрической поверхностью. Образно можно представить, что цилиндрические поверхности образуются движением прямой, которая перемещается в пространстве вдоль кривой L , сохраняя постоянное направление (рис. 27.1).

В качестве направляющей цилиндрической поверхности рассмотрим расположенную в плоскости xOy линию L , которая задаётся уравнением

поверхность, образующие которой параллельны координатной оси Oz , то уравнение образующей, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ,0) , примет вид

переменной z . Точка M 0 (x0 , y0 ,0) выбиралась произвольно, поэтому можно

утверждать, что координаты всех точек цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению F ( x, y) = 0 .

Рис. 27.1

187

Ясно, что уравнение вида F ( x, z) = 0 задаёт цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oy , а уравнение вида

Рис. 27.2

Если направляющей цилиндрической поверхности является кривая второго порядка, то поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка (или цилиндром второго порядка). В зависимости от конкретного вида уравнения получаются различные типы цилиндров второго порядка. Их названия соответствуют названиям направляющих линий L .

цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz . Его направляющей является эллипс, а поверхность, задаваемая этим уравнением, называется эллиптическим цилиндром (рис. 27.2). Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его

гиперболический цилиндр (рис. 27.3).

188

Рис. 27.3

27.2. Поверхности вращения образуются вращением какой-либо плоской линии L (образующей) вокруг прямой (оси поверхности вращения), расположенной в плоскости этой линии. Примером служит сфера: её можно рассмотреть как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра. Покажем, как можно получить уравнение поверхности вращения, исходя из уравнения образующей (лежащей в одной из координатных плоскостей) и уравнения оси вращения

поверхность рассечём плоскостью, параллельной координатной плоскости xOy и проходящей через фиксированную точку O′(0, 0, z) (рис. 27.4).

Рис. 27.4

189