9698

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова

64 лекции по математике

Книга 1

( лекции 1–39 )

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине «Математика»

для обучающихся по направлению подготовки

08.03.01 – Строительство, профиль – Строительство автомобильных дорог, аэродромов,

объектов транспортной инфраструктуры

Нижний Новгород

ННГАСУ

Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений Лекция 1. Введение в матричную алгебру

1.1.Основные понятия …………………………………………………………. 8

1.2.Сложение матриц и умножение на число …………………………………. 9

1.3.Умножение матриц ………………………………………………………….. 9

1.4.Матрицы и линейные преобразования …………………………………….. 11

Лекция 2. Правило Крамера и определители матриц

2.1.Системы двух уравнений с двумя неизвестными ………………………… 14

2.2.Системы трех уравнений с тремя неизвестными ………………………... 17

Лекция 3. Системы и определители матриц n -го порядка

Лекция 4. Системы m уравнений с n неизвестными

4.1.Ранг матрицы ………………………………………………………………. 28

4.2.Теорема Кронекера-Капелли ……………………………………………… 29

Раздел 2. Векторная алгебра

Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними

5.1. Основные понятия и определения ………………………………………… 33 5.2. Линейные операции над векторами ………………………………………. 34 5.3 Проекция вектора на ось …………………………………………………… 37

Лекция 6. Линейная комбинация векторов. Системы координат

6.1. Линейная комбинация векторов ………………………………………… 40

6.2.Разложение вектора по базису. Координаты вектора ……………… …… 42

6.3.Декартова система координат……………………………………………….. 43

6.4.Полярная система координат ………………………………………………...44

Лекция 7. Скалярное произведение

7.1.Скалярное произведение двух векторов …………………………………. 46

7.2.Скалярное произведение в прямоугольных координатах ………………... 49

7.3.Деление отрезка в заданном отношении ……………………………………50

Лекция 8. Векторное и смешанное произведения векторов

8.1. Векторное произведение ………………………………………………….. 52 8.2.Смешанное произведение …………………………………………………… 57

Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости Лекция 9. Прямая линия на плоскости

9.1.Общее уравнение прямой …………………………………………………... 61

9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом …………………………... 64

9.3. Параметрические и канонические уравнения прямой …………………… 65

Лекция 10. Задачи, связанные с прямыми на плоскости

10.1.Взаимное расположение двух прямых ……………………………………. 66

10.2.Пучок прямых, определяемый двумя пересекающимися прямыми …….. 70

3

10.3. Расстояние от точки до прямой ……………………………………………. 70 10.3 Линейные неравенства ……………………………………………………... 72

Лекция 11. Плоскость

11.1.Различные виды уравнения плоскости …………………………………... 73

11.2.Взаимное расположение двух плоскостей ………………………………. 78

11.3.Расстояние от точки до плоскости ………………………………………. 79

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой ……………………………………… 81

12.2.Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве …………………………. 86

12.3.Пересечение прямых в пространстве ……………………………………. 87

12.4.Расстояние между двумя прямыми ……………………….......................... 89

Лекция 13. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Раздел 4. Математический анализ. Дифференциальное исчисление Лекция 15. Функция

15.1.Функция и способы её задания ………………………………………….. 101

15.2.Обратная функция ………………………………………………………... 103

15.3.Предел последовательности ……………………………………………... 104

Лекция 16. Свойства пределов. Второй замечательный предел

16.1. Свойства сходящихся последовательностей …………………………... 106

Лекция 17. Предел функции. Непрерывность

Лекция 18. Производная

18.1.Физический, геометрический и математический смысл производной .. 123

18.2.Вычисление производных ………………………………………………. 125

18.3.Уравнение касательной. Угол между кривыми ………………………. 127

18.4. Правила дифференцирования …………………………………………… 128

Лекция 19. Производная (продолжение)

Лекция 20. Вектор-функция

20.1. Вектор-функция и её задание …………………………………………. 138

20.2.Предел, непрерывность и производная вектор-функции …………….. 139

20.3.Уравнения касательной к пространственной кривой и

4

Лекция 21. Дифференциал

21.1. Дифференциал функции ……………………………………………….. 144 21.2. Правило Лопиталя ……………………………………………………… 148

Лекция 22. Исследование функций и построение их графиков

Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков

(продолжение)

Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений

Раздел 5. Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 25. Линии второго порядка

25.1. Эллипс ……………………………………………………………………… 171 25.2. Гипербола ………………………………………………………………… 173

Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду

26.3.Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду…. 178

26.4.Параллельный перенос осей координат ……………………………………. 179

26.5.Преобразование поворота системы координат …………………………….. 181

Лекция 27. Поверхности второго порядка

27.1. Цилиндрические поверхности ……………………………………………… 187 27.2. Поверхности вращения ……………………………………………………… 189

Лекция 28. Канонические уравнения поверхностей

второго порядка

28.1. Эллипсоиды…………………………………………………………………… 191 28.2. Гиперболоиды…………………………………………………………………..193 28.3. Конусы………………………………………………………………………… 196 28.4. Параболоиды………………………………………………………………….. 197

Раздел 6. Математический анализ. Интегральное исчисление

Лекция 29. Неопределенный интеграл

29.2. Интегрирование методами подстановки и замены переменной …… 204

Лекция 30. Методы интегрирования (продолжение)

Лекция 31. Комплексные числа

5

31.1. Введение ………………………………………………………………… 211

31.2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел …………………. 212

31.3.Тригонометрическая форма комплексного числа ……………………... 213

31.4.Операции над комплексными числами …………………………………. 214

Лекция 32. Решение алгебраических уравнений

32.1.Извлечение корня из комплексного числа ……………………………… 217

32.2.Квадратное уравнение …………………………………………………… 219

32.3.Разложение многочлена на множители ………………………………… 221

32.4.Разложение на простые дроби и интегрирование дробно-рациональных функций ………………………………………….. 222

Лекция 33. Определённый интеграл

33.1.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ………….. 224

33.2.Понятие определённого интеграла ……………………………………... 225

33.3.Основные свойства определённого интеграла………………………….. 226

33.4 Существование первообразной функции ……………………………… 229 33.5. Формула Ньютона - Лейбница ………………………………………… 230

Лекция 34. Вычисление определённого интеграла

34.1. Интегрирование по частям и замена переменной ……………………... 231 34.2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат ……… 234

34.3.Вычисление площади фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически ……………………………………………… 236

Лекция 35. Другие приложения определённого интеграла

35.1.Объём тела с известной площадью поперечного сечения …………….. 238

35.2.Вычисление объёмов тел вращения ……………………………………... 239

35.3. Несобственные интегралы ………………………………………………. 240

Раздел 7 . Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Лекция 36. Функции многих переменных

36.1.Понятие функции двух переменных …………………………………….. 245

36.2.Предел и непрерывность функции двух переменных …………………. 246

36.3.Частные производные, производная по направлению ………………… 248

Лекция 37. Производные сложных функций

37.1.Дифференцирование сложных функций ………………………………… 251

37.2.Вычисление производной по направлению …………………………….. 252

37.3.Дифференцирование неявных функций …………………………………. 253

37.4.Градиент …………………………………………………………………… 254

37.5.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ……………………… 257

Лекция 38. Дифференциал и экстремумы функции двух

переменных

38.1.Дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал ….. 259

38.2.Производные и дифференциалы высших порядков ……………………. 263

38.3. Экстремумы функции многих переменных …………………………… 263

Лекция 39. Условный экстремум

6

Даже плавая на поверхности океана знаний, можно достичь его глубин.

Френсис Бэкон

Введение

Лекции написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета (ННГАСУ) для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Общий объем материала ограничивался количеством часов, которое отводится изучению математики современными образовательными стандартами этих специальностей, а его «глубина» определялась педагогическим опытом авторов. Лекции изданы в двух книгах, которые содержат материал, излагаемый в ННГАСУ на первом и втором курсах соответственно. По стилю изложения и по структуре это действительно лекции: весь материал разбит на части, излагаемые примерно за полтора часа и расположенные в том порядке (не единственно возможном), который соответствует читаемому в ННГАСУ курсу. Лекции включают в себя основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений, теории рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.

Следует заметить, что существующие классические учебники математики достаточно сложны для студентов нематематических специальностей, а учебные пособия, появившиеся в последнее время, носят, как правило, справочный характер: в них формулируются определения и приводятся соответствующие формулы для вычислений. По мнению авторов, сейчас востребована учебная литература, которая в доступной форме раскрывает содержание основных математических понятий и методов, сочетая математическую строгость и простоту изложения. В соответствии с этим основная задача, которую ставили перед собой авторы, – повысить общую математическую культуру

студентов, обучить их простейшим навыкам математического моделирования, развить умение устанавливать причинноследственные связи и рационально мыслить. Это как раз то, что требуется для эффективной деятельности в любой сфере.

Усилия авторского коллектива распределялись следующим образом: доцент В.П. Важдаев и профессор М.М. Коган написали лекции по алгебре, геометрии, функциям одной и нескольких переменных, дифференциальному и интегральному исчислениям, дифференциальным уравнениям, рядам Фурье (лекции 1–24, 29–48, 60, 61), доцент М.И. Лиогонький – по криволинейным интегралам, теории рядов, элементам

7

математической логики, теории множеств и теории графов (лекции 54–59, 62–64), доцент Л.А. Протасова – по кривым и поверхностям второго порядка, кратным интегралам (лекции 25–28, 49–53). Рисунки к лекциям выполнили В.П. Важдаев, М.И. Лиогонький, Г.Л. Пугач (кривые и поверхности второго порядка, кратные интегралы). Общее редактирование лекций осуществили В.П. Важдаев и М.М. Коган. Авторы будут благодарны за любую (положительную или отрицательную) «обратную связь» (например, по электронной почте mkogan@nngasu.ru).

Раздел 1. Матрицы и системы линейных уравнений

Лекция 1. Введение в матричную алгебру

Теорию матриц можно справедливо считать арифметикой высшей математики.

Ричард Беллман (1920-1984 гг.)

Матрицы широко применяются в различных разделах математики, физики и других дисциплинах; они находят широкое применение при исследованиях экономических проблем. В матричной записи легко и наглядно обнаруживаются те или иные особенности решаемой задачи, а теория матриц дает инструмент для ее эффективного решения.

1.1. Основные понятия. Таблица чисел вида

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей A размера (m × n)

(читается « m » на « n »). Числа m и n не обязаны быть одинаковыми. Если m = n , то матрица называется квадратной, а число n называют её порядком. Более компактная форма записи матрицы имеет вид

8

Понятие равенства двух матриц естественно вводится для матриц одинаковых размеров. Две матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы:

A = B || aij ||=|| bij || aij = bij , i, j ,

где символ означает «тогда и только тогда», а читается «для всех».

1.2. Сложение матриц и умножение на число. Сумма (разность) двух матриц A и B одинакового размера определяется следующим образом

A ± B =|| aij ± bij || .

Поскольку введенные операции сводятся к соответствующим операциям над элементами матриц, то следующие законы сложения очевидны:

A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C , A + 0 = A ,

где символом « 0 » обозначена нулевая матрица соответствующего размера, все элементы которой равны нулю.

Для умножения матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число:

Если все элементы матрицы имеют общий множитель, то его можно выносить за знак матрицы. При умножении матрицы на нуль получается нулевая матрица. Имеют место следующие свойства операции умножения матрицы на число:

9