9624

Рис. 50.7

Внешний интеграл берётся по переменной , и формула замены двойного интеграла повторным в полярных координатах выглядит следующим образом:

Рис. 50.8

Если полюс принадлежит области интегрирования (рис. 50.8), то в этой

которого служит окружность радиуса R с центром в точке (R,0) (рис. 50.9).

Рис. 50.9

Рис. 50.10

Из геометрических соображений ясно, что полярные координаты точек окружности связаны в этом случае соотношением r 2Rcos (рис. 50.10). К такому же выводу мы придём, если запишем сначала уравнение заданной окружности в декартовых координатах x2 y2 2Rx , а затем подставим в него соотношения (50.3) и выразим переменную r через . Именно такой способ получения уравнения линии в полярных координатах чаще всего

Лекция 51. Применение двойных интегралов для вычисления площади поверхности и решения задач механики

51.1. Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла. Мы умеем вычислять площади поверхности цилиндра и конуса, переходя к их развёрткам на плоскость (рис. 51.1 и 51.2).

Рис.51. 2

Перейдём к более сложной ситуации. Рассмотрим в пространстве поверхность, заданную уравнением z f (x, y) . Часть этой поверхности,

ограниченную линией Г , обозначим Q . Предполагаем при этом, что функция z f (x, y) является непрерывной вместе со своими частными производными. Ставим задачу найти площадь S поверхности Q . Для её

решения можно использовать двойной интеграл. Но вначале нужно определить, что понимать под площадью поверхности в этом случае.

Проекцию пространственной линии Г на плоскость xOу обозначим L

. Проекцию поверхности Q на плоскость xOу обозначим D – это плоская область, ограниченная линией L . Разобьём область D на n частей D1, D2, ..., Dn . В каждой подобласти Di выберем точку Pi (xi , yi ) . Этой точке соответствует на поверхности Q точка Mi (xi , yi , zi ) (рис. 51.3).

Рис. 51.3

плоскости выделим область Qi , которая проецируется на частичную подобласть Di в плоскости xOу (рис. 51.4). Площадь подобласти Qi обозначим qi . Если для всех частей Di плоской области найти соответствующие им области Qi на касательных плоскостях к исходной

Рис. 51.4

Ясно, что чем «мельче» будет разбита область D на части, тем точнее сумма In будет соответствовать тому числу, которое следует

считать площадью поверхности Q . За точное значение S площади поверхности Q естественно принять предел сумм In при неограниченном увеличении числа подобластей Di . Как обычно, будем предполагать, что диаметр разбиения стремится к нулю при n , т.е.

n

S lim qi .

dn 0 i 1

Итак, определение площади S мы дали. Чтобы её вычислить, необходимо связать величины площадей qi и Si плоских областей Qi

и Di . Касательная плоскость αi образует с координатной плоскостью xOу двугранный угол, измеряющийся линейным углом, который мы обозначим

k {0,0,1}. Поскольку угол между плоскостями равен углу между

51.2. Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции плоской фигуры. Если плоскую область рассматривать как материальную пластинку, толщиной которой можно пренебречь, то с помощью двойного интеграла можно находить для неё координаты центра тяжести и моменты инерции относительно некоторой оси или точки.

квадрат расстояния r от точки P до этой оси I1 mr2 . Если в качестве r

рассматривается расстояние от точки P до точки O , то момент инерции точки P с массой m относительно точки O определяется по той же формуле. Моментом инерции системы n материальных точек с массами

mi (i 1, 2, , n) относительно оси или точки O называется сумма

моментов инерции точек системы, т.е., моменты инерции относительно координатных осей Oy и Ox имеют вид

Физические понятия, рассмотренные для системы масс, перенесём на плоские области. Определим их для пластинки, занимающей некоторую

своя, отличная от плотности в других точках, то есть поверхностная плотность является функцией точки. Поскольку точка P на плоскости xOу задаётся двумя координатами, получаем функцию двух переменных

γ γ(x, y).

Разобьём область D на малые подобласти Di , в каждой из которых выберем произвольную точку Pi (xi , yi ) с плотностью γ(xi , yi ) в ней. Будем считать плотность подобласти Di постоянной и равной γ(xi , yi ) . Тогда масса Di равна Mi γ(xi , yi ) Si , а приближённое значение массы M всей пластинки

Точное значение массы рассматриваемой плоской пластинки D получим, устремив к нулю размеры частей Di , на которые она раздроблена

материальных точек. Это даёт приближённое значение статических моментов D относительно координатных осей Oy и Ox

При диаметре разбиения, стремящемся к нулю, интегральные суммы перейдут в пределе в двойные интегралы, которые называются

статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и

Ox

Формулы, позволяющие вычислять координаты центра тяжести плоской фигуры, имеют тот же вид, что и для системы материальных точек

xc MMy , yc MMx , только статические моменты и масса вычисляются уже

не через суммы, а с помощью двойных интегралов.

Для однородной пластинки D , имеющей постоянную во всех точках поверхностную плотность γ(x, y) γ , масса выражается через её площадь M S , а при вычислении статических моментов постоянный множительможно вынести за знак двойных интегралов. Поэтому формулы для координат центра тяжести в этом случае приобретают вид

Рассуждая аналогичным образом, моментом инерции плоской фигуры D относительно некоторой оси или точки назовём двойной интеграл по этой области от функции, равной квадрату расстояния от точки фигуры до этой оси или точки. В частности, моменты инерции относительно координатных осей приобретут вид

Рис. 58.7

Рис. 51.6

Перейдём в двойном интеграле к полярным координатам и вычислим

центра. Для этого начало координат расположим в центре круга. Считаем плотность постоянной γ 1. Тогда

Io (x2 y2 )dxdy .

D

После перехода к полярным координатам получим