9624

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова

64 лекции по математике

Книга 2

( лекции 40–64 )

Учебно-методическое пособие

по подготовке к лекционным занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки

09.03.02 Информационные системы и технологии

Направленность (профиль) Информационные системы и технологии

Нижний Новгород

ННГАСУ

2022

УДК

Важдаев В. П. 64 лекции по математике. Книга 2 (лекции 40 – 64): учебнометодическое пособие / В.П. Важдаев, М.М. Коган, М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова; Нижегородский государственный архитектурностроительный университет – Нижний Новгород ННГАСУ, 2022. – 200с. – Текст : электронный

Лекции по математике в двух книгах написаны преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеров-строителей, экологов, экономистов и других. Вторая книга включает в себя основные понятия теории дифференциальных уравнений, кратные и криволинейные интегралы, теорию рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.

Предназначено для обучающихся в ННГАСУ по дисциплине «Математика» по направлению подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии, Направленность (профиль) Информационные системы и технологии.

.

© В. П. Важдаев, М. М. Коган, М. И. Лиогонький, Л. А. Протасова, 2022

© ННГАСУ, 2022.

Содержание

Введение ……………………………………………………………………………. 5

Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Лекция 40. Основные понятия теории дифференциальных

уравнений

40.1.Уравнения первого порядка ………………………………………………… 8

40.2.Метод изоклин ……………………………………………………………… 10

Лекция 41. Методы решений дифференциальных уравнений

первого порядка

41.1.Уравнения с разделяющимися переменными ……………………………. 14

41.2.Задача о форме вращающегося ножа ………………………………………14

41.3.Однородные дифференциальные уравнения ………………………………17

Лекция 42. Линейные дифференциальные уравнения. Прибли-

женные методы решений уравнений первого порядка

42.1.Решение линейного уравнения и уравнения Бернулли ………………… 19

42.2.Приближенные методы решения уравнений первого порядка ………… 20

Лекция 43. Дифференциальные уравнения второго порядка

43.1.Задача Коши ……………………………………………………………….. 25

43.2.Задача о цепной линии ……………………………………………………. 26

43.3.Методы понижения порядка уравнения …………………………………. 28

Лекция 44. Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка

44.1.Линейный осциллятор …………………………………………………….. 31

44.2.Структура общего решения дифференциального

уравнения второго порядка ………………………… …………………… 32

Лекция 45. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ……………………… 35

Лекция 46. Линейные неоднородные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

46.1.Метод неопределенных коэффициентов ………………………………….. 40

46.2.Метод вариаций произвольных постоянных …………………………….. 42

48.1.Нормальные системы ……………………………………………………… 50

48.2.Математическая модель «хищник-жертва» ……………………………… 52

48.3.Метод исключения ………………………………………………………… 56

Раздел 9. Кратные интегралы

Лекция 49. Двойной интеграл: определение, свойства

49.1.Задача о вычислении объёма цилиндрического тела ……………………. 58

49.2.Определение двойного интеграла …………………………………….. … 60

49.3.Свойства двойного интеграла ……………………………………………… 62

Лекция 50. Вычисление двойного интеграла в декартовых

и полярных координатах

Лекция 51. Применение двойных интегралов

51.1.Вычисление площади поверхности интеграла ....................................... 72

51.2.Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и

моменты инерции плоской фигуры ……………………………………. 76

Лекция 52. Определение тройного интеграла и

его вычисление

52.1.Задача о нахождении массы материального тела …………………… 80

52.2.Определение тройного интеграла…………………………………….. 81

52.3.Вычисление тройного интеграла в прямоугольных

идекартовых координатах ……………………………………………. 83

52.4.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах…. 86

Лекция 53. Тройной интеграл в сферических координатах. Приложения к механике

53.1. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах ……… 90

53.2.Статические моменты, координаты центра тяжести, моменты инерции пространственных тел …………………………….. 94

Раздел 10. Криволинейные интегралы

Лекция 54. Криволинейный интеграл по длине дуги

54.1. Определение криволинейного интеграла 1-го рода…………………….. 99 54.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода……………………… 101 54.3. Некоторые приложения криволинейного

интеграла 1-ого рода……………………………………………………….. 106

Лекция 55. Криволинейные интегралы по координатам

55.1.Определение и обозначения ……………………………………………109

55.2.Свойства криволинейных интегралов 2-го рода …………………… 112

55.3.Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода……………………. 113

55.4.Криволинейный интеграл по замкнутому контуру………………… 116

Лекция 56. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

56.1.Случай плоского силового поля ………………………………………… 119

56.2.Случай пространственного силового поля……………………………… 123

Раздел 11. Ряды

Лекция 57. Числовые ряды

57.1.Числовые ряды. Основные определения ……………………………… 127

57.2.Простейшие свойства рядов…………………………………………… 130

57.3.Признаки сходимости рядов …………………………………………….. 131

Лекция 58. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды

58.1.Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница…………………………… 138

58.2.Абсолютная и условная сходимость рядов ……………………………. 139

58.3.Функциональные ряды. Основные определения ………………………. 140

Лекция 59. Степенные ряды

59.1.Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля ……………… 143

59.2.Ряды Тейлора –Маклорена ……………………………………………… 146

59.3.Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление функций …………………………………………………… 151

59.4.Решение дифференциальных уравнений ……………………………… 152

Лекция 60. Ряды Фурье

60.1.Введение …………………………………………………………………. 154

60.2.Коэффициенты ряда Фурье …………………………………………….. 156

60.3.Разложение в ряд Фурье четных функций …………………………….. 161

Лекция 61. Ряды Фурье (продолжение)

61.1.Разложение в ряд Фурье нечетных функций …………………………… 164

61.2.Разложение произвольной функции только по косинусам или только по синусам …………………………………………………… 165

61.3.Разложение в ряд Фурье функции по произвольному промежутку……167

Раздел 12. Элементы теории множеств, математической логики и теории графов

Лекция 62. Элементы теории множеств

62.1 Общие представления о множествах……………………………………. 169

62.2. Подмножества. Универсальное множество.

Множество всех подмножеств данного множества……………………. 171 62.3. Алгебраические операции над множествами…………………………...173

62.4.Эквивалентность множеств. Мощность множеств………………………175

62.5.Прямое произведение множеств………………………………………… 177

62.6.Бинарные отношения. Отношение эквивалентности…………………… 177

Лекция 63. Элементы математической логики

63.1.Введение …………………………………………………………………….180

63.2.Высказывания. Алгебра высказываний ………………………………….. 181

63.3.Понятие предиката ………………………………………………………… 184

63.4.Определение математических понятий посредством формул логики предикатов………………………………… 188

Лекция 64. Элементы теории графов

64.1.Определение и основные типы графов…………………………………… 189

64.2.Основные понятия в теории графов………………………………………. 191

64.3.Эйлеровы графы……………………………………………………………. 195

64.4.Изоморфизм графов…………………………………………………………196

64.5.Деревья………………………………………………………………………. 198

Введение

Это вторая книга лекций по математике, написанных преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета (ННГАСУ) для студентов различных «нематематических» специальностей: будущих инженеровстроителей, экологов, экономистов и других. Она включает в себя основные понятия и методы дифференциальных уравнений, кратные и криволинейные интегралы, теорию рядов, а также элементы теории множеств, теории графов и математической логики.

Как было отмечено во введении к первой книге, существующие классические учебники математики достаточно сложны для студентов нематематических специальностей, а учебные пособия, появившиеся в последнее время, носят, как правило, справочный характер: в них формулируются определения и приводятся соответствующие формулы для вычислений. В соответствии с этим основная задача, которую ставили перед собой авторы, – повысить общую математическую культуру

студентов, обучить их простейшим навыкам математического моделирования, развить умение устанавливать причинно-следственные связи и рационально мыслить. Это как раз то, что требуется для эффективной деятельности в любой сфере.

Усилия авторского коллектива во второй книге распределялись следующим образом: доцент В.П. Важдаев и профессор М.М. Коган написали лекции по дифференциальным уравнениям и рядам Фурье (лекции 40–48, 60, 61), доцент М.И. Лиогонький – по криволинейным интегралам, теории рядов, элементам математической логики, теории множеств и теории графов (лекции 54–59, 62–64), доцент Л.А. Протасова – по кратным интегралам (лекции 49–53). Рисунки к лекциям выполнили В.П. Важдаев, М.И. Лиогонький, Г.Л. Пугач (кратные интегралы). Общее редактирование лекций осуществили В.П. Важдаев и М.М. Коган. Авторы будут благодарны за любую (положительную или отрицательную) «обратную связь» (например, по электронной почте mkogan@nngasu.ru).

Раздел 8. Дифференциальные уравнения

Лекция 40. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Ранее мы изучали алгебраические уравнения, где неизвестными были числа, а сейчас мы переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений, в которых требуется найти неизвестные функции, удовлетворяющие определенным соотношениям, включающим операции дифференцирования. Дифференциальные уравнения играют важную роль в изучении окружающих нас динамических процессов.

Рассмотрим, например, задачу о нахождении закона изменения скорости свободно падающего тела. Пусть тело массы m падает с некоторой высоты под действием силы тяжести и с учетом силы сопротивления воздуха. Запишем второй закон Ньютона

предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости в каждый момент времени. Это уравнение, кроме неизвестной функции v(t) , содержит

еще и ее производную v (t) . Такие уравнения называют

дифференциальными. Решить дифференциальное уравнение – значит найти все такие функции v(t) , при подстановке которых в (40.1) это уравнение

превращается в тождество. Методы решений дифференциальных уравнений мы изучим позже, а сейчас убедимся в том, что функция

что мы нашли бесконечно много функций, удовлетворяющих этому дифференциальному уравнению – каждому значению постоянной C соответствует свое решение.

Пусть в начальный момент времени t 0 скорость тела была v0 . Как

будет происходить изменение скорости тела в дальнейшем? Выделим из найденного множества решений (40.2) то, которое соответствует этому

начальному условию v(0) v0 . Из уравнения (40.2) получим v0 C mg k , откуда найдем C v0 mg k . Подставляя это значение постоянной в (40.2),

получим закон изменения скорости падающего тела при заданном начальном условии

приземление с допустимой скоростью.

Этот пример показывает, что необходимо научиться решать такого рода уравнения. Дадим формальное определение этим уравнениям.

Дифференциальным уравнением называется уравнение,

связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные

Решением уравнения (40.3) назовем любую функцию, обращающую это уравнение в тождество. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Как правило, с повышением порядка дифференциального уравнения возрастает сложность нахождения его решения, поэтому начнем изучение с дифференциальных уравнений первого порядка.

40.1. Уравнения первого порядка. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следует из (40.3) при n 1

F (x, y, y ) 0 .

В том случае, когда y явно выражается через оставшиеся переменные, это уравнением записывается в форме Коши

Приведем геометрическую интерпретацию решений этого уравнения. Начнем с примера. Пусть имеется уравнение

Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что функции

обращают это уравнение в тождество. Построим графики этих функций при различных значениях C в плоскости переменных x, y (рис. 40.1).

Рис. 40.1

Формула (40.6) определяет так называемое общее решение уравнения (40.5), представляющее собой семейство кривых. Как выделить из этого семейства конкретную кривую? Для этого выберем точку с координатами (x0 , y0 ) (на рис. 40.1 это точка (0,5; 2)). Через нее проходит кривая из

семейства (40.6), которой соответствует значение C x0 y0 . Соответствующее решение

y x0xy0

называют частным решением дифференциального уравнения (40.5), удовлетворяющим начальным условиям y(x0 ) y0 .

Для произвольного дифференциального уравнения первого порядка общее решение имеет вид функции

y (x,C) ,

содержащей параметр C . Графики функций этого семейства называют интегральными кривыми. Задачей Коши называют нахождение частного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям (x0 , y0 ) .

Приведем без доказательства теорему Коши существования и единственности частного решения дифференциального уравнения (40.4).