1. Кинематика поступательного и вращательного движения. @

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, вызываю­щие это движение.

1.1.  Система отсчета. Радиус‑вектор материальной точки. @

Простейшим примером механического движе­ния является движение матери­альной точки. Матери­альная точка – это модель реального тела, раз­мерами которого в данной задаче можно пренебречь. Для описания механического движения необходимо ввести тело отсчета и систему отсчета.

Т

Рис.1.1. Радиус-вектор и его состовляющие в декартовой системе координат.

ело отсчета – это тело, услов­но принятое за неподвижное. Система отсчета – совокупность системы коор­динат и часов, связанных с те­лом отсчета. Для ре­шения большинства физических задач систему отсчета связыва­ют либо с Солн­цем, либо с Землей. Система отсчета, центр которой со­вмещен с Солнцем, на­зывается гелиоцентрической (гелиос - по-гречески Солнце). Система отсчета, центр которой совмещен с Землей назы­вается гео­центрической (геос - по-гре­чески Земля). Правильный выбор системы координат часто упрощает решение постав­ленной физичес­кой задачи. Важнейшими пространственными системами коор­динат, приме­няемых в механике, являются прямоугольная декартова и сис­темы криволинейных координат (цилиндрическая, сфе­рическая, эллипсоидная и др.).

Пусть точка М движется в пространстве. На рис.1.1 представлены тело от­счета О и связанная с ним прямоугольная декартова система координат. Вектор, со­единяющий начало (тело) отсчета с точкой М, есть радиус-вектор этой точки . Из точки М опустим перпендикуляры на ось OZ и плоскость ХОY. Из точки М’ проведем перпендикуляры к осям ОХ и OY. Векторы на ко­ординатных осях называются составляющими радиуса-вектора. Пользуясь правилом сложения векторов можно получить

Модули ,,есть проекции радиуса-вектора на координатные оси. Про­екция – всегда скалярная величина. Эти проекции называются координата­ми мате­риальной точки М – x, y, z . Отсюда ,,.

Каждому вектору может быть сопоставлен единичный вектор (орт), имею­щий то же направление, что и сам вектор, но по модулю равный единице. Пусть - орты координатных осей соответственно. Тогда можно записать,,или.

При движении материальной точки ее координаты и радиус-вектор изме­ня­ют­ся с течением времени. Поэтому в общем случае можно записать: или.

Это уравнение называется кинематическим уравнением движения матери­аль­ной точки. Непрерывная кривая, которую описывает точка при своем дви­жении относи­тельно системы координат, называется траекторией.

1.2. Кинематические характеристики и уравнения поступательного движения. @

Кроме модели реального тела в виде материальной точки, в физике часто используется модель абсолютно твердого тела. Тело считается абсо­лютно твердым, если в условиях рассматривае­мой задачи оно не деформирует­ся, т.е. расстоя­ние между любыми двумя произвольными точка­ми сохраняется неизменным.

Движение мате­риальной точки и твердого тела можно разложить на два вида движения - по­ступательное и враща­тельное. Любой другой вид движения есть их комби­нация.

Поступательное движе­ние твердого тела - это такое движение, при котором любая прямая, ж

Рис.2.1. Пример поступа­тельного движения твер­дого тела.

естко связан­ная с телом, ос­тается параллельной самой себе (рис.2.1).Поступательное движение твердо­го тела бу­дет прямолинейным, если траектории всех его точек - параллель­ные прямые линии; криволиней­ным, если траектории произвольной формы.

Пусть за время материальная точка пере­мес­ти­лась из положения А в В по криволинейной траекто­рии (рис.3.1). Расстоя­ние, пройденное точкой вдоль тра­екто­рии за времяесть скалярная, по­ложи­тельная величина – путь.- ра­диусы-векторы точек А и В.

Век­тор, соединяющий точки А и В, называется векто­ром перемещения ,. В общем случае модуль вектора перемещения не равен пути (см. рис.3.1). Лишь при прямоли­нейном движении. На малых временных интервалах, когда, можно с большой точностью считать, что

Рис.3.1. Путь и перемещение точки.

.

Векторная физическая величина, характеризующая изменение радиус-вектора с течением времени, называется скоростью. Скорость характеризует из­менение как по численному значению, так и по направлению. Различают сред­нюю и мгновенную скорости. Средняя скорость- это скорость за данный проме­жуток времени на данном участке траектории. Она равна отношению вектора пере­мещенияза времяк этому промежутку времени. Мгновенная скорость- это скорость в данный момент времени, в данном месте траектории. Она определяется как предел, к которому стремитсяпри0. Отсюда следует .

Математически, вектор мгновенной скорости равен первой про­из­водной от радиуса-вектора по времени. Таким образом . Векторнаправлен вдоль вектора, векторнаправлен по касательной к траектории в данной точке.

Векторная физическая величина, характеризующая изменение вектора скорости с течением времени называется ускорением . Различают среднее и мгновенное ускорения. Среднее ускорение равно отношению изменения вектора скорости за времяt к этому промежутку времени . Мгновенное ускорение, т.е. ускорение в данный момент времени находится как пределприt 0. Отсюда =.

Вектор ускорения в данный момент времени определяется как первая производная от вектора скорости по времени или вторая производная от ради­уса-вектора по времени.

Рис. 4.1. Нормальное, тангенцальное и полное ускорения.

Поскольку скорость величина векторная, она может изменяться как по вели­чине, так и по направлению. Изменение вектора скоростиможно представить в виде суммы двух слагаемых векторовит.е.=+, где- изменение скорости по величине,- изменение скорости по направле­нию за промежуток времениt. Поэтому вводят две составляющие ускорения: - тангенциальное или касательное ускорение,- нормальное ускорение.Полное ус­корение , где- характеризует изменение скорости только по величине, а- характери­зует из­менение скорости только по направлению. На основании вышеизложенного можно записать мгновенное ускорение

,

Тангенциальное ускорение численно равно первой производной от ско­рости по времени и направлено по касательной к траектории в данной точке. Вот почему называется еще касательным ускорением.

Учитывая, что , можно геометрическими построениями и расчетами получить. Вектор перпендикулярен траектории в данной точке (направлен по радиусу кривизны траектории к центру), отсюда его название – центростремительное ускорение. Полное ускорение численно равно

.

Вектор является диагональю прямоугольника со сторонами и (рис.4.1).