4. 5. Вынужденные колебания. Механический резонанс. @

Если на колеблющуюся систему действует периодически изменяющаяся сила, то колебания называются вынужденными. Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону .

Дифференциальное уравнение, получаемое из второго закона Ньютона, с учетом этой силы следует записать в виде

или . Решением дифференциального уравнения вынужденных колебаний является, причем - частота вынужденных колебаний совпадает с частотой колебания вынуждающей силы, а амплитуда вынужденных колебаний - А явля­ется сложной функцией от  и .

.

Зависимость ам­плитуды от  и  представлены на рис.4.5 (₁₂₃). При =0 все кри­вые сходятся в одной точке оси ординат . При различных значениях амплитуд­ные кривые имеют максимумы, кото­рые со­ответст­вуют частотам ₁,₂,...,₀. Явление возрастания, а затем убывания амплитуды колеба­ний при изменении частоты на­звано механическим резонансом, а частоты ₁, ₂, ... , ₀, которым соот­ветст­вуют максимумы амплитуды, называют резонанс­ными часто­тами _рез. Чтобы определить их значения, необ­ходимо найти максимум для функции амплиту­ды или, что то же самое, минимум подко­ренного выражения (). Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв нулю, получим усло­вие, определя­ющее _рез .

Это уравнение имеет три решения: =0 и  . Физический смысл имеет лишь положительное значение. Следователь­но, резонансная частота_рез=, при0, _рез₀. Если в формулу для амплитуды А подставить выражение _рез=, получим резонансное значе­ние А_рез .

Другая особенность вынужденных колебаний - это сдвиг фазы, а именно вы­ну­жденные колебания отстают по фазе на  от вынуждающей силы на величину , ждя которой .

Величина сдвига фаз зависит от частоты  и коэффициента затухания . Вынужден­ные колебания и вынуждающая сила имеют одинаковую фазу лишь при =0, во всех реальных случаях 0 и 0. При =₀ для любых значений  сдвиг фазы равен, т.е. вынуждающая сила опережает по фазе вынужденные колебания на. При₀ , т.е. фазы силы и колебаний противоположны.

Явление механического резонанса необ­хо­димо учитывать при конструировании раз­лично­го рода сооружений : машин, кораблей, самолетов, мостов и др. Если, напри­мер, соб­ственная частота ₀ вибраций корпуса корабля или крыльев самолета сов­падает с частотой колебаний, возбуждаемых вращательным движением гребного винта или пропеллера возникнет механический резонанс, который может привести к разруше­нию. Однако явление резонанса имеет и положительное применение, например, в ра­диотехнике - для выделения нужного сигнала и множества других, отличаю­щихся по частоте, в акустике - для усиления звучания музыкального инструмента и т.д.

Для решения многих технических задач большой интерес представляют авто­колебания. Это незатухающие колебания в реальной колебательной системе, осу­ще­ствляемые под влиянием внешнего переменного воздействия, частота которого равна собственной частоте системы. В автоколебательной системе существует источник энергии, от которого периодически подается в систему энергия, компенсирующая ее убыль. Примером такой системы являются часы, где раскручи­вающая пружина или опускающиеся гирьки является источником энергии, а анкерное усройство под­талкивает маятник часов в такт к его колебаниями.