4. 3. Гармонический осциллятор. Примеры гармонических осцилляторов. @

Тела, которые при движении совершают гармонические ко­лебания, называют гармоническими осциляторами. Рассмотрим ряд примеров гармонических осциляторов.

Пример1. Пружинный маятник – это тело массой m, способное совершать колебания под действием силы упругости невесомой (m_{пружины}m_тела) пружины (рис.4.2).

Т

Рис.4.3. Физический маятник.

рением в системе пренебрегаем. При смещении тела на расстояние х от положе­ния равновесия О на него дейст­вует сила уп­ругости пружины, направленная к положению равновесия:, гдеk - коэффициент упругости (жесткости) пружины. По второму закону Ньютона . От­сюдаи, если обозначить, тогда получимдифференциальное урав­нение гармонических колебаний. Его решения имеют видлибо. Таким образом, колебания пружинного маятника - гармонические с циклической час­тотойи периодом.

Пример 2. Физический маятник - это твердое тело, совер­шаю­щее колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной го­ризон­тальной оси, не совпадающей с его цен­тром тяжести С (рис. 4. 3). Ось проходит через точку О. Если маятник откло­нить от положения равновесия на малый угол  и отпус­тить, он будет совершать ко­лебания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела , гдеJ - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в поло­жение равно­весия. Он создается силой тяжести , ее момент равен(l=ОС). В результате получаем .     Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда ,или, принимая, получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника. Его решения имеют видили. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маят­ник совершает гармонические колебания с циклической частотойи периодом.

Пример3. Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), уп­ругой, нерастяжимой нити длинною l. Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол , а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml², то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника

, .

4. 4. Затухающие колебания. @

В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на материальную точку (тело), была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые присутству­ют в лю­бой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными незатухающими гармоническими колебаниями.

Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды при­во­дит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Затухающими называются колеба­ния с уменьшающейся во времени амплитудой.

Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления F_C пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна ей по направлению , гдеr - коэффициент сопротивления среды. Используя второй закон Ньютона, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний ,,. Обозначим,. Тогда дифференциальное уравнение приобретает вид:

Рис.4.4. Зависимость смеще­ния и амплитуды затухаю­щих колебаний от времени.

.

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь ₀ - собственная частота колеба­ний системы, т.е. частота свободных колебаний при r=0,  - коэффициент зату­хания оп­ределяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения при условии ₀ являются

либо .

График последней функции представлен на рис.4.4. Верхняя пунктирная линия дает график функции , А₀ - амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненциальному закону,  - коэффициент зату­хания по величине обратен времени релакса­ции , т.е. вре­мени за которое амплитуда уменьшается в e раз, так как

, , = 1, . Частота и период затухающих колебаний,; при очень малом сопротивлении среды (²₀²) период колебаний практически ра­вен . С ростом период колебаний увеличивается и при >₀ решение дифференциального уравнения показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению равновесия. Такое движение называют апериодическим.

Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра : декремент затухания D и логарифмический декремент . Декремент затуха­ния показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время од­ного периода Т.

Н

Рис.4.5. Вид резонансных кривых.

атуральный логарифм от декремента затухания есть логарифмический декремент

. Так как, то, гдеN - число колебаний за время.