Сопромат_ Пособие к решению тестовых заданий

Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической нагрузкой Fкр (критической силой).

Критическая сила по формуле Эйлера (приведенной) равна

где μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа за-

крепления концов стержня.

Рис. 50

Значение коэффициента μ с достаточной для расчетной практики

ство полуволн, по которым происходит потеря устойчивости при данном способе закрепления концов стержня

Формула Эйлера может быть использована, если приближенное уравнение упругой линии дает решение относительно δ удовлетворительно совпадающее с точным. Это имеет место пока в материале стержня напряжения σкр не превышают предела пропорциональности

кр П .

54

Для коротких стержней, гибкость которых λ λТ , где λ Т - гибкость стержня, определенная из условия σкр σТ , потеря устойчивости не происходит и, поэтому расчет на устойчивость не выполняют.

Рациональные формы сечений стержней

Величина критических напряжений, определяемых по формуле Эйлера, обратно пропорциональна квадрату гибкости стержня

π2 E σкр λ2 .

Стержни одинаковых длин и способах закрепления могут иметь разные гибкости в зависимости от их форм поперечного сечения. Вычисляя радиус инерции сечения imin или относительный радиус инер-

речных сечений стержней на способность сопротивляться потере устойчивости, так как чем больше min , тем больше величина критиче-

ской силы, тем устойчивее стержень.

Из таблицы 3 видно, что наиболее устойчивыми являются стержни с кольцевой или коробчатой формами поперечных сечений.

12. Тонкие оболочки

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина которой мала по сравнению с другими ее размерами (рис. 52).

Принято считать оболочку тонкостенной, если её толщина t меньше 0,05 характерного радиуса.

При расчете тонкостенных оболочек все нагрузки, действующие на них, прикладывают к срединной поверхности оболочки. Срединной поверхностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от наружной и внутренней поверхностей оболочки.

К тонким оболочкам могут быть отнесены такие часто встречающиеся элементы конструкций как резервуары, цистерны, газовые баллоны, корпуса химических аппаратов и др.

При расчете таких элементов конструкций используется так называемая безмоментная теория оболочек, основные положения которой заключаются в следующем:

нагрузки, действующие на поверхности оболочки перпендикулярны к ней и симметричны относительно оси вращения оболочки;

в тонкостенных оболочках сопротивление изгибу отсутствует, (изгибающий момент не учитывается);

напряжения по толщине оболочки распределены равномерно.

напряжения, действующие по нормали к поверхности оболочки принимаются равными нулю.

Рассмотрим бесконечно малый элемент стенки, вырезанный из оболочки двумя меридиональными сечениями и двумя сечениями нормальными к меридиану. Форма поверхности элемента определяется двумя радиусами кривизны: ρm - меридиана, ρθ - параллели. По

57

pR

σm σθ 2t .

Сравнивая напряжения, возникающие в сферическом баллоне с максимальными напряжениями в цилиндрическом баллоне, можно сделать вывод о том, что прочность сферического выше, и он может выдерживать в два раза большее давление, чем цилиндр при прочих равных условиях.

13.Прочность при действии переменных напряжений

Впроцессе эксплуатации элементы конструкций, машин и аппаратов часто подвергаются воздействию изменяющихся во времени нагрузок.

При действии переменных во времени нагрузок разрушение материалов может происходить при напряжениях меньших, чем опасные (предельные) напряжения, определенных при статическом нагружении. При переменных, многократно повторяющихся напряжениях, в окрестностях точек с пониженной прочностью возникают микроскопические трещины, которые являются концентраторами напряжений. Процесс постепенного накопления повреждений в материале при действии переменных напряжений, приводящий к образованию трещин и разрушению, называется усталостным разрушением материала.

Считается, что изменение напряжений происходит по периодическому закону.

Изменение напряжений за один период называется циклом напря-

жений.

Параметры циклов напряжений

Максимальное и минимальное напряжение цикла σmax , σmin .

Максимальное и минимальное напряжения можно выразить через среднее напряжение и амплитуду цикла:

σmax σm σa σmin σm σa

Цикл называют симметричным, если напряжения σmax и σmin рав-

ны друг другу по абсолютной величине и противоположны по знаку,

иначе – ассиметричным.

60

Асимметричный цикл может быть знакопеременным или знакопо-

стоянным.

В частных случаях, когда σmax или σmin равны нулю, цикл назы-

вают отнулевым или пульсирующим.

Коэффициент асимметрии цикла: R σmin σmax .

При симметричном цикле σmax σmin коэффициент асимметрии

R σmin σmax = -1.

Коэффициент асимметрии цикла нормальных напряжений обозначают Rσ , а касательных – Rτ .

Циклы напряжений называют подобными, если они имеют одинаковый коэффициент асимметрии.

Величины σmax , σmin , σa , σm и R будем называть параметрами

цикла переменных напряжений. Каждый цикл полностью определяется двумя любыми его параметрами, остальные его параметры могут быть вычислены.

Предел выносливости

Усталость – свойство материалов разрушаться под воздействием переменных напряжений.

Выносливость – свойство материалов, не разрушаться при действии циклических напряжений.

Предел выносливости – наибольшее напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца при любом количестве циклов нагружения (обозначают σ R ).

Предел выносливости при симметричном цикле обозначают как σ 1 . Для отнулевого цикла R 0 , предел выносливости - σ0 .

Расчетом на выносливость (или расчетом на усталостную проч-

ность) называют расчет прочности элементов конструкции с учетом действия переменных циклических напряжений.

Величина σ R определяется экспериментально. Испытания прово-

дят для серии одинаковых образцов (не менее 10 штук). Образец помещается в испытательную машину, нагружается нагрузкой, вызывающей напряжения близкие к пределу прочности и доводится до разрушения. Фиксируется максимальное напряжение σ , возникающее в нем и число циклов N, которое понадобилось для разрушения. Сле-

61