Казанский Национальный Исследовательский

Технологический Университет

Кафедра химической кибернетики

Отчет

по

ЧИСЛЕНННЫМ МЕТОДАМ

Выполнил: студент

гр. 4111-71

Сулейманова Д.И.

Проверила: доцент каф. хим.

кибернетики Кошкина Л.Ю.

Казань, 2012

Содержание

ТЕМА 1. «Системы нелинейных уравнений» 3

Постановка задачи 3

Решить систему нелинейных уравнений с Ɛ=0,001. Принять за начальное приближение в методе простых итераций =0, =0. 3

Листинг программы 4

Результаты 5

ТЕМА 1. «Системы нелинейных уравнений»

Постановка задачи

Решить систему нелинейных уравнений с Ɛ=0,001. Принять за начальное приближение в методе простых итераций =0, =0.

Sin(x₁+1)-x₂=1,2

2x₁+cosx₂=2

Для решения СНУ использовали следующие методы:

1. Метод простых итераций;

2. Графический способ решения СНУ.

Решение:

1.Метод простых итераций

Система нелинейных уравнений в общем виде:

F₁(x_1,x₂,…x_n)=0;

F₂(x_1,x₂,…x_n)=0;

………………..

F_n(x_1,x₂,…x_n)=0;

Выразим неизвестные в системе и представим ее в следующем виде:

X₁=f₁(x₁,x₂,…x_n);

X₂=f₂(x₁,x₂,…x_n);

………………….

X_n=f_n(x₁,x₂,…x_n);

Зададим начальное приближение для x₁, x₂, … x_n. Подставим их в правую часть системы. Получим значения неизвестных в следующей итерации.

X₁^(k)=f₁(x₁^(k-1),x₂^(k-1),…x_n^(k-1));

X₂^(k)=f₂(x₁^(k-1),x₂^(k-1),…x_n^(k-1));

……………………………….

X_n^(k)=f_n(x₁^(k-1),x₂^(k-1),…x_n^(k-1));

Где k – номер итерации.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполняться условие

|x_i^(k)-x_i^(k-1)|<Ɛ i=1,2,…n.

Где n-количество уравнений.

Если условие не выполняется, итерации повторяются, приняв x_i^(k-1)= x_i^(k)

Для того чтобы не проверять условие для всех уравнений, условие окончания итераций можно записать так:

max|x_i^(k)-x_i^(k-1)|<Ɛ i=1,2,…n

Алгоритм метода:

n- количество уравнений;

Ɛ - точность

X(n)-массив начальных приближений неизвестных.

Ввод n, Ɛ, x

Начало цикла

Вычисление F1(x1,x2,…xn)

Вычисление F2(x1,x2,…xn)

…………………………………

Вычисление Fn(x1,x2,…xn)

For i=1 TO n

S=

Xi=fi

Конец цикла, по условию s<Ɛ

Печать xi

2.Графический способ решения СНУ

Для двух уравнений область сходимости можно найти, построив графики функций f₁(x₂), f₂(x₁). Точка пересечения этих графиков и есть начальное прилижение.

Листинг программы

Sub SNU_PrIt()

e = 0.01

x10 = 0

x20 = 0

k = 0

Do

x1 = 0.8 + Sin(x2 + 1)

x2 = 1.3 - Sin(x1 - 15)

s = Abs(x1 - x10) + Abs(x2 - x20)

x10 = x1

x20 = x2

k = k + 1

Loop While s >= e

With Worksheets("Лист1")

.Range("B1").Value = x1

.Range("B2").Value = x2

.Range("B3").Value = k

End With

End Sub

Для запуска программ нажать на кнопку или на Run.

Полученный результат находится на Листе 2.

Результаты

Метод простых итераций:

Для начала выразили x_1,x₂: x₁₌(2-cosx₂)/2

x₂₌sin(x₁+1)-1,2

Далее написали программу (см. листинг) и вывели результат:

x1	0,661398
x2	2,27978
k	5

Графический способ решения СНУ:

Выбрали интервал значений x₁, x₂ от -1 до 3 построили точечную диаграмму для графиков функций f₁(x₂), f₂(x₁).

Вывод:

Для сходимости решения важен выбор начального приближения. Та область, в которой выбор начального приближения обеспечивает сходимость численного метода, называется областью сходимости метода. Для двух уравнений эту область можно выбрать построив графики функций. Точку пересечения графиков можно принять за начальное приближение. К сожалению, этого не удается сделать при большом количестве уравнений. Кроме того, при увеличении количества уравнений область сходимости сужается, и здесь нельзя дать общих рекомендаций.

В нашем случае оба метода дали один и тот же результат. Алгоритм метода простых итераций достаточно простой и более быстрый в выполнении. Для построения графиков надо удачно подобрать интервал, чтобы найти точку пересечения (начальное приближение) и данный способ не приемлем для решений СНУ с большим числом уравнений чем 2.

Список литературы

1. Лекции по численным методам доцента кафедры химической кибернетики КНИТУ Кошкиной Л.Ю.

2. Кошкина Л.Ю. и др. Вычислительная математика в среде Excel: Методические указания. Часть 2. / Казан. гос. технол. ун-т; Казань, 2003, с. 72

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.-256 с:ил.

4. Рено Н.Н. Численные методы. Учебное пособие / Казан. гос. технол. университет; Казань,2007, 112 с.

5. Турчак Л.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987. – 318 с.

6. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. – М.: Наука.1989. –240 с.

7. Назаров С.В., Мельников П.П. Программирование на MS Visual Basic: Учебное пособие / Под ред. С.В. Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 320 с.: ил.