Глава 2

Метод линейного программирования

Общей задачей ЛП является отыскание наибольшего или наименьшего значения линейной функции на множестве неотрицательных решений линейной системы неравенств или системы: неравенства + уравнения.

В основной задаче ЛП линейная система содержит только уравнения:

Минимизировать (максимизировать):

при условиях

Общая задача ЛП может быть сведена к равносильной ей основной задаче путём введения добавочных неизвестных, например, дана общая задача

при условиях

.

Здесь показатель качестваи ограничения линейны относительно неизвестных.Сведем общую задачу ЛП к равносильной ей основной задаче:

при условиях

;

.

Между общей задачей ЛП и соответствующей ей основной существует связь. Если оптимальное решение (оптимальный план) основной задачи, то– оптимальное решение общей задачи и наоборот. Причем оптимальные значения целевых функций совпадают:

Таким образом, удалив из оптимального решений основной задачи значения добавочных неизвестных, получим оптимальное решение общей задачи. Если основная задача не имеет решения, то и общая задача также не имеет решения.

Задача ЛП является задачей максимизации, если находят и минимизации, если находят.

В литературе могут также встретиться и другие формы записи общей и основной задач ЛП [1-4]:

1. Максимизировать (минимизировать) функцию цели

переменные которой подчинены следующим условиям:

.

2. Минимизировать

3. Минимизировать при условиях , где

– вектор-строка; - вектор-столбец;– матрица коэффициентов системы ограничений;

– вектор-столбец.

§1. Примеры составления задач лп

1. Формулировка задачи о рациональном питании [2].

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять в сутки определенное количество питательных веществ (белков, жиров, углеводов, воды, витаминов), запасы которых в различных видах пищи () различны. Ограничимся, например, двумя видами пищи.

Питательные вещества	Норма суточная		Виды пищи
Жиры
Белки
Углеводы
Вода
Витамины

Здесь – запас жиров в единице (например, в 1 кг) пищи видаи т.д.и– стоимость единицы пищи видаи. Требуется так организовать питание, чтобы стоимость его была наименьшей, а организм получил бы не менее минимальной суточной нормы питательных веществ всех видов пищи.

Пусть – количество (например, в кг) пищи видови, потребляемых человеком в сутки. Тогда общие запасы жиров в двух видах пищи не должны быть меньше минимальной нормы, т.е. и т.д., всего 5 неравенств (обратить внимание на знак ). Общая стоимость питания, т.е. имеем следующую задачу ЛП:

при условиях:

;

;

;

;

;

2. Формулировка транспортной задачи

Необходимо перевезти некоторое количество единиц однородного товараиз двух складов в три магазина (обратные перевозки исключаются). Склады могут выделитьединиц товара, а магазинам требуетсяединиц товара.

Предполагается, что , т.е. существует между складами и магазинами баланс.

Необходимо определить, сколько единиц товара () надо отправить с каждого склада в каждый магазин, что общая стоимость перевозкибыла минимальна, если– стоимость перевозки товара от складов к магазинам. Зависимость стоимости перевозки от количества перевозимого товара предполагается линейной.

Задача ЛП записывается следующим образом:

при условиях:

Решением задачи является . При этомминимальна.