1. I и II задачи имеют решение.

2. Одна имеет (), значит другая решения не имеет.

3. Обе задачи решения не имеют.

Решение IIзадачи– оптимальные оценки.

Эти оценки были введены Л. В. Конторовичем как «разрешающие множители» или по-другому, «объективно-обусловленные оценки».

§2. Несимметричные двойственные задачи.

Рассмотрение таких задач часто полезно в ЛП. Причём эти задачи сводятся к симметричным. Задача I – основная задача ЛП, задача II задача минимизации, но воII задаче могут быть любого знака.

Сведение осуществляется следующим образом. Как известно, равенство равносильно паре неравенств; или. В задачеIкаждое уравнение заменяется парой неравенств такого рода. Тогда задачаIбудет задачей максимизации с «n» переменными и «2m» неравенствами. Затем выписываем симметричную ей двойственную задачу. Например, дано:

Задача I	Задача II
при условиях: Ответ: (2,3,0,0)	при условиях: –любого знака Ответ: (-1,-2),

Сведем к паре симметричных двойственных задач ЛП

Задача I	Задача II
при условиях:	при условиях:

У задачи II, когда– любого знака, любой план называется псевдопланом.

Теорема:Если* некоторый план задачиI, а* - некоторый псевдоплан задачиIIиf(x*)=g(y*), тоx*иy*оптимальные план и псевдопланIиIIзадачи.

Глава 6. Нелинейное программирование

§ 1. Задачи нелинейного программирования с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений.

Чтобы проиллюстрировать более наглядно различие между линейными и нелинейными задачами, ограничимся решением задачи с двумя переменными, так как решение таких задач может быть представлено графически.

Задача.

На множест­ве решений системы неравенств

+≤ 36;

найти глобальные экстремумы функции .

Решение. На рис. 1 множество допустимых реше­ний заштриховано. Это мно­жество выпукло. Линиями уров­ня функции z = 2х + у являют­ся параллельные прямые с уг­ловым коэффициентом К = - 2. Очевидно, что глобальный ми­нимум достигается в точке О(0; 0), а глобальный макси­мум— в точке А касания пря­мой уровня и окружности х² ± y² = 36. Найдем координа­ты точки А. Для этого доста­точно составить уравнение пря­мой l и решить систему, со­стоящую из уравнения прямой и уравнения окружности. За­метим, что прямая l перпенди­кулярна линии уровня, а, следо­вательно, ее угловой коэффици­ент К₁ равен (К₁К = — 1). Прямая l проходит через точку О и имеет угловой коэффициент

К ₁ = .

Рис. 1

Поэтому ее уравнение таково: у = . Решая систему

+= 36;

у = ,

получаем

Итак, глобальный минимум, равный 0, достигается в точке О (0;0), а глобальный максимум, равный 6, — в точкеА (2,4-; 1,2*). Локальных экстремумов, отличных от глобальных, функция не достигает.