Алгоритм

1. Задается начальное приближение .

2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .

Пример:

Рассмотрим задачу о нахождении положительных , для которых . Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции . Имеем выражение для производной . Так как для всех и для , очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение , тогда:

Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры. Видно, что их количество от шага к шагу растёт (приблизительно удваиваясь с каждым шагом): от 1 к 2, от 2 к 5, от 5 к 10, иллюстрируя квадратичную скорость сходимости.

Может ли ЭВМ найти точное значение корня?

В этом вопросе существует два случая :в компьютере числа записываются в двух видах – целые и действительные. Целые записываются и вычисляются точно, а действительные записываются в форме с плавающей точкой и поэтому есть вероятность погрешности вычислений.

Отделение корня уравнения.

1 Способ

Построим график функции f(x)=cos(2x)+x-5 в декартовой системе координат. Для этого нужно:

1. Ввести в позиции ввода рабочего аргумента выражение, описывающее функцию f(x): f(x):=cos(2·x)+x-5.

2. Выбрать меню «Вставить» - «Графики» - «X-Y-зависимость» (тем самым выбрали нужный график), либо на панели инструментов выбрать кнопку с изображением графика и на панели «Графики» выбрать нужный тип графика – декартовый график и в появившемся шаблоне заполнить поля ввода данных (темные прямоугольники): имя переменной х по оси ОХ, имя функции f(x) по оси OY:

3. Затем появятся поля ввода для указания предельных значений абсцисс и ординат, задающие масштаб изображения (если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически),в нашем случае задать от -8 до 8. Если необходимо построить несколько графиков функций в одном шаблоне, то имена функций в поле ввода по оси OY следует набирать через запятую. Для построения графика достаточно навести курсор за пределы графического объекта (шаблона) и щелкнуть левой клавишей мыши.

4. Для того чтобы получить пересекающиеся координатные оси, нужно щелкнуть правой кнопкой мыши по полю графика, выбрать «формат» и поставить указатель в окне «стиль оси» на «пересечение», нажать «ОК»:

В итоге получаем следующее:

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2x)+x-5=0 имеет один корень – это видно из пересечения графика функции y=cos(2x)+x-5 с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [5;6] – отрезок изоляции.

2 Способ

Преобразуем уравнение cos(2x)+x-5=0 к следующему виду: cos(2x)=5-x. Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. f(x)=cos(2x) и p(x)=5-x.

Для решения этой задачи в Mathcad необходимо выполнить следующие действия:

1. Ввести в позиции ввода рабочего аргумента выражения, описывающие функции f(x) и p(x): f(x):=cos(2·x) p(x):=5-x.

2. Вставить график «X-Y-зависимость» (см. решение первым способом).

3. Заполнить поля ввода данных: имя переменной х по оси ОХ, имя функции f(x) и через запятую имя функции p(x) по оси OY.

4. Предельные значения абсцисс и ординат заполнить также как и при решении первым способом.

5. Координатные оси сделать пересекающимися (см. первый способ решения).

В итоге получаем:

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [5;6], что и при решении задачи первым способом.

Таким образом, решая один и тот же пример несколькими способами и с помощью двух инструментальных средств, приходим к одному и тому же ответу.

Результат отделения корней уравнения.

 Что является результатом отделения корней уравнения? Результатом отделения корней уравнения является выделение достаточно малых интервалов, в каждом из которых заключен только один корень. Условием существования корня непрерывной функции на интервале [a,b] является следующее уравнение: f(a)*f(b)<0, т.е. это означает, что на данном интервале функция изменяет знак, а значит, пересекает ось x.

Теорема Коши.

Теорема Коши́ о среднем значении.

Пусть даны две функции итакие, что:  и определены и непрерывны на отрезке; производные иконечны на интервале; производные ине обращаются в нуль одновременно на интервале ; тогда существует , для которой верно: . (Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .)

Геометрически это можно переформулировать так: если изадают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрамии, найдётся касательный вектор ,коллинеарный вектору перемещения отдо.

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка, в которой производная функцииравна нулю, аравна как раз необходимому числу.

Методы вычисления корня уравнения с заданной точностью.

-Метод простых итерраций

-Метод хорд

-Метод половинного деления

Метод половинного деления.

Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Метод используется при решении квадртных уравнений и уравнений высших степеней.

Пусть задан отрезок [а,b], содержащий один корень уравнения. Этот отрезок может быть предварительно найден с помощью шагового метода.

Алгоритм метода половинного деления:

• Определить новое приближение корня х в середине отрезка [а,b]: х=(а+b)/2.

• Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

• Проверить условие F(a)*F(x) < 0. Если условие выполнено, то корень расположен на отрезке [а,х]. В этом случае необходимо точку b переместить в точку х (b=х). Если условие не выполнено, то корень расположен на отрезке [х,b]. В этом случае необходимо точку а переместить в точку х (а=х).

• Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм продолжить до того времени, пока не будет выполнено условие /F(x)/ < e.

Рис. 1. Иллюстрация метода половинного деления

Достоинство метода половинного деления : более быстрая сходимость к заданной точности, чем у шагового. Недостаток: если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то метод не работает.

Метод касательных.