Группа 4121-44

Анализ и исследование задачи, модели:

1. анализ существующих аналогов;

2. анализ технических и программных средств;

3. pазpаботка математической модели ;

4. разработка структур данных.

Разработка алгоритма:

1. выбор метода проектирования алгоритма;

2. выбор формы записи алгоритма (блок-схемы, псевдокод и др.);

3. выбоp тестов  и метода тестиpования;

4. проектирование алгоритма.

Пpогpаммиpование:

1. выбор языка программирования;

2. уточнение способов организации данных;

3. запись алгоpитма на выбpанном языке пpогpаммиpования.

Тестиpование и отладка:

1. синтаксическая отладка;

2. отладка семантики и логической стpуктуpы;

3. тестовые pасчеты и анализ pезультатов тестиpования;

4. совершенствование пpогpаммы.

Анализ результатов решения задачи и уточнение в случае необходимости математической модели с повторным выполнением этапов 2 — 5.

Сопровождение программы:

1. доработка программы для решения конкретных задач;

2. составление документации к pешенной задаче, к математической модели, к алгоpитму, к пpогpамме, к набору тестов, к использованию.

Корень уравнения.

Под корнем уравнения понимают значение неизвестной состовляющей. Корень уравнения - это такое число, которое при подстановке даёт верное числовое равенство. Определить все возможные значения переменной - значит найти корни уравнения. Для примера возьмём уравнение:

2х-4=8+х. Найдём корень данного уравнения. 

2х-х=8+4 (переносим все неизвестные в левую часть, со сменой знаков,известные-в правую).

 х=12. Подставляем полученный корень в уравнение и получаем такое решение:

2*12-4=8+12

20=20 уравнение решено верно, следовательно корень уравнения = 12

Однако не всегда корни могут быть найдены. Уравнения, не имеющие корней, называются неразрешимыми. Так, например, не будет корней у уравнения х(в квадрате)=-9.  - так как любое значение неизвестной х, возведённое в квадрат, должно дать положительное число.

В общем, корень уравнения - это значение неизвестной, которое определяется путём решения данного уравнения. 

Дополнительные условия решения уравнения.

 Дополнительные условия для решенияуравнения. Будем рассматривать однородное линейное уравнение второго порядка Ly ≡ a2(x)y''+a1(x)y'+a0(x)y=0. Его можно записать по-другому: Однородное уравнение Ly = 0 и неоднородное Ly = f, как известно, имеют бесконечное множество решений. На практике часто бывает нужно из множества решений выделить только одно. Для этого задают некоторые дополнительные условия. Если это начальные условия у(х0) = уo, y'(xo) = y1, то получают задачу Коши. Если задают дополнительные условия на концах некоторого отрезка, то получают задачу, которая называется краевой задачей. Условия, которые задаются на концах отрезка, называются краевыми условиями. Краевые условия иногда именуют также граничными условиями и тогда говорят о граничной задаче. Мы будем задавать линейные краевые условия вида (16) где α1, α2, β1, β2, A, B - заданные числа, причем по крайней мере одно из чисел α1, α2, и одно из чисел β1, β2, отличны от нуля. Если в (16) хотя бы одно из чисел А и В не равно нулю, то краевые условия называют неоднородными. Если А = В = 0, то условия (16) называются однородными. Краевая задача называется однородной, если рассматривается однородное уравнение (15) Ly = 0 и однородные краевые условия (16). Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям. Заметим сразу, что однородная краевая задача всегда имеет решение у ≡ 0 (тривиальное решение). Наряду с уравнением (15) рассмотрим уравнение  (17) содержащее некоторый числовой параметр λ. Здесь функции р(х), q(x), r(x) действительные, а число λ может быть, вообще говоря, и комплексным. Краевая задача (17), (16) при А = В = 0 является однородной. Поэтому при любых λ она имеет тривиальное решение. Нас будут интересовать такие значения λ, при которых эта задача обладает не только тривиальными решениями.

Требования к однородному уравнению.

Ограничения функции на данное множество

Пусть вещественно значная функция   задана в некоторой области , и-- некоторое подмножество этой области; тесамым, функцияопределена и при всех. Если теперь рассматривать значениялишь в точках, а вневообще не рассматривать, то получаем функцию, областью определения которой служит множество:

a := root(x2 + 10 - ex , x)

Рисунок 5: Блок решения уравнений для одного уравнения с одним неизвестным. Между ключевым словом Given и функцией Find в блоке решения уравнений могут появляться выражения строго определенного типа. Ниже приведен список всех выражений, которые могут быть использованы в блоке решения уравнений. Использование других выражений не допускается. Эти выражения часто называются ограничениями. В таблице, приведенной ниже, через x и y обозначены вещественнозначные скалярные выражения, а через z и w обозначены любые скалярные выражения

Геометрический смысл корня уравнения.

Графиком квадратичной функции  является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициентположительный (при положительном, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Метод половинного деления.

Метод итерраций:

Метод Ньютона:

Этапы нахождения корня уравнения