1. 8. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.

Рис.1.7. К выводу теоремы Гаусса.

Определим поток напряженности электростати­ческого поля зарядов q₁,q₂,...q_n в вакууме (=1) через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эти заряды.

Рассмотрим сначала случай сферической повер­х­ности радиусом R, окружающей один заряд +q, нахо­дящийся в ее центре (рис.1.7).

, где - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектораодинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно. Площадь поверхности сферы равна. Отсюда следует, что

.

П

Рис.1.8. Пересечение силовыми линиями поверхности, охватывающей заряд (показано в сечении).

олученный результат будет справедлив и для поверхностиS произвольной формы, так как ее пронизывает такое же количество силовых линий.

На рисунке 1.8 представлена произвольная замкнутая поверхность, охватываю­щая заряд q0. Некоторые линии напряженности то выходят из поверхности, то вхо­дят в нее. Для всех линий напряженности число пересечений с поверхностью являет­ся нечетным.

Как отмечалось в предыдущем параграфе, линии напря­женности, выходя­щие из объема, ограниченного замкнутой поверхностью, соз­дают положительный поток Ф_е; линии же, входящие в объем, создают отрицательный поток -Ф_е. Потоки линий при входе и выходе компенсируются. Таким образом, при расчете суммар­ного потока через всю поверхность следует учитывать лишь одно (не скомпенсированное) пересечение замкнутой поверхности каждой линией напряженности.

Если заряд q не охватывается замкнутой поверхностью S, то количество силовых линий, входящих в данную поверх­ность и выходящих из нее, одинаково (рис.1.9). Суммарный поток вектора через такую поверхность равен нулю: Ф_Е=0.

Р

Рис.1.9. Пересечение силовыми линиями поверхности, не охватывающей заряд (показано в сечении).

ассмотрим самый общий случай поверхности про­извольной формы, охватывающейn зарядов. По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядамиq₁,q₂,...q_n равна векторной сумме напряженностей, создавае­мых каждым зарядом в отдельности: . Проекция вектора- результирующей на­пряженности поля на направление нормали к пло­щадкеdS равна алгебраической сумме проекций всех векторов на это направле­ние:,

отсюда .

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заря­дов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоян­ную ₀. Эта формулировка представляет собой теорему К.Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объемаV, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде.

Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помо­щью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

1. 9. Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности электростатического поля.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью зарядов +.

Пусть поверхностная плотность зарядов или заряд, приходящийся на единицу поверхности . Силовые линии поля перпендикулярны этой плоскости и направлены от нее в обе стороны (рис.1.10).

Построим замкнутую цилиндрическую поверхность с основаниями dS, парал­лельными заряженной поверхности и образующей, параллельной вектору . Сле­дуя последнему условию, поток напряженности Ф_Е через боковую поверхность ци­линдра равен нулю. Поэтому полный поток через цилиндрическую поверхность ра­вен сумме потоков сквозь его основания. Так как вектор перпендикулярен осно­ваниям, Е_n=Е и суммарный поток Ф_Е можно записать Ф_Е=2ЕdS.

Рис.1.10. Определение на­пряженности поля беско­нечной заряженной плос­кости.

Согласно теореме Гаусса , где- заряд, охватываемый цилиндрической по­верхностью. Таким образом

, .

Если плоскость помещена в среду с относительной ди­электрической проницаемостью , то напряженность электростатического поля, соз­даваемая плоскостью, равна .

Из формулы следует, что Е не зависит от расстояния между плоскостью и точкой на­блюдения, т.е. поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.

2. Поле двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей.

Рис.1.11. Определение на­пряженности поля двух параллельных разноимен­но заряженных плоско­стей.

На рис.1.11 перпендикулярно чертежу располо­же­ны две такие плоскости с поверхностными плотно­стями за­рядов + и -. Силовые линии плоскостей перпенди­ку­лярны им и параллельны между собой. Силовые ли­нии выходят из плоскости + и входят в плоскость ‑. На ри­сунке сплошными стрелками изо­бражено поле плоскости + и пунктирными - поле плоскости -.

Напряженности полей обеих плоскостей равны по абсолютной величине . Однако, справа и слева от плоскостей напряженностиинаправлены проти­во­положно, поэтому суммарная Е=0 и поле отсутствует. В области между плоскос­тями инаправлены одинаково, поэтому.