Степень турбулентности определяется по формуле

(6.90)

в которой —осредненная скорость турбулентной пульсации; ее среднее квадратичное значение определяется как

(6.91)

здесь w — мгновенное значение скорости, а —осредненная скорость турбулентного течения

(6.92)

Формпараметрвычисляется следующим образом:

(6.93)

При внешнем обтекании тел, например, поверхности крыла самолета илиε₀ лопатки турбомашины (см.рисунок 124),пограничный слойобразуется впередней критической точке1. Его толщина, по мере удаления от точки1вниз по течению, возрастает, следовательно, возрастаютδ**иRе^**.В носовой частиRе^**<Rе^**_кр, поэтому пограничный слой получается ламинарным (область2,рис. 124). КогдаRе^** достигает критического значения, ламинарный пограничный слой теряет устойчивость и переходит в турбулентный. Толщина пограничного слоя при этом резко возрастает (см. область4). Если произвести тщательное исследование характера течения после перехода, то можно обнаружить, что в зоне4потоктурбулентный, но вблизи стенки, в зоне5, течение сохраняетсяламинарным. Эта зона небольшой толщины называетсяламинарным подслоем.Ее существование объясняется близостью твердой стенки, которая препятствует возникновению турбулентных пульсаций поперек потока и, следовательно, не дает развиваться продольным пульсациям.Турбулентный слой4иламинарный подслой 5не имеют четко выраженной границы. Их разделяет так называемыйпереходный слой 6,в котором характер течения меняется по времени, становясь то ламинарным, то турбулентным. Аналогичное явление наблюдается и впереходной области3, в результате чего последняя получается расплывчатой. Однако для простоты теоретических расчетов принимают, что переход ламинарного слоя в турбулентный происходит в точке7, называемойточкой перехода.Ее местоположение определяется поRе^**=Rе^**_кр.

Когда рассчитывают смешанный пограничный слой, состоящий из ламинарного и турбулентного, то сначала ведут расчет ламинарного слоя, определяют в нем Rе^**,находят то место, гдеRе^**=Rе^**_кр,и принимают его за точку перехода. Начиная с этой точки, рассчитывают турбулентный пограничный слой, но в этом месте он уже имеет толщину, отличную от нуля и не равную толщине ламинарного слоя. «Стыковку» этих двух слоев производят, исходя из условия, что в точке перехода толщина потери импульса у ламинарного и у турбулентного слоев должна быть одинакова²⁰, т.е. δ_Т^**= δ_Л^**.

Расчет турбулентного пограничного слоя обычно ведется с помощью интегрального соотношения в условных толщинах. Для его решения необходимо задать закон скорости и закон трения.

Закон скорости может быть представлен одним из двух уравнений: степенным

(6.94)

или логарифмическим

(6.95)

Показатель степени в уравнении (6.94) зависит от числа Рейнольдса, малым значениям которого соответствуетn=6, а большим —n=10. В расчетах, не требующих особенно высокой точности принимают постоянное значениеn=7.В логарифмическом уравнении (6.95) величинаχ, называемаякоэффициентом пути смешения, принимается равной0,4. Величинаξ определяется как

Она имеет размерность скорости и называется динамической скоростью.

Преимущество степенного закона — в простоте, недостаток — в зависимости показателя степени от числа Рейнольдса. Логарифмический закон универсален. Он справедлив для всех чисел Рейнольдса. Однако вблизи стенки, т.е. при у―›0, он даетw―›∞,а значит не отражает физического смысла. Последнее объясняется тем, что у стенки существует ламинарный подслой, для которого формула (6.95) непригодна. Таким образом применение логарифмического закона обязательно требует учета ламинарного подслоя, а это сильно усложняет расчет.

Закон трения задается эмпирическими формулами, полученными на основании статистической обработки большого количества экспериментальных данных. Часто применяются формулы вида

(6.96)

где Kиm постоянные величины.

Принцип расчета турбулентного пограничного слоя рассмотрим на примере обтекания плоской стенки несжимаемой жидкостью.

Как и для ламинарного пограничного слоя здесь остаются справедливыми условия: w₀=соnst; и ∂р/∂х=0. Тогда интегральное соотношение (6.87) принимает вид:

(6.97)

Умножив числитель и знаменатель левой части на w₀/ν₀, принимая при этом во внимание формулы (6.68) и (6.88), можем записать

Полученное дифференциальное уравнение после разделения переменных легко интегрируется. Полагая, что вся стенка обтекается турбулентным пограничным слоем, проинтегрируем это уравнение в пределах от 0 до Rе^** и от 0 до Rе_х. После небольших преобразований получим

(6.98)

Для случая обтекания плоской стенки без градиента давления коэффициент и показатель степени в формуле (6.96) могут быть приняты равными K=0,00655 и m=1/6. Тогда получаем

(6.99)

Расшифровав в этой формуле значения чисел Рейнольдса в соответствии с соотношениями (6.68) и (6.88), легко получить формулу для определения толщины потери импульса

(6.100)

или

(6.101)

Связь между толщиной потери импульса и толщиной пограничного слоя устанавливается с помощью формулы (6.79), в которой отношение скоростей заменяется из уравнения принятого закона скорости, в данном случае из уравнения (6.94). Аналогичным образом, используя формулу (6.77), можно найти и толщину вытеснения. Для рассматриваемой задачи эти величины получаются: δ**=δ, δ*=δ/8.

Касательное напряжение на стенке находится по формуле (6.96); зная его, нетрудно получить и коэффициент сопротивления трения.

Сопоставление параметров ламинарного и турбулентного пограничного слоя, рассчитанных для одинаковых условий (обтекание плоской стенки несжимаемой жидкостью без градиента давления), показывает следующее:

1. Толщина турбулентного пограничного слоя больше, чем ламинарного.

2. Коэффициент сопротивления трения С_f получается большим в случае турбулентного пограничного слоя.

3. С ростом числа Rе_х коэффициент сопротивления трения С_f уменьшается, причем в ламинарном пограничном слое более интенсивно, чем в турбулентном.

В связи с этим при проектировании крыльев самолета стремятся к тому, чтобы отодвинуть точку перехода вниз по потоку.

Пограничный слой с продольным градиентом давления.

Отрыв пограничного слоя

Продольный градиент давленияdр/∂х, действующий в пограничном слое, имеет ту же величину, что и за его пределами, так как статическое давление в направлении, перпендикулярном стенке, сохраняет одно и то же значение. Поэтому величинаdр/∂х определяется обычно во внешнем потоке. Так, например, при расчете пограничного слоя на крыле, турбинной лопатке и т.п. продольный градиент давления отыскивается в результате решения задачи о внешнем потенциальном обтекании, а в диффузорах или соплах, т.е. в условиях внутренней задачи, — в результате определения параметров течения в ядре потока.

Продольный градиент давления оказывает влияние на профиль скоростей, вызывая его деформацию. Отрицательный градиент давления, существующий в конфузорах и соплах, а также в области спинки носовой части профиля крыла, соответствует увеличению скорости потока. При dр/∂х<0 пограничный слой устойчив. Положительный градиент давления, свойственный диффузорам, а также течению в области спинки хвостовой части профиля крыла, соответствует уменьшению скорости потока. Профиль скорости деформируется в этом случае таким образом, что при определенных условиях может появиться отрыв потока.

Рассмотрим явление отрываболее подробно.

На рисунке 125изображена схема обтекания стенки в области положительного градиента давления. Заметим, что здесь безразлично, принадлежит ли стенка каналу диффузора или хвостовой части крыла, важно, чтоdр/∂х>0. Рассматривая какой-либо элементарный объем жидкости, можно заметить, что он движется из области меньших давлений в область больших. Уменьшение его количества движения, а следовательно, и скорости, происходит вследствие двух причин: 1) действия сил вязкости, 2) действия разности давлений спереди и сзади. На различных расстояниях от стенки это уменьшение происходит не пропорционально самой скорости, в результате чего эпюра деформируется, становясь все более остроконечной. Нужно заметить, что приdр/∂х=0 профили скорости в различных поперечных сечениях по длине пограничного слоя остаются подобными друг другу. Значит причиной их деформации является именно градиент давленияdр/∂х≠0.

В некоторой точке Sэпюра скоростей принимает такую форму, что угол между касательной к эпюре и нормалью к стенке в этой точке равен нулю, т.е.

(6.102)

Это значит, что в точке S скорость уже не нарастает по мере удаления от стенки. Элементарный жидкий объем, находящийся в этой точке, полностью утратил кинетическую энергию, на него не действуют касательные напряжения, так какdw/∂у=0, но он подвержен действию положительного градиента давлений. Под действием последнего он начинает двигаться в обратную сторону, в результате чего возникает обратный ток. Эпюры, построенные правее точкиS, имеют зону отрицательных скоростей. ЛинияSАна рис. 125 разделяет зоны прямого и обратного токов. Появление обратного тока вызывает отрыв основного потока. ТочкуS поэтому называютточкой отрыва. Она находится в том месте, где выполняется условие отрыва (6.102).

При отрыве потока от стенки восстановление скорости в давление происходит в значительно меньшей степени, чем при безотрывном течении. Кинетическая энергия образовавшихся вихрей при дальнейшем течении не преобразуется в давление, а переходит в тепло, увеличивая энтропию газа. Изучение эпюр распределения статических давлений по контуру обтекаемого тела показывает, что за точкой отрыва давления получаются ниже, чем в тех же местах при безотрывном обтекании, тогда как в носовой части тела различия почти не наблюдается. Поэтому при обтекании с отрывом равнодействующая сил давления всегда имеет составляющую, направленную назад, т.е. по направлению потока. Эта составляющая называетсясопротивлением давления ²¹.

Таким образом, сопротивление обтекаемого тела слагается из сопротивления трения и сопротивления давления. У хорошо обтекаемых тел отрыв пограничного слоя незначителен, поэтому преобладает первая составляющая. У плохо обтекаемых тел отрыв весьма интенсивен, и поэтому главной составляющей является сопротивление давления.

Взаимодействие со скачками уплотнений

Особенно большие продольные положительные градиенты давления возникают в области взаимодействия скачков уплотнения с пограничным слоем. Рассмотрим это явление более подробно.

В сверхзвуковом потоке пограничный слой обладает той особенностью, что он имеет две зоны — дозвуковую, примыкающую к стенке, и сверхзвуковую, переходящую во внешний поток. Такие явления, как образование скачков, слабых волн возмущения, могут происходить только в сверхзвуковой зоне. Поэтому, если в потоке идеального газа прямой скачок начинается у самой стенки (рис. 126 слева), то в пограничном слое его начало расположено на линии w=а, отстоящей от обтекаемой поверхности на некотором расстоянии (рис. 126 справа). Скорость перед скачком в сверхзвуковой зоне пограничного слоя меняется от w=w₀>а до w=а, поэтому повышение давления в разных элементах скачка различно. В результате этого за скачком создаются поперечные градиенты давления. В связи с тем, что скачок не доходит до стенки, а между ними остается дозвуковой слой, повышенное давление, господствующее за скачком, может проникать через этот слой против течения в область, расположенную перед скачком. В результате этого уже перед скачком появляется большой положительный продольный градиент давления, который служит причиной интенсивного увеличения толщины пограничного слоя, а в некоторых случаях и возникновения отрыва.

Резкое увеличение толщины пограничного слоя перед скачком может вносить и качественные искажения в картину течения. Так, например, при обтекании внутреннего тупого угла скачок не выходит из точки А, как в случае идеального газа, а смещается несколько вперед, причем в сверхзвуковой зоне пограничного слоя его фронт искривляется (рис. 127 вверху). Причину смещения скачка легко понять, если построить толщину вытеснения δ*. Приняв эту линию за контур обтекаемого тела, можно заметить, что впереди точки А получается обтекание сильно вогнутой стенки, где должна получиться серия характеристик сжатия, переходящих в скачок ²².

Профиль скорости в пограничном слое может оказывать влияние на форму скачка уплотнения. Это влияние наблюдается, например, при обтекании профиля крыла потоком с большой дозвуковой скоростью. Когда число М₀ набегающего потока (меньшее единицы) достигает некоторого критического значения М₀=М_0кр, то на поверхности профиля появляется местная сверхзвуковая зона, так как при обтекании его носовой части, особенно в области спинки, происходит нарастание скорости. При обтекании хвостовой части профиля скорость должна вновь уменьшиться и стать дозвуковой. Торможение сверхзвукового потока происходит в скачках уплотнения. В случае ламинарного пограничного слоя образуется система скачков, состоящая из нескольких косых и замыкающего прямого. Ее называют лямбдаобразным скачком. Если же пограничный слой турбулентный, то косые скачки не возникают, а замыкающий криволинейный скачок имеет форму весьма близкую к прямому (рис. 128).

Отражение косого скачка от твердой стенки, на которой образовался пограничный слой, также имеет некоторые особенности. Падающий скачок АБВ, взаимодействуя с пограничным слоем, вызывает местное увеличение его толщины (рис. 129). В результате в зоне ГДЖ, где линии тока искривляются так же, как и при обтекания вогнутой стенки, возникают слабые волны сжатия, переходящие в косой скачок ЖБЕ. Это — первый отраженный скачок. За падающим скачком искривление линий тока в пограничном слое происходит так, как при обтекании выпуклой стенки. Это сопровождается появлением линий разрежения в зоне КВИЛ. Затем при выравнивании потока вновь образуются линии сжатия в зоне МПН, переходящие во второй отраженный косой скачок ПС.

Таким образом, в отличие от случая идеального газа, где падающий на стенку скачок порождает один отраженный, при взаимодействии с пограничным слоем падающий скачок порождает два отраженных, отделенных друг от друга волной разрежения.

Поскольку в волне разрежения скорость повышается, то второй отраженный скачок получается достаточно интенсивным. Поэтому изображенная на рис. 129 конфигурация скачков обладает большими потерями, чем система «падающий — отраженный скачок».

КРАТКИЙ КУРС ПС