Условные толщины пограничного слоя

Во многих случаях неудобно пользоваться толщиной пограничного слоя, так как это понятие в самом определении содержит некоторую условность: внешняя граница проводится там, где скорость составляет 99% от скорости внешнего потока. Поэтому в расчетах часто применяют условные толщины пограничного слоя. Обычно используются три условных толщины:

δ*—толщина вытеснения или толщина вытесненной массы;

δ **—толщина потери импульса;

δ ***—толщина потери энергии.

Рассмотрим толщину вытеснения. Нарисунке 119слева изображена деформация эпюры скоростей в пограничном слое. При перемещении вдоль потока, начиная от точки образования пограничного слоя, эпюра скоростей из прямоугольной превращается в криволинейную. Если вблизи стенки выделить тонкий слой, толщинойdу, и определить массовый расход через площадкуdу∙1(размер, перпендикулярный чертежу, равен единице) при входе на стенку и в данном сечении, то нетрудно убедиться, что расход в этом слое уменьшается. Действительно, при входе он равенρ₀w₀dy, в заданном сечении внутри пограничного слоя он будетρwdy.Разница в расходах составляет

( ρ₀w₀ – ρw)dy.

Эта величина называется секундной вытесненной массой. Нужно обратить внимание, что разница в расходах получается потому, что часть жидкости непрерывно вытесняется в сторону внешнего потока. Вытеснение происходит из–за того, чтожидкость теряет скорость за счет тренияи не может пройти через заданное сечение в том количестве, в котором она поступила в пограничный слой из набегающего потока.

Для всей толщины пограничного слоя вытесненная масса равна

На рисунке 120она изображена косо заштрихованной площадью. Поделив ее на основаниеρ₀w₀,получим высоту равновеликого прямоугольника (нарисунке 120вертикально заштрихованного), которая и является толщиной вытесненияδ*.Очевидно, что

(6.76)

а для несжимаемой жидкости (ρ=соnst)

(6.77)

Нетрудно заметить, что площади ОЕА иАВСнарисунке 120равновелики. Поэтому, если убрать часть эпюрыОЕА, но добавитьАВС, то расход через пограничный слой не изменится. Тогда условно поток можно представить так: вблизи стенки в слое, толщинойδ*, течение отсутствует (w=0), зато во всем остальном потоке скорости распределены равномерно по сечению. Такой условный поток показан нарисунке 119справа. Удобство такого представления заключается в том, что, определив толщину вытесненияδ*, можно сместить на эту величину контур обтекаемого тела и рассматривать обтекание этого нового более толстого тела потоком уже не вязкой, а идеальной жидкости. Так, например обтекание плоской стенки вязкой жидкостью (см.рисунок 119слева) заменяется обтеканием другой поверхности, контур которой изображен штрих пунктиром (см.рисунок 119справа), но уже потоком идеальной жидкости.

Рассматривая рис. 120, нетрудно убедиться в том, что величина вытесненной массы — косозаштрихованной площади — почти не изменится, если ее определять в интервале изменения ординаты у не от0доδ, а от0до∞. Поэтому в формулах (6.76) и (6.77) в качестве верхних пределов у интегралов часто берут∞. В этом случае толщина вытеснения определяется точно, и произвол, связанный с толкованием внешней границы пограничного слоя, исключается.

Подводя итог, дадим такую формулировку величине δ*.

Толщиной вытеснения называется толщина такого условного слоя, в котором скорость будет равна нулю, если в остальном потоке все скорости привести к w₀, сохраняя при этом расход в данном сечении пограничного слоя тем же самым.

Рассмотрим толщину потери импульса. В пограничном слое, начиная от его внешней границыАС(см.рисунок 121) и до заданного сеченияВС, масса жидкости теряет определенное количество движения. Потеря количества движения массы жидкости, протекающей через площадкуdу∙1, взятую в заданном сеченииВС, равна массовому расходуρwdу, умноженному на разность скоростейw₀—w, т.е.ρwdу∙(w₀—w).По всей толщине пограничного слоя это даст

Если эту величину разделить на количество движения, которое содержится в невозмущенном набегающем потоке, площадью, равной единице, т.е. на ρw₀²·1, то получимтолщину потери импульса

(6.78)

а для несжимаемой жидкости(ρ=соnst)

(6.79)

Графическая интерпретация толщины потери импульса аналогична той, которая рассматривалась на рисунке 120для толщины вытеснения. Только вместо величинρwпо оси абсцисс следует откладывать величиныρw²иρww₀ .

Величине δ**можно дать такую формулировку.

Толщиной потери импульса в данном сечении(δ**)называется толщина такого слоя, взятого в невозмущенном потоке, который несет в себе секундное количество движения, равное секундному количеству движения, потерянному на участке пути от внешней границы пограничного слоя до заданного сечения.

Если в каком–то сечении известна толщина потери импульса, то потерянное количество движения жидкости, достигшей этого места, определяется очень просто:

Рассмотрим толщину потери энергии. Ее определение аналогично определению толщины потери импульса, только вместо секундного количества движения здесь рассматривается секундная кинетическая энергия жидкости. Формула для толщины потери энергии имеет вид

(6.80)

и для несжимаемой жидкости

(6.81)

В теории пограничного слоя часто пользуются интегральным соотношением, записанным в условных толщинах. Оно получается следующим образом. Заменим частные производные в интегральном соотношении (6.54) на обыкновенные¹⁶

(6.82)

Поскольку статическое давление в направлении нормали к стенке сохраняется постоянным, то продольный градиент давления в пограничном слое и за его пределами получается одинаковым. Поэтому его определение можно провести во внешнем потоке, пользуясь уравнением Бернулли для энергоизолированного изоэнтропного течения

откуда

и тогда

(6.83)

Применяя далее формулу производной произведения двух переменных, сделаем следующее преобразование:

(6.84)

После подстановки величин, найденных из уравнений (6.83) и (6.84), в формулу (6.82), последняя приобретает вид

Сгруппировав здесь первое слагаемое со вторым и третье с четвертым

получим интегральное соотношение в условных толщинах, иначе называемоеуравнением количества движения для пограничного слоя в условных толщинах:

(6.85)

Для несжимаемой жидкости это уравнение приобретает вид:

или

Если разделить обе части на w₀²и обозначить

δ*/δ** = H*;(6.86)

то интегральное соотношение в условных толщинах записывают так:

(6.87)

Заметим, что в ламинарном пограничном слоеусловные толщины находятся в таком соотношении:

δ* ≈ 0.3 δ;

δ** ≈ 0.48 δ*;

а в турбулентном

δ* ≈ 0.125 δ;

δ** ≈ (0.7 …0,8) δ*;

при этом

Н*=1,3 - 1,4.

Интегральным соотношением в условных толщинах пользуются при расчетах турбулентного пограничного слоя, при расчете пограничного слоя с продольным градиентом давления и при решении специальных задач.