11. Сжимаемость жидкости

Сжимаемость – это свойство жидкости изменять плотность (объём) при изменении давления и температуры. Для количественной оценки сжимаемости используются изотермический коэффициент сжимаемости β_pи коэффициент температурного расширенияβ_Τ.Причем, первый отражает относительное изменение плотности жидкости при изменении только давления (приT= Const), а второй – то же явление, но при изменении только температуры жидкости (приp= Const).

Для решения вопроса о необходимости учета сжимаемости при исследовании того или иного течения жидкости, т.е. для выбора модели – сжимаемой или несжимаемой жидкости, необходимо знать изменения давления и температуры в рассматриваемой области течения и оценить вызванное ими относительное изменение плотности. Обычно для многих задач прикладной газовой динамики, если они не связаны с исследованием пограничного слоя, учет температурного расширения жидкости не является актуальным; наибольший интерес представляет сжимаемость жидкости, обусловленная изменением давления.

Относительное изменение плотности ∆ρ/ρ при заданном изменении давления∆pпропорционально изотермическому коэффициенту сжимаемостиβ_pи обратно пропорционально модулю упругости, посколькуβ_p и по определению являются величинами обратными друг другу:

∆ρ/ρ = β_p ∆p = ∆p /  –закон Гука для жидкости.

Сжимаемость свойственна всем жидкостям (и капельным и газам), однако её количественное проявление будет различным в зависимости от физических свойств среды. Капельные жидкости малосжимаемы или практически несжимаемы, поскольку их модули упругости достаточно велики (например, для воды = 2∙ 10⁹ Па).

По сравнению с капельными жидкостями сжимаемость газов очень велика:при атмосферном давлении и изотермическом процессесжимаемость воздуха в 20 тысяч раз больше сжимаемости воды.

При изотермическом процессетечения газа:

T= Const ; p/ρ=RT=Const; dp/dρ=p/ρ

 = dp / dρ/ρ= p/ρ/ρ= p,

т.е. сжимаемость газов тем больше, чем меньше давление. При атмосферном давлении модуль упругости воздуха  = p=B= 10⁵ Па, что в2·10⁴ раза меньше величины модуля упругости воды(см. выше).

При изоэнтропийном процессетечения газа:

p/ρ^k= Const; dp/dρ=kp/ρ

 = dp / dρ/ρ= kp,

т.е. сжимаемость газов определяется не только давлением, но ипоказателем изоэнтропы k, уменьшаясь с его увеличением.

Течение жидкости допустимо рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности ∆ρ/ρ остается весьма малым, т.е.∆ρ/ρ<<1.

При энергоизолированномдвижении жидкостиизменение давления∆p,связанное с процессом течения, имеет величину такого же порядка, как идинамическое давлениеρW²/2; поэтому∆ρ/ρ≈ ρW²/2. Таким образом, течение жидкости можно рассматривать как несжимаемое до тех пор,пока динамическое давление остается весьма малым по сравнению с модулем упругости.

Если ввести в рассмотрение скорость звукаa, которая согласноформуле Лапласаопределяется равенствомa²=  /ρ, то условие ∆ρ/ρ<<1можно переписать в виде ∆ρ/ρ≈ ρW²/2 ≈ (W/a)²/2<<1. Отношение скорости теченияW к скорости звукаaназываютчислом Маха: М=W/a .Таким образом, течение можно рассматривать приближенно как несжимаемое еслиМ²/2 <<1, т.е. при условии, чточисло Маха мало по сравнению с единицей(обычно принято считать–приМ≤ 0.3 … 0.4), или другими словами, при условии, чтоскорость течения мала по сравнению со скоростью звука.

При М=0.3,например, относительное изменение плотности составит

∆ρ/ρ≈ М²/2=0.3²/2≈0.05,

т.е. порядка 5%.