32. Газодинамические функции

Зависимости между истинными параметрами состояния газаипараметрами торможенияприобретают особенно удобный для расчетов вид, если их представить с помощью безразмерных скоростейМиλ .Для того чтобы получить эти зависимости, определим сначала отношения температурТ^*/ТиТ/Т^*

Отношения давлений и плотностей можно выразить с помощью уравнений изоэнтропного процесса (2.33)⁴через температуры. Тогда

(2.56)

(2.57)

(2.58)

и

(2.59)

(2.60)

(2.61)

Величины τ(λ), π(λ), иε(λ)называютсягазодинамическими функциями параметров торможения.Они заранее рассчитываются для всех значений приведенной скоростиλ(или числаМ) и сводятся втаблицы газодинамических функций. Последние составляются для различных значений показателя изоэнтропыk,соответствующих разным газам.

Для воздуха (при k = 1,4) формулы, связывающие истинные параметры состояния с параметрами торможения, имеют следующий вид:

(2.62)

(2.63)

(2.64)

(2.65)

(2.66)(2.67)

***

Пример расчетас помощью газодинамических функций параметров торможения

В потоке воздуха измерено: р = 101300 н/м² (нормальное давление),

р*= 143000 н/м²,

Т* = 324 ^оК.

Определить скорость потока w.

Для воздуха показатель k=1,4; R=287,4.

1. Вычисляем .

2. По таблицам газодинамических функций для воздуха (k=1,4)

по величине π(λ)=0,7085 находим λ=0,75.

3. Определяем критическую скорость м/сек.

4. Определяем скорость w= λa_кр=0,75∙329,6=247,2 м/сек.

Как видно из приведенного примера, весь расчет сводится к очень простым операциям. Таблицы газодинамических функций особенно эффективны при массовых расчетах.

  с.233…260.  с.40…54. 4 с.56..66. 5 с.415…424.

 6 с.135…139. 7 с.49…56. 8 с.188..197; с.200…201.

33. Уравнение сохранения энергии для стационарного поточного процесса

Большое значение в газовой динамике имеет закон сохранения энергии. Он, как известно, констатирует тот факт, что

энергия не возникает и не исчезает, а только превращается

из одного вида в другой.

Следовательно, составив баланс энергии для какого-нибудь количества газа, например, для единицы массы, можно найти соотношение между различными составляющими энергии. Такаяматематическая запись энергетического баланса и представляет собой уравнение энергии.

Составление баланса энергии рассмотрим на примере газотурбинной установки, схема которой изображена на рисунке 6. Баланс энергии можно составить и для любой другой схемы течения. Пример с газотурбинной установкой взят потому, что в нем присутствуют все составляющие энергетического баланса, рассматриваемые в большинстве подобных газодина­ми­ческих задач. Кроме того, это типичный пример так называемого поточного процесса. Конечно же реальный процесс течения газа в газотурбинной установке не является стационарным в полном смысле этого понятия, но при известной степени идеализации в контексте решаемой задачи он вполне может рассматриваться как «квазистационарный».

Через входное сечение 1воздух из атмосферы поступает в компрессор, где сжимается и подается в камеру сгорания. Туда же, в камеру сгорания, поступает жидкое топливо, которое, смешавшись с воздухом, сгорает, выделяя большое количествотепла. Таким образом, в турбину из камеры сгорания поступают образовавшиеся там продукты сгорания с высокой температурой и высоким давлением. В турбине они расширяются, производя работу— вращая ротор. Часть работы турбины при помощи вала передается на вращение компрессора, другая часть отдается потребителю. Отработанные газы покидают турбину, выходя черезсечение 2.

Параметры воздуха на входе в газотурбинную установку -T₁, p₁, ρ₁,_,w_1;

на входе-Т₂, p₂, ρ₂, w₂.

Энергияпоступающего воздуха,отнесенная к единице массы, обозначенаЕ₁ , энергиявыходящего газа —Е₂.

Подведенное теплообозначеноQ_е.Индекс «е» означает, чтотепло подводилось извне(externus–лат.внешний,посторонний).

Здесь нет никакого противоречия: несмотря на то, что сгорание происходило внутри камеры и тепло, подогревающее газ, выделялось именно там, энергия эта была внесена снаружи в скрытом виде, вместе с топливом. Следовательно, поскольку не ставится задача изучения физико-химических процессов горения, а рассматриваются только явления газодинамического характера, то можно считать, что тепло в количестве Q_е было внесено в камеру сгорания снаружи.

Работа на валу установки, отданная потребителю, обозначенаL.Она такжеотнесена к единице массыпроходящего через установку воздуха.

На рисунке 7изображенаупрощенная схема течения. Нарасчетном участкемеждусечениями1 и 2, так же как и в предыдущем случае,подводится теплоиотводится механическая работа. Следовательно, дляупрощенной схемыбаланс энергиибудет таким же, как и длягазотурбинной установки, но пользоваться этой схемой проще и удобнее.

Баланс энергиидля рассматриваемой схемы течения можно записать следующим уравнением:

Е₁ - Е₂ + Q_е - L = 0.(2.1)

Далее необходимо расшифровать, что подразумевается под полным запасом энергии единицы массы газаЕ.При этом нужно иметь в виду, что в«полный запас энергии»нет надобности включать все ее составляющие (например, химическую, электрическую, внутриядерную); вполне достаточно принимать в расчет только те ее виды, которые могут превращаться один в другой в пределах изучаемых газодинамических задач. Тогда можно записать, что

E= u + p/ρ + w²/2 + gz, (2.2)

где u –внутренняя энергияединицы массы газа;

p/ρ –потенциальная энергиядавленияединицы массы газа;

w²/2 –кинетическая энергияединицы массы газа;

gz – потенциальная энергияположения(уровня) единицы массы газа;

z –геометрическая высота;

g –ускорение силы тяжести.

Все указанные величины измеряются в единицах работы на единицу массы, а именно в дж/кг или, что то же самое, в м²/сек² (в системе СИ).

Подставив в уравнение (2.1) значения Е₁иЕ₂, выраженные с помощью уравнения (2.2), и учитывая, что разность внутренних энергийu₁ – u₂ = C_v(T₁-Т₂), получим

C_v(T₁-Т₂) +p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ +(w₁²- w₂²)/2+g(z₁-z₂) +Q_е-L= 0. (2.3)

Это и есть уравнение энергии для одномерного потока или для элементарной струйки. Оно показывает, как происходитизменениевнутренней энергии C_v(T₁-Т₂),потенциальной энергии давления p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ ,кинетической энергии(w₁²- w₂²)/2,потенциальной энергии положенияg(z₁-z₂)в результате действияподведенного извне теплаQ_еиработы L , отданной газом внешнему потребителю.Изменениевнутренней энергиисвязано с изменениемтемпературы газа,кинетической энергии— с изменениемскоростипотока,потенциальной энергии уровня— с изменениемвысоты положениярассматриваемой массы газа над плоскостью, принятой за начало отсчета. Что касается измененияпотенциальной энергии давления, то оно требует специальных разъяснений.

На рисунке 8изображен расчетный участок потока, ограниченный на входесечением 1и на выходе —сечением 2.

При входегаза через сечение1силы внешнего давленияр₁F₁,вталкиваяв расчетный, участокобъем газаF₁Δx₁,совершают работуp₁F₁Δx₁.

При выходеиз расчетного участка, через сечение2объем газаF₂Δx₂совершает работу против сил внешнего давленияp₂F₂Δх₂.Поделив эти работы на массу газа в соответствующих объемах, получим

L_вт= p₁F₁Δx₁/ ρ₁F₁Δx₁= p₁/ρ₁ ,

L_выт= p₂F₂Δx₂/ ρ₂F₂Δx₂= p₂/ρ_2.

Следовательно, p₁/ρ₁-p₂/ρ₂=L_вт-L_выт представляет собойразницу работ вталкивания и выталкиванияединицы массы газа. Эта величина характеризуетнакопление(еслиp₁/ρ₁>p₂/ρ₂)потенциальной энергиидавленияили расходованиеее (еслиp₁/ρ₁<p₂/ρ₂ ) потоком газа, находящимся внутри расчетного участка.

Изменение потенциальной энергии уровня g(z₁-z₂) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м²/сек², тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м²/сек². Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z₁-z₂) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z₁-z₂) должна учитываться обязательно.

Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную для расчетов форму. Преобразуем сумму членов

C_v(T₁-Т₂) +p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ = (C_vT₁+p₁/ρ₁) -(C_vT₂+p₂/ρ₂)=

=(C_vT₁+RT₁) -(C_vT₂+ RT₂)= (C_v +R)(T₁-Т₂) = C_p(T₁-Т₂),

используя известное из термодинамики соотношениеC_p–C_v=R, и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно

C_p(T₁-Т₂)+ (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0,(2.4)

а главное, три термодинамических параметраp, ρ иT теперь можно заменить всего лишьодним–энтальпиейh=C_рТ. («Три в одном»!)

h₁-h₂ + (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0. (2.5)

Этот вид уравнения энергииназывают ещеуравнением энтальпииилитеплосодержания, так как в него входит энтальпияh.

В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное — отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, — положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие — отрицательной. Таким образом, внагревателегаза (камере сгорания)теплосчитаетсяположительным, вохладителе—отрицательным;работа, получаемая втурбине, —положительной, а затрачиваемая на вращениекомпрессора—отрицательной.Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики.

Уравнение энергиичасто применяетсяв дифференциальной форме. Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка добесконечно малой величины. Тогдав пределеполучим вместоQ_еиL соответственноdQ_еиdL , а вместо конечных разностейТ₁–Т₂ и(w₁²- w₂²)/2 получим соответствующие дифференциалы–dТ и– d(w²/2).

В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T₁—Т₂ и(w₁²- w₂²)/2,а неT₂—Т₁ и (w₂²- w₁²)/2 .

Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные, получимуравнение энергии в дифференциальной формеилидифференциальное уравнение энергии

C_pdT + d(w²/2) - dQ_е + dL = 0. (2.6)

***

Если сопоставить выражение для полного запаса энергии (2.2)

E= u + p/ρ + w²/2 + gz,

с левой частью уравнения Бернулли, которая также представляет величинуполного запаса энергииединицы массынесжимаемой жидкости

p/ρ + w²/2 + gz = const,

то можно заметить, что в случае газа дополнительно введена величина внутренней энергии u.Это объясняется тем, что приρ≠соnstтепловые процессы оказывают влияние на плотность газа, и так как его расширение или сжатие связано с работой, то в конечном итоге это влияние распространяется на механические составляющие энергии. Таким образом,в уравнениях энергии (2.4) и (2.5) присутствуют величины, имеющие как механическое, так и тепловое (калорическое) происхождение.

  с.11…19.  с.31…36. 4 с.53..54.