34. Уравнение Бернулли

Еще одной разновидностью уравнения энергии являетсяобобщенное уравнение Бернулли для газа ⁵. От уравнений (2.4) или (2.5) оно отличается тем, что все входящие в негослагаемые имеют механическое происхождение. Это уравнение можно получить следующим путем. Воспользуемся тем же самым приемом, с помощью которого выше было получено дифференциальное уравнение энергии (2.6) и представим уравнение (2.3) вдифференциальном виде:

C_vdT + d(p/ρ) + d(w²/2) - dQ_е + dL = 0.(2.7)

Количество теплаQ,воспринимаемое газом, и количество теплаQ_е,подводимоек немуизвне, в общем случаене одинаковы: существует ещетепло трения Q_r, которое выделяется вследствие трения газа о стенки, внутреннего трения (возникающего между слоями, движущимися с разными скоростями), образования вихрей и т.п.Это тепло также воспринимается газом. Поэтому

Q = Q_е + Q_r = Q_е + L_r.(2.8)

Тогда

dQ_е = dQ – dL_r , (2.9)

где L_r — работа трения(в системе единиц СИQ_r=L_r).

Количество тепла, воспринимаемое газом, можно определить с помощью уравненияпервого закона термодинамики

dQ = C_vdT+ pdv.(2.10)

Подставив это выражение в формулу (2.9), получим

C_vdT= dQ_e + dL_r -pdv.(2.11)

Кроме того,

d(p/ρ)=d(pv)=pdv+vdp/. (2.12)

После подстановки формул (2.11) и (2.12) в уравнение энергии (2.7) и замены удельного объема через плотность v=1/ρполучаемуравнение Бернулли для газа в дифференциальной форме

dp/ρ+d(w²/2)+dL+dL_r=0. (2.13)

При решении конкретных задач уравнение Бернулли интегрируют в пределах от начального сечения расчетного участка до конечного

₁²∫(dp/ρ)+(w₂²- w₁²)/2 + L+ L_r=0. (2.14)

Если в процессе решения нужно получить параметры потока в каком-нибудь промежуточном сечении расчетного участка, то при интегрировании это сечение принимается за конечное. При решении можно брать неопределенный интеграл. Константа интегрирования определяется тогда из граничных условий, в качестве которых обычно берут условия на входе в расчетный участок.

Для того чтобы вычислить ∫(dp/ρ), надо знать зависимость между риρ, т.е. иметь уравнение термодинамического процесса, при котором происходит течение газа, например уравнение политропыp/ρⁿ=const. Если известен термодинамический процесс, то известен и показатель политропы. Приполитропном процессе интегрирование дает

(2.15)

при изотермном процессе (n=1)

₁²∫(dp/ρ)=(p₁/ρ₁)ℓn(p₂/p₁)=RT₁ℓn(p₂/p₁). (2.16)

Сопоставляя между собой уравнение энергиииуравнение Бернулли, например (2.4) и (2.14), можно заметить, что первое учитывает внешнее тепло, но не содержит работы трения в явном виде, тогда как второе не содержит в явном виде внешнего тепла, но учитывает работу трения. Поэтому создается впечатление, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течения. В действительности это не так. Хотя работа трения и не входит явно в уравнение энергии, но ее влияние сказывается, прежде всего, на температуреТ₂.

Что касается уравнения Бернулли, то в нем внешнее тепло учитывается при вычислении ∫(dp/ρ), а именно, от количества подведенного тепла зависит величинапоказателя политропыn.

  с.24…34.  с.31…36. 4 с.39..42. 5 с.412…415.

 6 с.130…133. 7 с.47…48. 8 с.93…94.

Рассмотрим уравнения энергиидлячастных случаев течения газа.