31. Безразмерные скорости: относительная и приведенная скорости, число Маха
Обычно скорость движения измеряется в метрах в секунду, километрах в час или каких-нибудь других единицах, имеющих размерность длина/время. Если же за единицу измерения скорости принять какую-либо из характерных скоростей, например скорость звука, то результат измерения будет выражаться безразмерным числом.
Наиболее распространены три безразмерные скорости:числоМ,приведенная скоростьλ иприведенная (относительная) скоростьΛ.Приведенные скоростииначе называюткоэффициентами скорости.
ЧисломМназывается отношение скорости потока к местной скорости звука
M = w / a.(2.50)
Впервые эта величина была использована в трудах профессора Петербургской артиллерийской академии Н.В.Маиевского (1868), затем этим отношением пользовался австрийский физик Э.Мах (1887). В связи с этим в советской технической литературе отношение _ часто называют числом Маиевского, в немецкой — числом Маха. Иногда в английской литературе эту величину называют числом Бэрстоу.
Приведенной скоростью, или коэффициентом скоростиλназывается отношение скорости потока к критической скорости
λ = w / aкр. (2.51)
Числом Λили относительной скоростью называется отношение скорости потока к максимальной скорости течения газа
Λ = w / wmax . (2.52)
Заметим, что величиной w2/w2max=Λ2 пользовался академик С.А. Чаплыгин еще в первых работах по газовой динамике. Поэтому ее иногда называют числом Чаплыгина.
Численное значение безразмерных скоростей может изменяться в следующем диапазоне:
число М от0до∞
число λ от0до
число Λот0до1,
так как скорость потока может изменяться от 0 доwmах,а местная скорость звука в том сечении, гдеw=wmax, равна нулю (потому что температура равна нулю).
Связь между приведенными скоростями λ иΛустанавливается следующим путем:
следовательно,
(2.53)
Для установления зависимости между приведенной скоростью и числом М возьмем отношение их квадратов
откуда
(2.54)
или
(2.55)
График зависимости приведенной скорости от числа Мизображен на рис.15. Из графика видно, что значенияМиλчисленно совпадают приМ=1иМ=0. КогдаМ−›∞, то приведенная скоростьλстремится ко вполне определенному пределу
Это значение легко получить, устремив
число Мк
бесконечности. Тогдаw
стремится к максимальной скорости иλ —к
величинеwmax/aкр,
которая равна
(см. формулу (2.48)). Последняя является
наибольшей из всех возможных величинλи
называется максимальной приведенной
скоростьюλмах.
Для воздуха (k =
1,4)λmax
= 2,449.
Числа М, λиΛ являются критериями подобия для сжимаемой жидкости. Так например, если в двух геометрически подобных каналах числаМна входе будут одинаковы, то отношения скоростей, давлений, температур, плотностей в двух сечениях одного канала будут равны соответствующим отношениям в двух сходственных сечениях другого канала.
Поскольку число Мсвязано с приведенными скоростямиλиΛоднозначными зависимостями, то, вместо того, чтобы устанавливать одинаковые числаМ на входе в каналы, можно установить одинаковые числаλили одинаковые числаΛ. В этом случае подобие потоков также будет соблюдаться.
с.20…24. с.42…47. 4 с.56..60. 5 с.416…418.
6 с.135…139. 7 с.49…51. 8 с.193..195.