2.3.2.2. Подобие гидромеханических процессов

Запишем для вертикальной оси z уравнения Навье – Стокса:

(2.96)

Уравнение (2.96) преобразуем следующим образом: отбросив знаки математических операторов, делим одну часть уравнения на другую и находим критерии подобия.

, (I)

, (II)

ρg, (III)

, (IV)

. (V)

Члены в правой части уравнения разделим на :

, , (2.97)

где Fr – критерий Фруда.

Этот критерий отражает влияние сил тяжести на движение жидкости, является мерой отношения сил инерции и тяжести.

, , (2.98)

где Eu– критерий Эйлера. Критерий Эйлера является мерой отношения сил поверхностного давления и инерции.

, , (2.99)

где Re – критерий Рейнольдса. Критерий Рейнольдса является мерой отношения сил инерции и вязкого трения.

Внутри левой части уравнения имеем:

(2.100)

где Но – критерий гомохронности (для неустановившегося движения).

Все критерии, симплексы, константы подобия безразмерные величины.

Для гидродинамического подобия двух явлений требуется:

Г_i =idem (i=1,2,3…n),

Re = idem, Eu = idem, Fr = idem, Ho = idem. (2.101)

Решение уравнения Навье – Стокса может быть представлено критериальным уравнением вида:

f(Re, Ho, Eu,Fr)=0. (2.102)

В ряде случаев (течение жидкости по трубе, например) последнее уравнение должно быть дополнено симплексами подобия:

f(Re, Ho, Eu, Fr, Г_i)=0. (2.103)

Обычно определяют Δp, тогда

Eu= f(Re, Ho, Fr, Г_i). (2.104)

Для установившихся процессов критерий гомохронности Ho = 0 и должен быть исключен из уравнений, а критерием Fr можно пренебречь вследствие того, что сила тяжести мала по сравнению с силами инерции и вязкого трения. Таким образом, зависимость (2.104) сводится к виду:

Eu = f(Re, Г_i). (2.105)

При развитых турбулентных режимах, в зоне автомодельности сопротивления трения по критерию Re, зависимость еще более упрощается и принимает вид:

Eu= f(Г_i). (2.106)

Результаты экспериментальных данных обрабатываются, обычно, в виде степенной зависимости:

. (2.107)

Константы A, a_i определяются экспериментально.

Рассмотрим подобие граничных условий. Вязкий поток импульса через границу раздела фаз можно определить по закону Ньютона:

. (2.108)

Тот же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности w_x на границе и в ядре потока среды:

, (2.109)

где γ – коэффициент импульсоотдачи.

Тогда получим:

. (2.110)

Проведя формальное преобразование получим:

, (2.111)

где l – характерная линейная величина, - гидродинамический критерий Нуссельта.

Гидродинамический критерий Нуссельта является безразмерной формой коэффициента импульсоотдачи. Поскольку поле скорости w_x однозначно определяет коэффициент γ, решение уравнений Навье – Стокса можно представить следующим образом:

= f_г(Re, Ho, Fr, Г_i). (2.112)

Для многих практически важных случаев число определяющих критериев может быть сокращенно. Влияние силы тяжести на w_x зачастую можно пренебречь и исключить критерий Фруда. Для стационарных процессов исключается критерий гомохронности. Процесс импульсоотдачи может стать автомодельным и по отношению к критерию Рейнольдса.