2.3.2. Физическое моделирование

Физическое моделирование проводится на основе экспериментального изучения материальных моделей объекта. При этом возникают три проблемы:

• какую модель использовать (форма, размер, среда),

• какие характеристики измерять,

• как перенести результаты исследования с модели на объект.

Эти проблемы решаются с помощью теории подобия, являющейся теоретической основой физического моделирования.

2.3.2.1. Теория подобия

Подобие в широком смысле – это возможность распространения результатов экспериментов с модели на оригинал. В узком смысле подобие – это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщенных переменных или, по-другому, постоянство отношения сходственных величин модели и оригинала. Далее подобие будем понимать в узком смысле.

Подобные объекты описываются одной системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности (геометрическое подобие, временное подобие, подобие физических величин, подобие начальных и граничных условий).

Геометрическое подобие – постоянство отношения всех сходственных линейных размеров модели и оригинала.

, (2.88)

где и - сходственные линейные размеры модели и объекта; - константа геометрического подобия.

Временное подобие (гомохранность) – постоянство отношения сходственных интервалов времени модели и оригинала:

. (2.89)

Если =1, то имеем синхронность.

Подобие физических величин – постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходственных точках в сходственные моменты времени:

. (2.90)

Подобие модели и объекта предполагают подобие полей физических величин:

- гидродинамическое подобие (подобие полей скоростей);

- тепловое подобие (подобие полей температуры);

- концентрационное подобие (подобие полей концентраций).

Подобие начальных условий – подобие полей всех физических величин в начальный момент времени.

Подобие граничных условий – постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала.

Константа подобия – отношения одноименных величин модели и оригинала. Они постоянны для различных сходственных точек подобных систем.

Инварианты подобия – безразмерные отношения величин, характеризующих модель или оригинал. Инварианты подобия – еще называют обобщенными или безразмерными переменными.

Симплексы подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин:

. (2.91)

Критерии подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения разнородных, сложных величин:

Например

. (2.92)

Определяющие критерии подобия составлены из величин, входящих в условия однозначности. Определяемые критерии подобия содержат величины, которые необходимо определить.

Наиболее простой метод получения критериев подобия заключается в следующем: дифференциальные уравнения приводятся к безразмерному виду делением всех членов на один из них. Полученные комплексы являются критериями подобия.

Теоремы подобия:

1. Подобные объекты характеризуются численно равными критериями подобия.

2. Решение дифференциального уравнения (уравнений) описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

3. Объекты подобны, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии равны.

Математическая зависимость между критериями и симплексами подобия, характеризующая данный процесс переноса субстанции, называется критериальным уравнением:

φ . (2.93)

Если определяемый критерий, то получаем:

. (2.94)

Обычно критериальные уравнения имеют вид степенной зависимости:

. (2.95)

Величины А, а₁, а₂, …, в₁, в₂ … - определятся экспериментально.

Если какой-либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый критерий, то его исключают из уравнения.