2. Современная величина обычной ренты.

Понятие современной величины ренты, (ее называют также текущей или приведенной величиной) нами было рассмотрено ранее.

Рассмотрение методов определения современной величины начнем с годовой обычной ренты, описываемой параметрами:

R- рентный годовой платеж;

i – годовая процентная ставка, начисляемая в конце периода ренты;

n - срок ренты.

Оценка современной величины производится на момент начала реализации ренты (рента немедленная)

А = R * а _{n ; i} (10)

где:

А- современная величина рента с равными членами- R;

1- (1+i)^-n

a = -------------- (11)

i

где:

1. коэффициент приведения ренты, показывающий, сколько рентных платежей (R) содержится в современной величине.

Подстрочные символы n;i обозначают: n- срок ренты; i- годовая процентная ставка.

Пример.

Фирмой планируется создание в течение 3-х лет фонда развития в размере 150,0 млн. руб. Фирма имеет возможность ассигновать на эти цели ежегодно 41,2 млн. руб., помещая их в банк под 20% годовых (проценты сложные).

Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда в размере 150 млн. руб., если бы она поместила ее в банк на три года под 205 годовых.

Рассчитаем приведенную величину ренты с параметрами: R = 41,2; a = 3; i=20.

1-(1+0,2)³

А = 41,2 * ------------- = 86,79 млн. руб.

0,2

Действительно, если бы фирма имела возможность, указанную сумму (86,79 млн. руб.) поместить в банк на три года под 20% годовых, то наращенная составила бы:

S = 86,79 * (1+0,2)³ = 149,973 млн. руб. (≈150 млн. руб.)

В тоже время наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 41,2 млн. руб. под 20% годовых составит:

(1+0,2)³ - 1

S = 41,2* --------------- = 149,968 млн. руб. (≈150 млн. руб.)

0,2

Математически взаимосвязь между этими величинами можно выразить следующим образом:

1 - (1+i)^-n (1+i)^-n - 1

R * --------------- (1+i)ⁿ = R* ------------- = S.

i i

т.е. А * (1+i)ⁿ = S (12)

Рассмотрим расчет приведенной величины для различных рент.

1. Годовая рента с начислением процентов m- раз в году:

1-(1+j/m)^-mn

А = R*------------------ (13)

(1+j/m)^m -1

Чтобы иметь возможность пользоваться для расчета величины А таблицами приложения, после математического преобразования формулы (13) ее можно записать в следующем виде:

a _{mn; j/m}

А = R * ------------ (14)

S _{m; j/m}

2.) Расчет современной величины р- срочной ренты при начислении процентов один раз в году (m= 1). При начислении такой ренты для получения коэффициента приведения используется формула:

1-(1+i)^-n

a^(p)_n;i = ------------------- (15)

P*[ (1+i)^1/p -1]

Современная величина:

А = R* a^(p)_n;i (16)

Пример.

Годовой платеж- 41,2 млн. руб. вносится два раза в год (по полугодиям) равными частями по 20,6 млн. руб. в течение трех лет, проценты начисляются один раз в год (20%).

Современная величина равна:

1- (1+0,2)³

А = 41,2 * ------------------------ = 90,9249 млн. руб.

2* [(1+0,2)^1/2 – 1]

3.) Расчет современной величины с начислением процентов процентом m раз в году при условии, что число рентных платежей в течении года не равно числу периоду начисления процентов (р≠ m).

Коэффициент приведения рассчитывается по формуле:

1 – (1+j/m)^-mn

a ^(p) _{mn; j/m} = --------------------------- (17)

P*[ (1+j/m) ^mp – 1]

Современная величина равна:

A = R * a ^(p) _{mn; j/m} (18)

2. Определение параметров других видов рентных платежей.

На практике встречаются ренты, отличающиеся от рассмотренных выше рядом параметров. В них расчет обобщающих показателей имеет ряд особенностей.

Отложенная рента. Рассмотрим расчет современной величины для отложенных (отсроченных) рент, т.е. таких, срок реализации которых откладывается на время, указанное в контракте. Современная величина отложенной ренты является дисконтированной величиной современной величины немедленной ренты по принятой для нее процентной ставке. Период отсрочки выплаты рентных платежей и процентных ставок служит основанием для определения величины дисконтного множителя.

Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:

Аt = A * V ^t (19)

где:

Аt – современная величина отложенной ренты;

1. современная величина немедленной ренты;

V ^t – дисконтный множитель за t- лет.

Рента пронумерандо. Она отличается от обычной ренты тем, что платежи в ней производятся не в конце, а в начале платежного периода. В результате различие между ними сводится к числу периодов начисления процентов. Сумма членов ренты пронумерандо будет больше наращенной суммы постнумерандо в (1+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пронумерандо равна:

S‘ = S * (1+i) (20)

где

S- наращенная сумма постнумерандо.

Для годовой ренты пренумерандо с m- разовым начислением процентов расчет наращенной суммы производится по формуле:

S’ = S * (1 + j/m)^m (21)

Для р- срочной ренты:

S’ = S * (1+i) ^1/p (22)

S’ = S * (1+j/m) ^m/p (23)

В приведенных формулах величина S определяется для соответствующих обыкновенных рент.

Современные величины рент пронумерандо рассчитываются аналогично, т.е. рассчитывается современная величина обыкновенной ренты, которая умножается на соответствующий множитель наращивания:

А’ = A (1+i) (24)

А’ = A (1+ j /m) ^m (25)