1. Расчет наращенной суммы обычной ренты.

Изложение методов расчета наращенной суммы годовой ренты проиллюстрируем следующим примером.

Пример 1.

Производственная фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью, в течение 5 лет, в конце каждого года в банк вносится 50,0 тыс. руб. под 20% годовых с последующей их капитализацией, т.е. с прибавлением уже накопленной сумме. Примем обозначения:

R- величина ежегодного взноса;

1. процентная ставка;

n- срок ренты;

m – период ренты (время между двумя платежами).

Представим эту финансовую операцию в виде таблицы.

Период взноса, год	Порядковый номер взноса
	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
1-й	50,0	0	0	0	0
2-й	50,0* 1,2	50,0	0	0	0
3-й	50,0 * 1,22	50,0 * 1,2	50,0	0	0
4-й	50,0 * 1,23	50,0 * 1,22	50,0 * 1,2	50,0	0
5-й	50,0 * 1,24	50,0 * 1,23	50,0 * 1,22	50,0 * 1,2	50,0
Итого	R (1 + i)4 = 50*(1+0,2)4= 50 * 1,24	R (1 + i)3 = 50*(1+0,2)3	R (1 + i)2 = 50*1,22	R (1 + i)= 50 * 1,2	R = 50

Как видно из таблицы, на вносимые платежи в течение всего срока ренты начисляются проценты в следующем порядке:

На 1-й взнос 4 раза: R * (1 + i) ⁴ = R * (1 + i) ^n-1;

На 2-й взнос 3 раза: R * (1 + i) ³ = R * (1 + i) ^n-2;

На 3-й взнос 2 раза: R * (1 + i) ² = R * (1 + i) ^n-3;

На 4-й взнос 1 раз: R * (1 + i) = R * (1 + i) ^n-4;

На 5-й взнос проценты не начисляются – R.

Наращенная сумма к концу срока ренты составит сумму членов этого ряда, который, если его переписать в обратном порядке, является возрастающей геометрической прогрессией, где R – первый член прогрессии, а величина (1+i)- знаменатель прогрессии. Тогда сумму членов этого ряда, т.е. наращенную сумму ренты можно определить по формуле:

R * (1+i)ⁿ – 1 (1+i)ⁿ – 1

S =------------------- = R * -------------- (1)

(1+i) – 1 i

(1+i)ⁿ – 1

Величина -----------

i

является коэффициентом наращивания ренты, который иногда называют также коэффициентом аккумуляции вкладов. Он показывает во сколько раз наращенная сумма ренты больше первого члена ренты.

Обозначим коэффициент наращивания S n;i , где подстрочные символы n; i указывают на срок ренты n и применяемую процентную ставку. Тогда формула (1) примет вид:

S = R * S n;i (2)

По данным примера 1 рассчитаем наращенную сумму ренты:

50* (1 +0,2)⁵ -1

S = -------------------- = 372,08 млн.руб

0,2

Эту же величину можно получить, выбрав по Приложению 3 коэффициент наращивания ренты S _5;20 =7,4416.

Выше был рассмотрен метод расчета наращенной суммы, когда рентный платеж производится один раз в году и начисление процентов также производится один раз в году. Вместе с тем, возможны и другие условия поступления или выплаты рентных платежей, а также порядок начисления процентов на них. Рассмотрим некоторые варианты.

1.)Пусть рентные платежи вносятся несколько раз в году, проценты на них начисляются несколько раз в году ( m – раз в году). В этом случае начисление процентов каждый раз будет производиться по ставке j/m, где j- номинальная (годовая) ставка сложных процентов. Величина же наращенной суммы будет определяться по формуле.

(1+j/m)^mn – 1

S = R* ------------------------ (3)

(1+j/m)^m – 1

где n – срок ренты в годах.

2.) Пусть рентные платежи вносятся несколько раз в году равными суммами (р- срочная рента), а начисление процентов производится один раз в году, в конце года (m=1).

Тогда годовой платеж –R; первый член ренты- R/p, а коэффициент наращения определятся по формуле:

(1+i/)ⁿ – 1

S^(P)_n;i = ------------------------ (4)

P*[ (1+i)^1/p – 1]

где

Р- число поступлений ренты и платежей в течение года;

i – процентная ставка;

n- срок ренты в годах.

Наращенная сумма для р-срочной ренты определяется по формуле:

S = R * S^(P)_n;i (5)

3.) Пусть рентные платежи вносятся несколько раз в году (р-срочная рента), начисление процентов производится m-раз в году, число периодов начисления процентов в течение года равно числу рентных платежей в течении года, т.е. m=p.

Коэффициент наращивания определяется по формуле:

(1+j/m/)^mn – 1

S^(p=m)_nj = ------------------------ (6)

j

где:

j- номинальная (годовая) ставка процентов;

n- срок ренты в годах;

m- число периодов начисления процентов в течении года.

Наращенная сумма определяется по формуле:

S = R* S^(p=m)_nj (7)

4.) Пусть рентные платежи вносятся несколько раз в году, начисление процентов также производятся несколько раз в году, число рентных платежей в течении года не равно числу периодов начисления процентов, т.е р ≠ m. В подобных случаях рента носит название общей. Коэффициент наращивания общей ренты определяется по формуле:

(1+j/m)^mn – 1

S^(m;p)_n;j = ------------------------ (8)

P*[ (1+j/m)^m/p – 1]

где

р- число рентных платежей в течение года;

m- число периодов начисления процентов в течении года;

j- номинальная ставка процентов;

n- срок ренты.

Наращенная сумма определяется по формуле:

S = R* S^(m;p)_n;j (9)

где:

R – общая сумма рентных платежей за год.