5.3. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов

Интерполяционные формулы Ньютона строятся для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента h:

. (5.10)

5.3.1. Конечные разности

Для функции, заданной табл. 5.1 с постоянным шагом (5.10), определим разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции:

, (5.11)

называемые конечными разностями первого порядка.

Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:

. (5.12)

Аналогично получают выражение для конечных разностей третьего порядка:

. (5.13)

Методом математической индукции можно доказать, что

. (5.14)

5.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный полином в виде:

. (5.15)

Значения коэффициентов найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая, из (5.15) найдем, откуда. Далее последовательно придаваях значения и, получаем:

откуда ;

,

т. е.

,

или

,

откуда

.

Затем, проведя аналогичные выкладки, можно получить

.

В общем случае выражение для будет иметь вид

. (5.16)

Подставляя (5.16) в выражение для многочлена (5.15), получаем

(5.17)

Функция пакета MathCAD, возвращающая значения первого интерполяционного полинома Ньютона, представлена на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Функция, возвращающая значения первого интерполяционного полинома Ньютона. Аргументы функции: t  координата точки; x  вектор, содержащий координаты узловых точек; y  вектор, содержащий значения интерполируемой функции в узловых точках

При ручных вычислениях формула (5.17) применяется несколько в ином виде. Положим , т.е., тогда:

,

,

…

.

Подставляя данные выражения в (5.17), окончательно получаем:

.

. (5.18)

Формула (5.18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Данная формула применяется для интегрирования в начале отрезка, когда t мало по абсолютной величине.

5.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, используется вторая интерполяционная формула Ньютона, которая получается, если отыскивать интерполяционный полином в виде:

(5.19)

Коэффициенты полинома (5.19), находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах:

. (5.20)

Функция пакета MathCAD, возвращающая значения второго интерполяционного полинома Ньютона, представлена на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Функция, возвращающая значения второго интерполяционного полинома Ньютона. Аргументы функции: t  координата точке; x  вектор, содержащий координаты узловых точек; y  вектор, содержащий значения интерполируемой функции в узловых точках

Подставив (5.20) в (5.19) и перейдя к переменной , получим окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона, используемой при ручных вычислениях:

. (5.21)