7728

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Теория множеств и теория графов»

для обучающихся по направлению подготовки 54.03.01 Дизайн, направленность (профиль) Промышленный дизайн

Нижний Новгород

2022

2

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

М.И. Лиогонький, Л.А. Протасова

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Теория множеств и теория графов»

для обучающихся по направлению подготовки 54.03.01 Дизайн, направленность (профиль) Промышленный дизайн

Нижний Новгород ННГАСУ

2022

5

1.Элементы теории множеств

1.1Общие представления о множествах

Обычно, когда вводится какое-либо новое понятие, то оно опирается на из-

вестное понятие или известные понятия, частным случаем которого или кото-

рых оно является. Например, параллелограмм есть четырехугольник, у которо-

го противоположные стороны равны и параллельны. Окружность есть линия

на плоскости, все точки которой удалены от некоторой фиксированной точки

на некоторое фиксированное расстояние и т.д.

Понятие множества не имеет формального определенияоно первично. Один из создателей теории множеств Георг Кантор(1845-1918) сказал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Интуитивно, под множеством пони-

мается совокупность различных объектов, объединенных по какому-то одному или нескольким признакам.

Нет никаких ограничений на природу объектов, составляющих множество.

Так про окружность можно сказать, что это множество точек равноудаленных от фиксированной точки на расстоянии радиуса. Можно говорить о множестве сту-

дентов в данной аудитории, о множестве книг некоторой библиотеки, о множе-

стве букв некоторого алфавита, о множестве автомобилей на дорогах города, о

множестве целых числа от 1 до 1000, о множестве атомов серебра в данной мо-

нете или о множестве всевозможных идей, которые имело человечество, и т.д.

Множества часто обозначают прописными латинскими буквами A, B, C, X,Y.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Эле-

менты множеств обычно обозначаются строчными латинскими буквами x, y, a, b, c. Тот факт, что объект x принадлежит множеству A, передается записью x A

(читается – «элемент x принадлежит множеству A»). Если x не является элемен-

том A, то пишут x A.

Два множества А и В считаются равными (записывается А=В), если они состоят из одного и того же набора элементов. Т.е. А=В тогда и только тогда,

когда из того, что x A следует, что x В, а из того, что x В следует, что x A.

6

1.2 Способы задания множеств.

Существует два основных способа задания множеств: перечисление и опи-

сание. При первом способе просто перечисляются все элементы задаваемого множества. Например, множество букв алфавита некоторого языка определяется списком всех его букв, множество студентов в группе определяется студентами,

фамилия и имена которых совпадают со списком в журнале посещаемости, мно-

жество простых чисел меньших тысячи может быть задано перечислением всех таких чисел и т.д. В дальнейшем будем пользоваться общепринятыми обозначе-

ниями множеств:

N - множество натуральных чисел,

Z - множество целых чисел,

Q - множество рациональных чисел,

C - множество комплексных чисел,

R - множество действительных чисел.

Конечно, нельзя ни одно из этих множеств (хотя бы в силу их бесконечно-

сти), задать перечислением их элементов. Но опыт работы с элементами этих множеств позволяет предполагать, что в каждой конкретной задаче понятно, об

элементах каких из перечисленных множеств идет речь.

При втором способе элементы множества задаются при помощи характери-

стического свойства, устанавливающего какие элементы (принадлежащие, как

правило, некоторому объемлющему множеству) принадлежат задаваемому

множеству. В этом случае в фигурных скобках записывается произвольный эле-

мент множества и за вертикальной чертой записываются свойства, которыми этот элемент должен обладать:

A={x| P(x)} - A есть множество таких элементов x, которые обладают свой-

ствами P(x).

Свойства P(x) могут быть заданы или в виде словесного описания, или в ви-

де неравенств, или в виде уравнений.

Например, множество натуральных чисел от 1 до 1000 может быть записано таким образом N1000 = {x| x N и x 1000}.

7

Множество, записанное следующим образом:

Ф={n| n N и уравнение xn+yn = zn имеет решение в целых числах}

связано с великой теоремой Ферма.

Однако состав множества, определенного описанием, не всегда очевиден, и

причина этого кроется гораздо глубже, чем просто недостаточная выразитель-

ность языка. Так только недавно было доказано (доказана теорема), что приве-

денное выше множество Ф состоит всего из двух элементов : Ф={1,2}.

Если множество содержит конечное число элементов, то говорят, что оно

конечно, в противном случае множество называется бесконечным.

Приведенные множества N1000 и Ф конечные, а описанные множества пар чисел

А={(x,y) y x2-x} и В={(x,y) y x},

геометрические интерпретации которых приведены на рис.1, являются беско-

нечными.

Рис.1 Само слово «множество» наводит на мысль, что в множестве содержится

много элементов. Но это не так. Можно рассматривать множества, состоящие всего из одного элемента, и даже множество, не имеющее ни одного элемента.

Последнее множество называется пустым множеством и для него существует обозначение: .

Например, множество

А= {x| х N и для любого натурального числа у N верно, что xу=у}

состоит всего из одного элемента, которым является 1, а множество

В={x| х N и x2+1=0}

8

не содержит элементов и, следовательно, В= .

Все пустые множества равны между собой , иначе говоря, существует только

одно пустое множество.

1.3 Подмножества. Универсальное множество. Множество всех подмно-

жеств данного множества.

Понятие подмножества возникает тогда, когда необходимо рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества.

Множество B называется подмножеством множества A (записывается

B A), если всякий элемент множества B является элементом множества A. За-

пись B A не исключает, что B=A. Пустое множество по определению является подмножеством любого множества.

По определению пустое множество является конечным. Также по определе-

нию множество является подмножеством самого себя, A A.

Таким образом, у каждого множества (кроме пустого) есть, по крайней мере,

два подмножества - само множество и пустое множество.

Истинным, строгим или собственным подмножеством множества А называется такое его подмножество В, что В А и В А (записывается В А), где

- знак строгого включения. По отношению к множеству А пустое множество и само множество А называются несобственными подмножествами множества А.

Рассмотрим следующие три множества A = { 0, 1 }, B = {{ 0, 1 },2} и

C = {{{ 0, 1 }, 2} 3}. Между ними справедливы следующие соотношения:

A B (т.к. само множество А является элементом множества В), B C (т.к.

само множество В является элементом множества С), но A С (т.к. само множество А не является элементом множества С). При этом множество А не является подмножеством множества В (т.к. 0 А, но 0 В) и множество В не яв-

ляется подмножеством множества С (т.к. 2 В, но 2 В).

Очевидны следующие свойства множеств:

1. А В А В и А В.

9

2.А В А В или А=В.

3.А В А В.

4.А В А В.

5.А В и В С А С.

6.А В и В С А С.

7.А В и В С А С.

Покажем, например, выполнение свойства 5.

Докажем это методом от противного. Пусть А В и В С но А С и А С. Тогда существует такой элемент, что а А, но а С. Тогда, т.к. В С, то

а В. Получили противоречие: а А, а В, но А В.

Покажем выполнение свойства 6.

Так как А В и В С, то по свойству 3) А В и В С и по свойству 5) А С.

Осталось показать, что А С. Пусть это не так и А=С. То есть для любого элемен-

та а, из того, что а А следует, что а С. Так как В С, то В С и найдется эле-

мент b такой, что b В, но b С. Так как А В, то b А. Таким образом, элемент b

присутствует в множестве С, но отсутствует в множестве А, отсюда эти множе-

ства не равны.

Покажем выполнение свойства 7.

Так как В С, то по свойству 3) В С и тогда по свойству) А С. Осталось показать, что А С. Действительно, так как В С, то найдется элемент а, а С, но

а В. Так как А В, то а А. Отсюда а С, но а А, т.е. А С.

Если все рассматриваемые в ходе рассуждений множества являются под-

множествами некоторого фиксированного множество J, то это множество назы-

вают универсальным множеством или универсом (для рассматриваемого набора множеств). Таким образом, универс (для рассматриваемого набора мно-

жеств) - это такое множество, что любое рассматриваемое множество является его подмножеством.

10

1.4. Конечные множества и их подмножества. О числе m-элементных

подмножеств k-элементного множества.

1.4.1.Булеан множества.

Если множество А конечное, то число его элементов будем называть его мощностью и обозначать это число с помощью записи А .

Рассмотрим множество А={a,b,c}. Для этого множества А =3. Найдем

все его различные подмножества. Таковыми будут: пустое множество Ø, три од-

ноэлементных подмножества {a}, {b}, {c}, три двухэлементных подмножества

{a,b}, {a,c}, {b,c} и одно трёхэлементное множество {a,b,c} (само множество А).

Т.е. существует всего 8 подмножеств этого множества.

Для произвольного множества А множество всех его подмножеств будем обозначать как S(A) или 2А. Множество S(A) или 2А называется булеаном мно-

жества А.

Наша ближайшая задача состоит в нахождении числа всех подмножеств ко-

нечного множества А (т.е. в определении мощности булеана множества А) и

числа подмножеств множества А, состоящих из m элементов.

1.4.2 Некоторые комбинаторные понятия и соотношения.

Пусть имеется множество А, состоящее из k различных элементов

А={a1,a2,…,ak}.

Перестановкой элементов этого множества назовем произвольное упорядо-

чивание его элементов. Сколько существует различных перестановок элементов множества А?

Обозначим это число P(k). Для ответа на вопрос рассмотрим такие переста-

новки, у которых на первом месте стоит элемент ai .(i=1,…,k). Очевидно, таких будет столько, сколько существует перестановок множества

А1={a1,a2,..,ak}/{ ai}, состоящего из (k-1) элементов т.е. P(k-1). Т.к. на

первом месте может стоять любой элемент из множества А, то получается со-

отношение P(k)=k*P(k-1), которое может быть продолжено так

P(k)=k* P(k-1)= k*(k-1)*P(k-2)=k*(k-1)*(k-2)*P(k-3)=….=

=k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*…*2* P(1).