7728

11

Но очевидно, что P(1)= 1. Отсюда P(k)= k*(k-1)*(k-2)*(k-3)*…* 2*1.

т.е. число различных перестановок множества из k различных элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до k. Произведение по-

следовательных натуральных чисел от 1 до k называется в математике k-

факториалом и обозначается k!. Т.о. P(k)=k!.

m-размещением элементов множества А={a1, a2,…, ak}, состоящего из k

различных элементов (m k) называется произвольное упорядочивание произ-

вольного подмножества множества А, состоящего из m элементов. Сколько су-

ществует различных m-размещений множества А? Обозначим это число А(k,m).

Для ответа на этот вопрос рассмотрим такие размещения, в которых на первом месте стоит элемент ai .(i=1,…,k). Очевидно, таких будет столько, сколько суще-

ствует (m-1) размещений элементов множества А1={a1,a2,…, ak}/{ ai}, состояще-

го из (k-1) элементов, т.е. А((k-1),(m-1)). Но так как на первом месте может сто-

ять любой элемент из множества А, то получается соотношение А(k,m)= k*А((k- 1),(m-1)), которое может быть продолжено следующим образом

А(k,m)= k*А((k-1),(m-1))= k*(k-1)*(А((k-2),(m-2))=…=

=k*(k-1)*…*(k-(m-2))*А((k-(m-1),(m- (m-1)))= = k*(k-1)*…*(k-(m-2))*А((k-m+1),1).

Но если множество состоит из (k-m+1) элементов, то существует ровно

(k-m+1) различных 1-размещений элементов этого множества. Т.о.

А(k,m)= k*(k-1)*…*(k-(m-2))*А((k-m+1),1)= )= k*(k-1)*…*(k-(m-2))*(k-m+1).

Иными словами число различных m-размещений множества произвольного множества А, состоящего из k различных элементов, равно произведению m по-

следовательных натуральных чисел от (k-m+1) до k. Это число может быть получено по следующей формуле k!/(k-m)!. Таким образом

А(k,m)= k!/(k-m)!.

m-сочетанием множества А={a1, a2,…, ak}, состоящего из k различных эле-

ментов (m k) называется произвольное подмножество множества А, состоящее из m элементов. Сколько существует различных m-сочетаний множества А={a1,

12

a2,…,ak}? Иными словами, сколько существует различных подмножеств из m

различных элементов в множестве, состоящем из k различных элементов? Обо-

значим это число С(k,m).

Чтобы сформировать все m-размещения элементов множества

А={a1,a2,…,ak}, надо перебрать всевозможные m-сочетания элементов множе-

ства А={a1, a2,…, ak} (их в силу наших обозначений существует С(k,m)) и в каж-

дом таком сочетании произвести всевозможные упорядочивания (их в силу наших обозначений существует Р(m)). Иными словами справедлива следующая формула

А(k,m)= С(k,m)*Р(m),

из которой вытекает, что С(k,m) = А(k,m) /Р(m). Таким образом, окончательно получается, что

С(k,m) = k!/(k-m)!*m!.

В частности, т.к. 0!=1( по определению), то из этой формулы получаем

С(k,0)=1(существует только одно пустое подмножество у любого множества) и

С(k,k) =1 (существует одно подмножество, совпадающее с А).

1.4.3 Мощность булеана конечного множества.

Займемся теперь подсчетом числа S(A) ( 2А ) , т.е. числа различных под-

множеств множества А={a1, a2,…,ak}. В силу введенных обозначений число

S(A) = может быть представлено в виде следующей суммы

S(A) = С(k,0)+ С(k,1)+ С(k,2)+….+ С(k,k),

где С(k,i) -число подмножеств множества А, содержащих i (i=0,1,2…,k) элемен-

тов.

Для этого попробуем разложить многочлен (a+b)k по убывающим степеням буквы a. Для этого перепишем его в виде произведения k

сомножителей

(a+b)k = (a+b)·(a+b)·(a+b)· … ·(a+b)

При умножении этих скобок одночлен ambk-m , будет получаться, если в ка-

ких-то m скобках будет выбрана в качестве сомножителя буква a, а в осталь-

ных (k-m) скобках будет выбрана в качестве сомножителя буква b. Следователь-

13

но, этот одночлен будет встречаться столько раз, сколько существует различных m-подмножеств в множестве {1,2,3,….,k}, состоящем из k элементов, т.е. ровно

С(k,m) раз. В результате получается известная формула, которая носит название бинома Ньютона:

k

(a+b)k= C(k,m)a mbk -m =

m 0

=С(k,k) akb0 + С(k,(k-1)) ak-1b1 + С(k,(k-2)) ak-2b2 +….+ С(k,0) a0bk

Если теперь в данную формулу подставить вместо букв a и b единицы, то полу-

чим

k

2k= C(k,m) =С(k,k) + С(k,(k-1)) + С(k,(k-2)) +….+ С(k,0) ,

m 0

т.е. в множестве А={a1,a2,…,ak}, состоящем из k различных элементов суще-

ствует 2k различных подмножеств.

1.5Алгебраические операции над множествами.

1.5.1.Определение основных операций.

Основными алгебраическими операциями над множествами являются сле-

дующие:

-пересечение множеств(символ операции « »),

-объединение множеств(символ операции « »). -разность множеств (символ операции «\»).

Пересечением множеств А и В называется множество

А В={x| x A и x B}.

Объединением множеств А и В называется множество

А В={x|x A или x B}.

Разностью множеств А и В называется множество А\В={x|x A, но x B}.

Используя понятие универсума, можно ввести еще две операции над множе-

ствами: дополнение и симметрическую разность множеств.

Дополнением множества А (до универсума J) называется множество

Ā =J\A, т.е. Ā ={x| x J, но x A}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество

15

5) Законы поглощения.

Все эти законы могут быть доказаны с помощью поэлементной схемы доказа-

тельства.

1.6Счетные множества.

1.6.1Определение счетного множества.

Говоря, что множество бесконечно, мы имеем в виду, что из него можно взять элемент, два элемента и т.д., причем после каждого такого шага в этом множе-

стве ещё останутся элементы. “Простейшим” среди бесконечных множеств явля-

ется множество натуральных чисел.

Множества M и N называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Счетным множеством называется всякое множество эквивалентное мно-

жеству натуральных чисел N. Иначе говоря, элементы счетного множества А можно перенумеровать натуральными числами или, что то же самое, можно представить в виде последовательности {a1, a2,… an,…}

Примерами счетных множеств являются:

-множество целых чисел Z,

-множество всех четных положительных (отрицательных) чисел,

-множество натуральных степеней числа 2,

-множество рациональных чисел Q,

1.6.2 Свойства счетных множеств.

Свойство 1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Действительно, если А - счетное множество, то его элементы можно перенуме-

16

ровать. Пусть В - подмножество множества А. Тогда, если среди элементов мно-

жества В есть элемент с наибольшим номером, то множество В является конеч-

ным, в противном случае множество В будет счетным.

Свойство 2. Объединение конечного или счетного числа счетных множеств,

есть счетное множество.

Доказательство. Пусть имеются счетные множества А1,А2, …,Аm,… (этот список или конечен, в случае конечного числа множеств, или бесконечен в слу-

чае счетного числа множеств). Будем для простоты считать, эти множества не-

пересекающимися. Запишем исходные счетные множества в виде следующей таблицы

А1 ={a11, a12, a13, ...,a1n, …}, А2 ={a21, a22, a23, ...,a2n … }, А3 ={a31, a32, a33,...,a3n … },

………………………..

Аm ={am1, am2, am3, ...,amn, },

……………………….

Множество А= А1 А2 … Аm … может быть записано в виде следующей счет-

ной последовательности элементов: А={a11,a21,a12, a31, a22, a13,a14 …}.

Свойство 3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмноже-

ство.

Действительно, если А - бесконечное множество, то в нем есть хотя бы один элемент а. Внесем его в строящееся подмножество В, присвоив этому элементу номер 1. Так как А - бесконечное множество, то в нем после удаления элемента

а, останутся элементы. Возьмем любой элемент, присвоим ему номер 2, удалим его из множества А и включим его в множество В, и т.д. Построенное таким об-

разом множество В будет счетным.

1.7 Множества мощности континуум.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным.

Так как все счетные множества эквивалентны множеству натуральных чисел, то они все эквивалентны между собой.

17

Основным свойством бесконечных множеств является то, что всякое беско-

нечное множество эквивалентно своему истинному подмножеству. Действитель-

но, пусть M - бесконечное множество и А его счетное подмножество (существо-

вание множества А гарантирует свойство 3). Разобьем множество А на два счет-

ных подмножества А’ и А’’, где А’ - множество элементов из множества А с

четными номерами элементов, а А” - с нечетными номерами.

Рассмотрим соотношение 1:

M= A (M\A).

Это соотношение верно, так как

A (M\A) = A M A =(A M)(A A )=A M=M.

Здесь используется дистрибутивный закон алгебры множеств и то, что A M.

Рассмотрим соотношение 2:

M\A’’= A’ (M\A). Его справедливость следует, например, из следующих соот-

ношений.

A’ (M\A)=A’ M A =(A’ M)(A’ A )=M(A’ A )=A’ M\A’’=M\A’’.

Из соотношений 1 и 2 следует, что их правые части эквивалентны, а тем са-

мым доказывается эквивалентность множеств M и M\A’’, где M\А’’ M.

Теорема Кантора о существовании несчетных множеств.

Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей,

несчетно.

Доказательство. Пусть все действительные числа, заключенные в интервале от нуля до единицы, можно перенумеровать. Представим каждое такое действи-

тельное число в виде бесконечной десятичной дроби (дополнив, если это необ-

ходимо, их нулями). Покажем, что существует такое действительное число из интервала от нуля до единицы, которого нет среди перенумерованных чисел.

Это число =0, 1 2…. n…. строится так: первая после запятой цифра этого числа отлична от первой цифры после запятой первого перенумерованного чис-

ла, вторая после запятой цифра этого числа отлична от второй цифры после за-

пятой второго перенумерованного числа, и т.д. n-ая после запятой цифра этого числа отлична от n-ой цифры после запятой n-ого перенумерованного числа.

18

Ясно, что это число заключено в интервале (0,1), но оно не совпадает ни с од-

ним из перенумерованных чисел. Полученное противоречие и доказывает теоре-

му.

Множество, эквивалентное множеству действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, называется континуальным множеством или множе-

ством мощности континуум.

Итак, самыми “маленькими” из бесконечных множеств являются счетные множества. Множества мощности континуум являются множествами более вы-

сокой мощности. А существуют ли множества мощности большей, чем контину-

ум. На вопрос о существовании множеств более высокого порядка отвечает сле-

дующая теорема, так же принадлежащая Кантору.

Теорема Кантора о существовании множеств мощности более континуу-

ма.

Пусть M - некоторое множество и S(M) - булеан множества M. Тогда

|S(M)|>|M|.

Доказательство

Если множество M - конечно и |M|=n, то теорема верна, т.к. |S (M)|= 2n>n.

Очевидно, что для бесконечного множества M верно, что |S (M)| |M|, так как множество S(M) содержит по крайней мере все одноэлементные подмножества из элементов множества M. Покажем что |S(M)| |M|. Доказательство

будем проводить от противного.

Пусть |M|=|S(M)|, т.е. множества M и S(M) эквивалентны, а это означает, что существует взаимно однозначное соответствие между элементами этих мно-

жеств. Пусть при таком соответствии элементу a из множества M соответствует множество A - элемент булеана S(M); элементу b соответствует множество В

(элемент множества S(M)); элементу с - множество С и т.д. Построим из элемен-

тов множества M следующее множество X: для пары соответствующих членов

(а,А) элемент а поместим в множество X тогда и только тогда, когда элемент а не принадлежит множеству А, алогично, элемент b поместим в множество X ,

если этот элемент не принадлежит множеству В и так по всем элементам мно-

19

жества М. Это множество Х не пусто, т.к. ему, например, будет принадлежать элемент из М, который при установленном соответствии соответствует пустому подмножеству множества М, которое является элементом S(M)

Так как множество X состоит из элементов множества M, то это множество является элементом множества S(M) и ему, как и любому другому элементу из множества S(M), должен соответствовать некоторый элемент x из множества M.

Но такого элемента быть не может. Действительно, если такой элемент x есть, то по построению множества X, он множеству X принадлежать не должен, а раз он ему не принадлежит, то, опять же по построению множества X, он должен мно-

жеству X принадлежать. Полученное противоречие показывает, что множества

M и S(M) не могут быть эквивалентными, а это и доказывает теорему.

Теорема Кантора-Бернштейна.

Пусть А и В произвольные множества. Если в множестве А есть подмноже-

ство А1, эквивалентное множеству В, а в множестве В есть подмножество В1, эк-

вивалентное множеству А, то А и В эквивалентные множества.

С помощью данной теоремы можно легко показать, что множество всех под-

множеств множества натуральных чисел эквивалентно множеству действи-

тельных чисел на отрезке [0,1] и, поэтому, является множеством

мощности континуум.

1.8 Прямое произведение множеств.

Прямым произведением множеств А и В называется множество

А В={(a,b)| a A, b B}, т.е. множество тех и только тех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая В.

Введем обозначения: А2 =А А , Аn=А А А … А.

А2-будем называть декартовым квадратом множества А, а Аn-n-ой декартовой степенью множества А.

Очевидно, что для конечного множества А справедливо равенство:

Аn= Аn.

20

Выяcнить, какие из следующих равенств справедливы для любых множеств

A,B,C,D:

1)А В= В А

2)(А В) C=(А C) (В C)

3)(А В) (C D)=(А C) (В D)

1.9Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений.

Пусть есть два множества А и В. Любое подмножество R А В называется бинарным отношением, определенным на множествах А и В. Т.е. бинарное от-

ношение R есть некоторая совокупность пар вида (x,y), где х A, y B.

Если задано бинарное отношение R и (x,y) R, То говорят, что x и y находят-

ся в отношении R и записывают так: xRy.

Если R А А, то R называется бинарным отношением на А.

Бинарные отношения на множестве А могут обладать или не обладать сле-

дующими свойствами..

1) Бинарное отношение R называется рефлексивным, если для любого x А справедливо, что (x,x) R или, что то же xRx

2) Бинарное отношение называется антирефлексивным, если для всех x A

(x,x) R.

3) Бинарное отношение R называется симметричным, если из того, что

(x,y) R следует, что (y,x) R ,или, что то же из того, что xRy ,что yRx .

4) Бинарное отношение называется антисимметричным, если из того, что xRy и yRx следует, что x=y.

5) Бинарное отношение называется транзитивным, если из того, что xRy и yRz следует, что xRz.

Какими из свойств 1)-5) обладают следующие отношения, определенные на множестве А={1,2,3,4,5}?

R1: aR1b a-b =1;

R2: aR2b 0 <a-b<3;

R3: aR3b a+b - четное число;