7728
.pdf
51
тические объекты и свойства этих объектов могут быть записаны в виде формул логики предикатов.
Рассмотрим на множестве натуральных чисел три предиката:
P(x,y,z)= «xy=z», Q(x,y)= «x<y», R(x,y,)= «x=y»,
В таком случае формула
E1(x)=(y)(R(x,y,) (Q(x,y))
на множестве натуральных чисел будет истинна только, если х=1. Или можно сказать, что эта формула определяет единицу. Единицу определяет также и фор-
мула
E2(x)=(y)(Р(x,y,у).
Но эти две формулы не будут равносильными, так как они содержат разные пре-
дикатные переменные.
(x)(y)(P(x,y,z) (E(x)&R(y,z) E(y)&R(x,z))
будет истинной только в том случае, когда число z является простым, т.е.
эта формула выделяет среди натуральных чисел простые числа.
В разделе 1.10 было введено понятие бинарного отношения на некотором множестве М. Очевидно, задание бинарного отношения на множестве равно-
сильно заданию некоторого двуместного предиката Р на этом множестве. И то-
гда свойства бинарного отношения могут быть записаны формулами логики пре-
дикатов. Вот некоторые из них:
свойство рефлексивности: (x)(P(x,x)) ;
свойство симметрии: (x)(y)(P(x,y) Р(y,х));
свойство транзитивности: (x)(y)(z)(P(x,y)&Р(y,z) Р(x,z)).
Свойство эквивалентности может быть записано следующей формулой:
(x)(P(x,x))& (x)(y)(P(x,y) Р(y,х))& (x)(y)(z)(P(x,y)&Р(y,z) Р(x,z)).
Двуместный предикат задает на множестве линейный порядок, если
(x)(y)(P(x,y) Р(y,х))& (x)(y)(P(x,y) P( y, x)) & (x)(y)(z)(P(x,y)&Р(y,z) Р(x,z)).
52
Задания для контрольной работы по разделу элементы теории множеств и
математической логики.
Задание 1. Докажите тождества двумя способами:
а) используя определение равенства множеств и операций над множествами;
б) с помощью алгебры логики:
1. |
A\(B C)=(A\B) (A\C) |
11. |
A\(B C)=(A\B) (A\C) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A\(B C)=(A\B) (A\C) |
12.(A B)\C=(A\C) (B\C) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
A (B\C)=(A B)\(A C) |
13.((A\B) (B\A)) (A B)=A B |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
A (B\C)=(A B)\(C\A) |
14. |
(A\C)\(B\C)= (A\C)\B |
||||
|
|
|
|
|
|
||
5. |
(A B)\(A C)= A (B\C) |
|
|
|
|
||
15. |
(A B)= A B) A |
||||||
|
|
|
|
|
|||
6.A\(B C)=(A\B)\C |
16. |
(A\C)\B=A\(C B) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
7. |
(A\B) (A\C)=A\(B C) |
17. |
A (B\C)= (A B)\(A C) |
||||
|
|
|
|
|
|||
8. A (B C)=(A B) (A C) |
18. |
(A B) (A C)= A (B C) |
|||||
|
|
|
|
|
|||
9. A (B C)=A B) (A C) |
19. |
(A\B) (A\C)= A\(B C) |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
20. |
(A B)\(A C)= A (B\C) |
||
10. A\(B C)=A (B \ C) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. С помощью формул алгебры высказываний, выяснить справедливы ли следствия, сделанные из имеющихся посылок.
1.Если курс рубля падает или курс евро растет и одновременно фунт стерлингов стабилен, то цена золота в долларах растет. Цена золота в долларах растет тогда и только тогда, когда растет цена серебра. Цена серебра не растет, а курс евро увеличивается. Следовательно, курс фунта стерлингов нестабилен.
2. Либо ночь светла, либо горят фонари и работают светофоры. Если влажность воздуха высока, то нельзя делать ремонт контактной сети. Ремонт контактной се-
ти можно делать тогда и только тогда, когда светофоры работают. Влажность воздуха высока. Следовательно, ночь светла.
3. Если Джонкоммунист, то Джон – атеист. Джон – атеист. Следовательно,
Джон-коммунист.
53
4. Если Иванов знает. Петрова, то Петров знает Иванова. Иванов знает Петрова тогда и только тогда, когда Сергеев знает Иванова. Известно, что Сергеев знает Иванова. Тогда Петров Иванова тоже знает.
5.Каждое число из множества U обладает свойством С, а также свойством А или свойством В. Из выполнения свойства С следует выполнение свойства D. Свой-
ство D несовместно со свойством В. Следовательно, каждое число из U удовле-
творяет свойству А.
6.Известно, что, либо налоги падают и цены растут, либо уровень безработицы остается постоянным. Если налоги падают, то инфляция растет.
Инфляция не растет. Значит уровень безработицы остается постоянным.
7.Если не было дождей или были заморозки, то урожай плохой. Известно, что урожай хороший, а заморозков не было. Значит, дожди были.
8.Если запись числа заканчивается двумя нулями, то оно делится на 4. Число заканчивается на 4. Следовательно, его запись заканчивается двумя нулями.
9.Число обладает либо свойствами А и В одновременно, либо свойством С.
Если число обладает свойством С, то оно обладает и свойством Д.Если выполня-
ется свойство Д, то свойство В не выполняется. Известно, что свойство В выпол-
няется. Тогда выполняется и свойство А.
10. Если письмо получено, то Игорь или Ольга читали именно его. Если письмо получено и Ольга его прочитала, то Игорь его не читал. Либо Игорь прочитал письмо, либо оно не было получено. Письмо получено. Значит, Ольга его не чи-
тала.
Задание 3 .Дано множество М={a,b}. Предикат P(x,y) на множестве М задан следующей таблицей
x |
y |
P(x,y) |
|
|
|
a |
a |
0 |
|
|
|
a |
b |
1 |
|
|
|
b |
a |
1 |
|
|
|
b |
b |
1 |
|
|
|
Определить значения следующих высказываний:
54
1.( x) P(x,y) |
6. |
( x) ( y) P(x,y) |
|
|
|
|
|
2. |
( y) P(a,y) |
7. |
( x) ( y) P(x,y) |
|
|
|
|
3. |
( x) P(x,y) |
8. |
( y) ( x) P(x,y) |
|
|
|
|
4. .( x) P(x,a) |
9. |
( x) ( y) P(x,y) |
|
|
|
|
|
5. |
( x) ( y) P(x,y) |
10. ( y) ( x) P(x,y) |
|
|
|
||
Задание 4. Пусть Z- множество всех целых чисел, а N0 =N {0} - множество |
|||
всех неотрицательных целых чисел. Пусть на этих множествах определены сле-
дующие два предиката
«z=x+y» (предикат сложения)
P(x,y,z)= «z=x*y» (предикат умножения).
Какой смысл имеют следующие формулы и на каком множестве Z или N0
они истинны
1. |
( y) ( x) S(x,y,x) |
6.( y) ( x) P(x,y,-x) |
|
|
|
|
|
2. |
( y) ( x) P(x,y,x) |
7. |
( y) ( x) P(x,y,0) |
|
|
|
|
3. |
( z) ( x) ( y) S(x,y,z) |
8. |
( y) ( x) S(x,y,-8) |
|
|
|
|
4. |
( z) ( x) ( y) P(x,y,z) |
9. |
( x) ( y) P(x,y,-5) |
|
|
|
|
5. |
( y) ( x) S(x,y,0) |
10. ( x) ( y) S(x,y,-12) |
|
|
|
|
|
Задание 5 Записать в виде формул логики предикатов:
1.Определение функции f(x) имеющей число А своим пределом в точке x0
2.Определение функции f(x), непрерывной в точке x0
3.Определение функции f(x), непрерывной на интервале (0,1).
4.Определение числовой последовательности un, имеющей предел..
5.Определение ограниченной числовой последовательности un.
6.Определение бинарного отношения P(x,y) на множестве М, не являющегося
отношением эквивалентности.
7.Определение функции f(x), неограниченной на интервале (0,1).
8.Определение функции f(x), ограниченной на этом интервале.
9.Определение числовой последовательности un, не имеющей предела.
55
10. Определение бинарного отношения P(x,y) на множестве М, не обладающего свойством транзитивности.
Задание 6. Будут ли равносильны следующие пары формул логики предикатов:
1) |
(x)(F(x) G(x |
x)F(x) x)G(x); |
|
|||
2) |
|
F(x)&G |
F |
G(x); |
|
|
3) |
(x)(F(x) G(x)) и (x)F(x) (x)G(x); |
|
||||
4) |
(x)F(x) |
G |
F(x) G(y)); |
|||
5) |
|
F(x) G |
F(x) |
G(x); |
|
|
6) |
F(x) |
|
|
F(x) G(y)); |
||
7) |
|
F(x) G |
F(x) |
G(x); |
|
|
8) |
(x)(F |
|
G(x) |
F |
G(y). |
|
9) |
(x |
y)P(x,y) |
z)(P(x,z)&Q(z |
x |
u)[P(x,u) Q(u)]; |
|
10) ( |
x)[( |
y)T(x,y) ( z)(T(x,z)&Q(z))] и |
( x)( u)(T(x,u) & Q(u)) |
|||
56
Литература
1.В.Е.Алексеев, Л.Г.Киселева, Т.Г. Смирнова Задачи по дискретной математике. Метод. разраб. Н.Новгород 2003г.
2.Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М., 1972.
3.Коган Д.И. Принцип резолюций в логике высказываний Методическая разработкаН.Н.1995
4.Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.1971 г.
5.Мощенский В.А. Лекции по математической логике. Минск.1973г.
6.Новиков П.С. Элементы математической логики Москва 1959г.
7.Прилуцкий М.Х. Методическое пособие по курсу "Математические основы информатики" Часть 1 / Нижег.гос.ун-т, 2001, с.89.
8.Скарынкин В.С. Элементы теории множеств. Методич. разр. Н.Новгород. 1992 г.
57
Лиогонький Марк Израилевич Протасова Людмила Анатольевна
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Теория множеств и теория графов»
для обучающихся по направлению подготовки 54.03.01 Дизайн, направленность (профиль) Промышленный дизайн
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
58