6388
.pdfЕ. А. Бондарь, Т. А. Пушкова
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород
2020
1
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Е. А. Бондарь, Т. А. Пушкова
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия
Нижний Новгород ННГАСУ
2020
2
ББК 22.1 Б 77 П 91
УДК 517.9
Печатается в авторской редакции
Рецензенты:
С. Н. Стребуляев – канд. техн. наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений, мате- матического и численного анализа института информационных техно- логий, математики и механики (ФГАОУ ВО «Национальный исследо- вательский Нижегородский государственный ун-т им. Н. И. Лобачев- ского»)
Н. А. Мамаева – канд. пед. наук, доцент кафедры прикладной механики, физики и выс- шей математики ФГБОУ ВО «Нижегородская государственная сель- скохозяйственная академия»
Бондарь Е.А., Пушкова Т.А. Элементы векторной алгебры и аналитической геомет- рии [Текст]: учеб. - метод. пос. / Е. А. Бондарь, Т. А. Пушкова; Нижегор. гос. архитектур. -
строит. ун - т – Н. Новгород: ННГАСУ, 2020. – 92 с. ISBN 978-5-528-00386-3
Рассмотрены основы линейной и векторной алгебры, необходимые для понимания теоретических вопросов и задач аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Приведены геометрические иллюстрации и рисунки, облегчающие восприятие материала.
Предназначено студентам, обучающимся по направлениям подготовки 21.03.02 Зем- леустройство и кадастры, профиль Городской кадастр, 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных при подготовке к лекци- онным и практическим занятиям по дисциплине «Математика».
.
ISBN 978-5-528-00386-3 |
© Е. А. Бондарь, |
|
Т. А. Пушкова, 2020 |
|
© ННГАСУ, 2020. |
3
Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители
Матрицей порядка m × n называется прямоугольная таблица чисел, со- стоящая из m строк и n столбцов.
Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки и обозначают заглавными буквами латинского алфавита.
Пример.
1 |
2 |
|
3 |
|
матрица порядка 2 ×3. |
|
1. A = |
|
|
|
– |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
6 |
|
|
||
2. B = (1 |
2 3) – матрица – строка порядка 1×3. |
|
||||
1 |
|
матрица – строка порядка 2 ×1. |
|
|||
3. C = |
– |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется |
||||||
квадратной. |
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
1 |
2 |
|
×2 . |
D = |
|
|
– квадратная матрица порядка 2 |
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Эле- менты матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латин- ского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозна- чает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый эле- мент матрицы находится.
1 |
2 |
3 |
|
Пример. A = |
|
|
. |
|
5 |
6 |
|
4 |
|
a2 3 = 6 –элемент матрицы A , находящийся во второй строке и в третьем
столбце.
4
Транспонированной матрицей (обозначаемой как AT ) любой матрицы
A порядка m × n называется матрица |
AT |
порядка n × m , которая получается |
|||
из матрицы A взаимной заменой строк на столбцы. |
|||||
Пример. Найти AT , если |
|
1 |
2 |
3 |
|
A = |
|
. |
|||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
6 |
||
Решение. Элементы первой строки матрицы A запишем в первый стол- |
|||||
бец матрицы AT , а элементы второй строки матрицы A – во второй столбец |
|||||
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрицы AT , получаем: AT = |
2 |
5 |
. |
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствии некоторое число, называемое определителем (или детерминантом) этой матрицы.
Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число
D = |
a11 |
a12 |
и вычисляется по формуле: D = a |
× a |
22 |
- a |
× a |
21 |
. |
||||
|
a21 |
a22 |
|
|
11 |
|
12 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример. Вычислить |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- 3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. 1 2 = 1× 4 - 2 × (- 3)= 4 + 6 = 10 . - 3 4
Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется чис-
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
ло D = |
a21 |
a22 |
a23 |
и вычисляется по формуле: |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
D = a11 × a22 × a33 + a21 × a32 × a13 + a12 × a23 × a31 -
-a13 ×a22 ×a31 -a21 ×a12 ×a33 -a32 ×a23 ×a11.
Правая часть этого равенства представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов,
5
расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив лини- ей элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся схе- мы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями:
|
|
|
|
|
|
- 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Пример. Вычислить |
-1 |
2 |
- 3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
- 4 |
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
- 2 |
3 |
|
=1× 2(× -4)+ (-1)× 4 ×3 + (- 2)×(- 3)× 0 - 3 × 2 × 0 - |
|||||
|
1 |
|
|||||||
|
-1 |
2 |
- 3 |
|
|||||
|
0 |
4 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
- (-1)× (- 2)× (- 4)- 4 ×(- 3)×1 = -8 -12 + 0 - 0 + 8 +12 = 0 .
Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представ- ляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по опреде- ленному правилу.
Свойства определителей
1)Определитель матрицы не меняется при транспонировании.
2)Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3)Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
4)При перестановке двух строк определитель меняет свой знак.
5)Если элементы какой-либо строки умножить на число k, то определитель умножится на это число k.
6)Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.
6
§ 2. Системы линейных уравнений.
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными вида:
a11 × x1
×
a21 x1a31 × x1
+ a12 × x2 |
+ a13 × x3 = b1 |
|
+ a22 × x2 |
+ a23 × x3 = b2 |
(1.1) |
+ a32 × x2 + a33 × x3 = b3 , |
|
|
где ai j Ζ, bi Ζ, i, j =1, 3 .
Составим и вычислим главный определитель системы (1.1):
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
D = |
a21 |
a22 |
a23 |
, |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
тогда если D ¹ 0 , то система (1.1) имеет единственное решение |
(x0 |
; x0 |
; x0 ), |
||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим вспомо-
гательные определители |
x |
, |
x |
, x системы (1.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
b1 |
|
a13 |
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Dx = |
b2 |
a22 |
a23 |
|
, Dx |
2 |
= |
a21 |
b2 |
|
a23 |
, Dx |
= |
a21 |
a22 |
b2 |
. |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
a31 |
b3 |
|
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
Далее, по формулам Крамера, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x0 = |
|
x1 |
|
, |
x0 = |
x2 |
, |
x0 = |
|
|
x3 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
D |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
D |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.
x |
- x |
|
+ x = 2 |
|||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
Пример. Решить по правилу Крамера систему 2x1 - x3 |
= -1 . |
|||||
|
|
3x + x |
2 |
= 5 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
Решение. Составим и вычислим главный определитель данной систе- |
||||
|
-1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||
мы: D = |
2 |
0 |
-1 |
= 1×0 ×0 + 2 ×1×1+ (-1)×(-1)×3 -1×0 ×3 - |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
- 2 ×(-1)×0 -1×(-1)×1 = 0 + 2 +3 - 0 + 0 + 0 +1 = 6.
Так как D = 6 ¹ 0 , то данная система имеет единственное решение. Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:
|
|
|
|
-1 |
1 |
|
= 2 × 0 × 0 + (-1)×1×1 + (-1)× (-1)×5 -1× 0 ×5 - |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
Dx |
|
= |
-1 0 -1 |
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
- (-1)× (-1)× 0 -1×(-1)× 2 = 0 -1 + 5 - 0 - 0 + 2 = 6 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
=1× (-1)× 0 + 2 ×5 ×1 + 2 ×(-1)×3 -1× (-1)×3 - |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Dx |
|
= |
2 -1 -1 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- 2 × 2 × 0 - 5 × (-1)×1 = -0 +10 - 6 + 3 - 0 + 5 = 12 ; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
-1 |
2 |
|
= 1× 0 ×5 + 2 ×1× 2 + (-1)×(-1)×3 - 2 × 0 ×3 - |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
Dx |
|
= |
2 0 -1 |
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
-1×(-1)×1 - 2 × (-1)×5 = 0 + 4 + 3 - 0 +1 +10 = 18 . |
|
|||||||||||||||||||||||
Далее, по формулам Крамера, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
12 |
|
|
Dx |
|
18 |
|
|||
|
|
x0 = |
1 |
= |
|
|
= 1, |
x0 = |
|
= |
|
|
|
= 2 , x0 = |
3 |
= |
|
|
= 3. |
|||||||
|
|
|
6 |
|
D |
6 |
|
D |
6 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
D |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Делаем проверку найденного решения |
(1; 2; 3): |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 - 2 + 3 = 2 - верно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
×1 - 3 = -1 - верно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= 5 - верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 ×1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: (1; 2;3).
8
Задания для самостоятельной работы:
1. Вычислить определитель матрицы:
−1 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
|
cosα |
− sin α |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
− 2 |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
cosα |
|
|
|||||
− 5 |
2 |
|
|
|
− 4 |
|
sin α |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) 2 |
6 |
4 |
|
−2 |
1 − 3 |
|||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a |
|
a |
|
|
−1 |
− 3 |
|
|
|
3 |
−4 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
||||||||||
2. Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 x − 4 |
|
|
|
|
|
|
x +1 − 5 |
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) |
= 0 |
|
б) |
= 0 |
в) |
4 5 −1 |
= 0 |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x −1 |
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x +2 |
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
−2 |
= 0 |
|
|
|
д) |
x + 2 |
0 |
|
|
1 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
−3 |
x |
|
|
|
|
|
− 2 |
3 − x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. По правилу Крамера решить системы уравнений:
а)
г)
2x − y − 4z = 3 |
||
|
+ 4 y + z |
= −3 |
x |
||
x − y + z =3 2 5 5
x + y − 4z = −82x − y + z = 5
|
x − 4 y = 5 |
|
|
x + y − 4z = −8 |
|
2x − 2 y − z = 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 y + z |
= 0 |
б) 2x − y + z = 5 |
в) |
x |
||||
|
|
x − 4 y = 5 |
|
|
|
= 0 |
|
|
|
3x + y − 2z |
|||
x − y − z =1 |
|
3x − y + 2z = 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
д) − x + 2 y + z = −2 |
е) 2x − y + 3z = 3 |
|||||
|
2x + 3y = 0,5 |
|
|
+ 5 y − 4z = 7 |
||
|
|
x |
||||
|
3x − 2 y + z = b |
4. При каких значениях a |
|
и b система уравнений 5x −8 y + 9z = 3 : |
|
|
2x + y + az = −1 |
|
|
1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет беско- нечно много решений?
9
Элементы векторной алгебры § 1. Векторы и линейные операции над ними
Величины, которые полностью определяются своим численным значени- ем, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: пло- щадь, длина, объем, температура, масса, работа.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины назы- ваются векторными. Векторная величина геометрически изображается с по- мощью вектора.
Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных букв латин-
ского алфавита с чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая бук- ва – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.
B
a
A |
Рис. 1 |
|
Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный век-
тор и обозначается: a или AB .
Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна еди-
нице.
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпа- дают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0 .
R
Векторы называются коллинеарными a || b , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.