Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6388

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

779.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Радиус-вектором произвольной точки M называют вектор OM , а его коорди- наты называют координатами этой точки.

Свойства координат вектора

Пусть векторы a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }, тогда:

		a = b
		1	1
		1	= b2 ;
1)	a = b a2		= b2 ;
		a	= b
		3	3

2)λa = {λ a1 , λ a2 , λ a3 };

3)a + b = {a1 + b1 ; a2 +b2 ; a3 +b3 };

4)a −b = {a1 −b1 ; a2 −b2 ; a3 −b3 };

5) Если A(x1 ; y1 ; z1 )

B(x2 ; y2 ; z2 ) , то AB ={x2 − x1 ; y2 − y1; z2 − z1} ;

6) a || b

Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b , его длину и направляю-

щие косинусы, если a = {1; 2;3}, b = {-1; 0;1}.

Решение:

1) 2a = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4; 6}.

c= 2a + b = {2; 4; 6}+ {-1; 0;1}= {2 + (-1); 4 + 0; 6 +1}= {1; 4; 7}.

2)c = 12 + 42 + 7 2 = 66 .

3)	cos α =	1	, cos β =		4		, cosγ =			7		.
3)	cos α =		, cos β =				, cosγ =					.
	66				66				66
									cos α =		1		cos β =	4	cosγ =	7
	Ответ: c = {1; 4; 7},			c	=	66		,			1			4		7
				c	=	66
											66 ,		66 ,		66 .
											66 ,		66 ,		66 .

Пример. Лежат ли три точки А(2;0;-3), В(-5;4;2) и С(16;-8;-13) на одной

прямой?

Решение. Точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда,

когда и векторы AB и AC лежат на одной прямой, то есть коллинеарны. Найдем координаты этих векторов и проверим векторы на коллинеар-

ность.

AB ={−5 − 2; 4 − 0; 2 − (−3)} ={−7;4;5} ,

AC ={16 −2; −8 −0; −13 −(−3)} ={14;−8;−10} .

Согласно свойству 6 координат векторов

−7 =	4	=	5	− верно		\|\|
					AB		AC

14	−8		−10

Значит, и точки А, В и С лежат на одной прямой. Ответ: точки А, В и С лежат на одной прямой.

Пример. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(2;0;- 3), В(-5;4;2) и С(16;-8;-13). Найти координаты четвертой вершины.

Решение. Пусть D( x; y; z) - четвертая вершина параллелограмма ABCD.

Очевидно, что AB = DC . Найдем координаты этих векторов:

AB ={−5 − 2; 4 − 0; 2 − (−3)} ={−7;4;5} ,

DC = {16 − x; −8 − y; −13 − z} .

Тогда в силу 1 свойства координат вектора, получаем:

	16 − x = −7	x = 23
			, то есть D(23;−12;−18) .

AB = DC −8 − y = 4		, отсюда y = −12

	−13 − z = 5	z = −18

Ответ: D(23;−12;−18) .

Пример. Доказать, что векторы a = {2;3;1}, b ={5;7;0}, c ={3; −2;4} не-

компланарны. Разложить вектор d = {4;12;−3} по векторам a , b , c .

Решение.

1)Докажем методом от противного. Пусть векторы a , b , c - компланарны.

Рассмотрим векторы a = {2;3;1} и b ={5;7;0}. Они неколлинеарны, так как их координаты не пропорциональны

2 ¹ 3 ¹ 1

5 7 0 .

Тогда в силу предположения о компланарности векторов a , b , c ,

вектор c можно выразить через a , b , то есть c = x × a + y ×b .

= x{2; 3;1}={2x; 3x;

x},

yb = y{5;7;0}={5y; 7 y; 0} ,

тогда

x ×

+ y ×

= {2x + 5 y; 3x + 7 y;

С другой стороны,

={3; −2;4}.

Тогда

x} .

2x + 5 y = 3

+ = −

c = x × a + y ×b 3x 7 y 2 . Подставляя x = 4 в первые два уравнения, по-

x = 4

y = −1

= −

лучаем y 2 - противоречие. Значит, наше предположение о компланарно-

x = 4

сти векторов a , b , c - неверно. Следовательно, они некомпланарны. 2) Найдем разложение вектора d = x × a + y ×b + z × c :

xa = x{2; 3;1}={2x; 3x; x}, yb = y{5;7;0}={5y; 7 y; 0} ,

zc = z{3;−2;4}={3z; −2z; 4z} ,

тогда x × a + y ×b + z ×c = {2x + 5 y + 3z; 3x + 7 y - 2z; x + 4z} .

С другой стороны, d = {4;12;−3}. Тогда получаем систему:

2x + 5 y + 3z = 4

x =1

3x + 7 y − 2z =12 .

Решая ее, получаем y =1

, то есть

−

= −3

x + 4z

z = −1

Ответ:

−

Задания для самостоятельной работы:

1)Даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма

А(1,2,5), В(-4,3,6), С(-1,-2,7). Найти координаты вершины Д.

2)Лежат ли точки А(2,5,-1), В(1,-5,-15) и С(-2,1,3) на одной прямой?

	Проверить коллинеарность векторов					= {2 ; −1; 3 } и				= {− 6 ; 3; − 9 }.
									b
3)					a				b
	Установить, какой из них длиннее и во сколько раз? Как они направлены
	- в одну или в противоположные стороны?
4)	Проверить, что четыре точки			A (3; −1; 2 ),			B (1; 2 ; −1 ),	C (−1; 1; − 3 ),
	D (3; − 5; 3 )	служат вершинами трапеции.
5)	На оси y найти точку		M ,	равноудалённую от точек						A (1; − 4 ; 7) и
	B (5 ; 6 ; − 5).
6)	Даны вершины треугольника			A( 3; − 4 ; 7),			B(− 5; 3; − 2)			и	C (1; 2 ; − 3).
	Найти длину средней линии треугольника, которая параллельна стороне
	BC .
7)	Определить	при каких	значениях α,				β векторы				а = {−2,3, β} ,

b= {α,−6,2} коллинеарны?

8)Даны четыре точки А1(1,3,2), А2(0,3,1), А3(1,5,3), А4(2,-3,5). Проверить,

лежат ли они в одной плоскости.

9)Определить координаты точки М и координаты ее радиус-вектора, если последний составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 53 .

10)Дан модуль вектора | a |=3 и углы, которые этот вектор составляет с осями координат: α=45 °, β= 60 °, γ=120 °. Найти проекции вектора a на координатные оси.

11)Установить, в каких случаях тройки векторов a , b и с будут ком- планарны:

а) a ={5; 2; 1}; b ={–1; 4; 2}; с ={–1; –1; 6};

б) a ={6; 4; 2}; b ={–9; 6; 3}; с ={–3; 6; 3}.

§ 4. Деление отрезка в заданном отношении
Говорят, что точка М делит отрезок АВ в отношении			λ (λ ¹ -1) ,	если
AM = λ × MB .
Так, например, если М –	середина отрезка	АВ, то	λ =1 , так	как
AM = 1× MB . Если λ = 0 , то точки	А и М совпадают;	если же	λ < 0 , то точка

М лежит на прямой, содержащей отрезок АВ, но за пределами самого отрезка.

Найдем

координаты

точки М,

если

известны

координаты

точек

A(x1 ; y1 ; z1 ) и

B(x2 ; y2 ; z2 ) , а также что точка

М делит отрезок АВ в отноше-

нии λ.

Пусть

M ( x; y; z) ,

тогда

AM = {x - x1 ; y - y1 ; z - z1}

MB = {x2 - x; y2 - y; z2 - z}.

Учитывая, что AM = λ × MB ,

получаем систему

x - x1 = λ × (x2 - x1 )

- y1 = λ × ( y2 - y1 ) . Отсюда, выражая x,y и z, получаем формулы

z - z = λ × (z

- z )

+ λ × x

x =

1 + λ

+ λ × y

y =

1 + λ .

+ λ × z

z =

1 + λ

a = {a1 ; a2 ; a3 } и

значается:

Пользуясь этими формулами, легко получить формулы для нахождения координат середины отрезка. Если A(x1 ; y1 ; z1 ) , B(x2 ; y2 ; z2 ) и М середина от-

x + x		2		y + y	2		z + z	2
резка АВ, то M	1		;	1		;	1		.

	2		2			2

§ 5. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обо-

a ×b , то есть

× cos (

) .

Заметим, что из определения

скалярного произведения следует, что

× cos (

) = (

× cos (

))×

= np

× cos (

) =

× (cos (

)) ×

= np

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1)a ×b = b × a .

2)(λa)×b = λ(a ×b), λ R .

3)a × (b + c)= a ×b + a ×c .

Докажем это свойство. Рассмотрим a × (b + c )= np a ( b + c) × a = = np a b × a + np a c × a = a ×b + a × c , чтд.

Если два вектора a и b заданы своими координатами:

b = {b1 ; b2 ; b3 }, то их скалярное произведение находим по формуле:

a ×b = a1 ×b1 + a2b2 + a3b3 .

Пример. Найти скалярное произведение векторов 2a и (- 3b), если

a = {1; 2;3} и b = {0;-1;1}.

Решение. Координаты векторов 2a и (- 3b):

2a = 2{1; 2;3}= {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4; 6};

(- 3b)= -3{0;-1;1}= {- 3 ×0;-3 ×(-1);-3 ×1}= {0;3;-3}.

Тогда искомое скалярное произведение равно:

2a × (- 3b)= 2 × 0 + 4 ×3 + 6 ×(- 3)= 0 +12 -18 = -6 .

Ответ: − 6 .

Некоторые приложения скалярного произведения:

1. Длина вектора из определения скалярного произведения вычисляется по формуле:

a × a или a × a =

+ 2

= 2 ,

= 1,

Пример. Найти длину

вектора

, если

a b = 60O .

Решение. По свойству 4, находим

c = c × c = (a + 2b)× (a + 2b)= a 2 + 4a b + 4 b 2 =

= 22 + 4 a × b × cos a b+ 4 ×12 = 4 + 4 × 2 ×1× cos 60O + 4 =

= 8 + 8 × 1 = 12 = 23 . 2

Ответ: c = 23 .

2. Угол между двумя ненулевыми векторами a = {a1 ; a2 ; a3 } и b = {b1 ; b2 ; b3 } из определения скалярного произведения вычисляется по фор-

муле:

a ×b

(

) = arccos

или

a1b1 + a2b2 + a3b3

(a b) = arccos

2 + a2 + a2

× b2

+ b2

Пример. Найти угол между векторами

+ 2

= -

= {1; 2; 2} и

= {0;-1;1}.

Решение. Координаты векторов

a и b :

Тогда угол между векторами a и b равен:

1× 0 + 2 ×(-1)+ 2 ×1

0 −1 +

= arccos0 ,

(

) = arccos

= arccos

+ 22 + 22 × 02 + (-1)2 +12

3 ×

) = 90O , то есть

следовательно, (

Ответ: 90O .

3. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:

= 2

Пример. Найти

b , если

Решение. Координаты векторов

= {1; 0;-1},

= {2;1; 0}. Тогда

1× 2 + 0 ×1 + (-1)×

12 + 02 + (-1)2

Ответ: np

2 .

4. Работа постоянной силы F , под действием которой, материальная

точка перемещается на вектор s , может быть вычислена по формуле:

A = F × s

Задания для самостоятельной работы:

Вычислить (2i

)×

+ (

)× k

+ (i

)2 .

- 2k

Найти длину вектора а = 2b − 3с , если | b |= 2 , | c |= 5 , угол между векторами

b, с равен 60.

3)Найти длину вектора а = 2b − 3с , если b = {1,2,−5} , c ={−1,1,1} .

4)Доказать, что диагонали четырехугольника, координаты вершин которого

А(-4,-4,4), В(-3,2,2), С(2,5,1), Д(3,-2,2), взаимно перпендикулярны.

Определить при каких значениях a векторы а ={α,3,4} , b ={4,α,−7} пер-

пендикулярны?

Определить угол между векторами

= −i

+ j и b = i

− 2 j + 2k .

7)Даны вершины треугольника А(-1,-2,4), В(-4,-2,0), С(3,-2,1). Найти вели-

чину угла ВАС, проекцию вектора АС на вектор АВ .

8)Найти координаты вектора х , если а× х = 1, в× х = 2 , с × х = -3 где а = {5, 6,-2}, в ={7, 8,-1}, с={-2,3,0}.

9)Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a = 2 i + j и b = –2 j + k .

10)	Раскрыть скобки в выражении (2 i – j )· j +( j –2 k )· k +( i –2 k )2.
11)	Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы вектор
a + b был перпендикулярен вектору a – b .
12)	Даны единичные векторы a , b и с , удовлетворяющие условию a + b +

с = 0 . Вычислить a · b + b · с + с · a .

13) Найти вектор х , зная, что а х, а ={1,0,1} , b х , b ={0,2,−1}, проекция

вектора х на вектор c ={1,2,2} равна 1.

14) Найти работу равнодействующих сил F1 {1,−1,1} и F 2 {2,1,3} при перемеще-

ния её точки приложения из начала координат в точку М(2,-1,-1).

Элементы аналитической геометрии на плоскости

Геометрия одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «гео- метрия» означает «землемерие» («гео» – по-гречески земля, а «метрео» – ме- рить). Такое название объясняется тем, геометрия возникла на основе практи- ческой деятельности людей (разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений и т.д.) и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям.

§ 1. Прямая на плоскости

Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволя- ет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее коорди- нат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения (то есть равенства, связывающего координаты точек прямой).

Каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заме- нить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли точкаM 0 (x0, y0 ) на прямой F ( x, y) = 0 , достаточно проверить (не прибегая к гео-

метрическим построениям) удовлетворяют ли координаты точки M 0 уравнению

F ( x, y) = 0 этой прямой.

Пример 1. Лежит ли точка M 0 (1; 2) на прямой l : 3 x − y + 1 = 0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023779.05 Кб06383.pdf
#
21.11.2023779.07 Кб06384.pdf
#
21.11.2023779.25 Кб06385.pdf
#
21.11.2023779.26 Кб06386.pdf
#
21.11.2023779.36 Кб06387.pdf
#
21.11.2023779.95 Кб16388.pdf
#
21.11.2023780.03 Кб06389.pdf
#
21.11.2023138.34 Кб0639.pdf
#
21.11.2023780.17 Кб06390.pdf
#
21.11.2023781.09 Кб06391.pdf
#
21.11.2023781.21 Кб06392.pdf