5433

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)

Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений

Часть 1

Нижний Новгород ННГАСУ

2013

УДК 517.9

Методические указания и контрольные задания по математике для студентов заочного обучения всех направлений. Часть 1 [Текст]: метод. разраб. для студентов/ Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т; сост. П.В. Столбов – Н.Новгород: ННГАСУ, 2013.- 83с.

Методические указания и контрольные задания по математике предназначены для студентов заочной формы обучения всех направлений.

Составитель: П.В. Столбов.

© Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2013

1

§ 1. Линейная алгебра Матрицы и действия над ними

Матрицей порядка m× n называется прямоугольная таблица чисел,

состоящая из m строк и n столбцов.

Для обозначения матрицы таблицу чисел заключают в круглые скобки

и обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Пример.

1

3. C = – матрица – строка порядка 2×1.

2

Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы, обозначаются соответствующими строчными буквами латинского алфавита с двумя правыми нижними индексами. Первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца, в которых рассматриваемый элемент матрицы находится.

третьем столбце.

Заметим, что матрицу A порядка m× n можно записать так:

A = (ai j ), i =1,m; j =1,n.

2

a11 = b11 =1, a21 = b21 = 2, a31 = b31 = 3.

Произведением матрицы A порядка m× n на действительное число

λ называется матрица B того же порядка m× n, каждый элемент bi j ,

i =1,m, j =1,n которой получен умножением соответствующего элемента

3

Заметим, что разность двух матриц A и B одного и того же порядка

можно определить через сумму и умножение на число (−1), то есть

A− B = A+ (−1) B.

n× p называется матрица C порядка m× p, каждый элемент ci j , i =1,m, j =1, p которой получен как произведение элементов i-ой строки матрицы

Решение.

c11 = a11 b11 + a12 b21 =1 5+ 2 7 = 5+14 =19 c12 = a11 b12 + a12 b22 =1 6 + 2 8 = 6 +16 = 22 c21 = a21 b11 + a22 b21 = 3 5 + 4 7 =15 + 28 = 43 c22 = a21 b12 + a22 b22 = 3 6 + 4 8 =18 + 32 = 50.

4

Следует обратить внимание на тот факт, что:

1) произведение A B матриц A и B получается умножением элементов строк матрицы A – первого сомножителя – на элементы столбцов матрицы B – второго сомножителя. Следовательно, порядок сомножителей в

произведении матриц важен;

2) число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы

B, в противном случае произведение матриц A и B не определено;

3) порядок матрицы-произведения определяется порядком сомножи-

5

Определители

Определителем второго порядка квадратной матрицы называется

12

Пример. Вычислить − 3 4 .

Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется

a11 a12 a13

число = a21 a22 a23 и вычисляется по формуле:

a31 a32 a33

=a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 −

−a13 a22 a31 −a21 a12 a33 −a32 a23 a11.

− (−1) (− 2) (− 4)− 4 (− 3) 1= −8−12 + 0 − 0 + 8 +12 = 0.

Заметим, что определитель нельзя путать с матрицей. Матрица представляет собой таблицу чисел, а определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу.

6

Системы линейных уравнений

Пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с

тремя неизвестными вида:

которое находим по правилу Крамера. Для этого, составим и вычислим

Затем делаем проверку найденного решения и записываем ответ.

x1 − x2 + x3 = 2

Пример. Решить по правилу Крамера систему 2x1 − x3 = −1 .

3x1 + x2 = 5

7

−2 (−1) 0−1 (−1) 1= 0+ 2+3−0+0+0+1= 6.

Так как = 6 ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.

Составим и вычислим вспомогательные определители данной системы:

−1 (−1) 1− 2 (−1) 5 = 0 + 4 + 3− 0 +1+10 =18.

Далее, по формулам Крамера, находим:

Делаем проверку найденного решения (1;2;3):

1− 2 + 3 = 2 − верно,

2 1− 3 = −1− верно,

3 1+ 2 = 5 − верно.

Ответ: (1;2;3).

8

§ 2. Векторная алгебра

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой

латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных

букв латинского алфавита с чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.

B

a

Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный

вектор и обозначается: a или AB .

Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице. Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют

буквы: e, i, j , k (e = i = j =1).

Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0.

9