5433
.pdfε – окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то
f ′′(x0 )= 0.
Достаточное условие перегиба функции y = f (x) в точке x0 : если
функция y = f (x) непрерывна в ε – окрестности точки x0 , имеет в точке x0
конечную или бесконечную определенного знака производную f ′′(x0 ), а функция f ′′(x) определена в ε – окрестности точки x0 , кроме быть может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 – точка перегиба функции y = f (x).
Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба
функции y = x3 − 3x +1.
Решение. Область определения D данной функции есть множество
всех действительных чисел R, то есть D = R.
Находим:
y′ = (x3 − 3x +1)′ = 3x2 − 3; y′′ = (y′)′ = (3x2 − 3)′ = 6x.
Используя необходимое условие перегиба, находим:
y′′ = 0 6x = 0, откуда x = 0 – точка «подозрительная» на точку
перегиба.
Используем достаточные условия перегиба:
Отметим точку x = 0 на области |
D и определим знаки y′′ слева и |
|
справа от точки x = 0. |
|
|
y′′ |
|
|
y |
0 |
x |
Так как x = 0 D и при переходе через эту точку y′′ меняет знак, то x = 0 – точка перегиба данной функции.
70
Так как для любого x < 0 y′′(x)< 0, то в интервале (− ∞;0) функция
y выпукла вниз.
Так как для любого x > 0 y′′(x)> 0, то в интервале (0;+∞) функция
y выпукла вверх.
Основные требования к результатам исследования
ипостроения графика:
1)все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;
2)все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;
3)масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;
4)на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;
5)обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;
6)обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;
7)обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными
осями.
71
(x − 3)2
Пример. Построить график функции y = (x −1)3 .
Решение.
1. Областью определения D данной функции y является множество
всех действительных чисел R, кроме x =1, то есть D = R \{1}.
2. Поскольку y(− x)= |
(− x − 3)2 |
= |
(x + 3)2 |
и y(− x)≠ y(x) и |
|
(− x −1)3 |
− (x +1)3 |
||||
|
|
|
y(− x)≠ −y(x), то функция y не является четной и нечетной, то есть данная
функция y общего вида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Находим асимптоты кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку |
lim = |
(x − 3)2 = |
(1 |
− 3)2 |
= |
4 |
= ∞ , то x =1 – уравнение |
||||
(1−1)3 |
|
||||||||||
|
|
x→1 |
(x −1)3 |
0 |
|
|
|
||||
вертикальной асимптоты графика данной функции y . |
|
||||||||||
Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b: |
|||||||||||
k = lim |
y(x) |
= lim |
(x − 3)2 |
= |
∞ |
= lim |
((x − 3)2 )′ |
= |
|||
x |
x (x −1) |
|
∞ |
(x (x −1)3 )′ |
|||||||
x→∞ |
|
x→∞ |
3 |
|
|
|
x→∞ |
|
|
= lim |
|
|
2 (x − 3) 1 |
|
= lim |
|
|
|
|
2x − 6 |
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x −1+ |
3x) |
|
||||||||||||||||
x→∞ 1 |
(x − 3)3 + x 3 (x −1)2 1 x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
2x − 6 |
|
|
= |
∞ |
= lim |
|
|
|
(2x − 6)′ |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
(x −1) (4x −1) |
∞ |
((x −1)2 (4x −1))′ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
= |
2 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ + ∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ 2 |
(x−1) (4x −1)+ (x −1)2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x −3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
−3) |
|
∞ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b = lim(y(x)− kx)= lim |
|
2 |
− 0 x |
= lim |
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
(x −1) |
(x −1) |
|
∞ |
||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x→∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
72
= lim |
((x − 3)2 )′ |
= lim |
2(x − 3) |
= |
∞ |
|
= |
|
||||||||||||
((x − 1)3 )′ |
|
|
|
∞ |
|
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
x→∞ |
3(x − 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
2 |
lim |
(x − 3)′ |
= |
2 |
lim |
|
1 |
|
= |
2 |
|
1 |
= |
2 |
0 = 0. |
||||
|
((x −1)2 )′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 x→∞ |
|
3 x→∞ 2(x −1) |
3 |
|
∞ |
|
3 |
|
|||||||||||
Следовательно |
|
y = 0 – |
уравнение |
горизонтальной асимптоты графика |
данной функции y .
4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.
|
|
2 |
′ |
2 |
′ |
3 |
|
2 |
3 |
′ |
|
||
y′ = (x − 3) |
= ((x − 3) |
) |
(x −1) |
− (x − 3) |
|
((x −1) |
) = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
((x −1)3 )2 |
|
|
|
|
|||
|
(x −1)3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
2(x − 3) (x −1)3 − (x − 3)2 3(x −1)2 |
= |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(x −1)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2x2 − 8x + 6 − 3x2 +18x − 27 = |
− x2 +10x − 21 = |
|
|
||||||||||
|
|
|
(x −1)4 |
|
|
|
|
|
(x −1)4 |
|
|
|
|
= − |
(x − 3)(x − 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x −1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя необходимое |
условие экстремума, |
находим y′ = 0 |
|
||||||||||
(x − 3)(x − 7)= 0, |
откуда x1 |
= 3 |
или |
x2 = 7; |
y′ |
не существует |
|
||||||
(x −1)4 = 0, откуда x3 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические точки наносим на область определения D и определяем знак y′
в каждом из четырех интервалов.
y′
y |
0 1 |
3 |
|
7 |
x |
|
y′(0)= − |
(0 − 3)(0 − 7) |
= − |
21 |
= −21< 0 |
|
|
(0 −1)4 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
73
Так как |
x1 = 3 D |
и при переходе через эту точку |
y′меняет знак |
|||||||||||||
минус |
на |
плюс, |
то |
|
x1 |
= 3 |
– |
точка |
минимума |
функции |
y , |
|||||
y(3)= |
(3− 3)2 |
= |
0 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(3−1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
x2 = 7 D и при переходе через эту точку |
y′ меняет знак |
||||||||||||||
плюс |
на |
минус, |
то |
|
x2 |
= 7 |
– |
точка |
максимума |
функции |
y , |
|||||
y(7)= |
(7 − 3)2 |
= |
16 |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
(7 −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
216 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как при x < 1, 1< x < 3, x > 7 |
y′(x)< 0, то в интервалах (− ∞;1), |
|||||||||||||||
(1;3), (7;+∞) функция y монотонно убывает. |
|
|
|
|||||||||||||
Так как при 3 < x < 7 |
y′(x)> 0, то в интервале (3;7) функция |
y |
монотонно возрастает.
5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки
перегиба.
′ |
|
(x − 3)(x − 7) ′ |
|
y′′ = (y′) |
= − |
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
|
|
((x − 3)(x − 7))′(x −1)4 − (x − 3)(x − 7)((x −1)4 )′ |
||
= − |
|
|
= |
((x −1)4 )2 |
|
||
|
|
|
|
= − |
(x − 7 + x − 3)(x −1)4 − (x − 3)(x − 7) 4(x −1)3 |
= |
|
|
(x −1)8 |
|
|
=− (2x −10)(x −1)− 4(x2 −10x + 21)=
(x −1)5
=− 2x2 −12x +10 − 4x2 + 40x − 84 = 2x2 − 28x + 74 .
(x −1)5 (x −1)5
Итак, y′′ = 2(x2 −14x + 37).
(x −1)5
74
Используя необходимое условие |
перегиба, находим y′′ = 0 |
|
|||||||
|
|
= |
14 ± |
|
|
|
|
|
|
x2 −14x + 37 = 0, или x |
|
196 −148 |
, откуда x = 7 ± 2 |
|
; |
y′′ |
|||
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
1,2 |
2 |
|
1,2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
не существует (x −1)5 |
= 0, откуда x3 |
=1. |
|
|
|
|
|||
Используем достаточные условия перегиба. |
|
y′′
0 1 7 − 23 7+ 23 x
y
y′′(0)= 74 = −74 < 0. −1
Так как точки x1,2 = 7 ± 23 D и при переходе через эти точки
y′′меняет знак, то x1,2 = 7 ± 23 – точки перегиба графика функции y .
Так как при x < 1, 7 − 2 |
3 |
< x < 7 + 2 |
3 |
|
y′′(x)< 0, то в интервалах |
||||||
(− ∞;1), (7 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3;7 + 2 3)функция y выпукла вниз. |
|||||||||||
Так как при 1< x < 7 − 2 |
|
|
|
|
|
y′′(x)> 0, то в интервалах |
|||||
|
3 |
, x > 7 + 2 |
3 |
(1;7 − 23), (7 + 23;+∞)функция y выпукла вверх.
6. Находим координаты точек пересечения кривой с координатными
осями:
Ox : y = 0 (x − 3)2 = 0, откуда x = 3;
|
(0 − 3)2 |
9 |
|
|
Oy : x = 0 y = |
(0 −1)3 = |
|
|
= −9. |
−1 |
75
7. Строим эскиз графика данной функции. (См. рис. 65).
y
y = 0 |
2 |
|
|
27 |
|
|
|
|
0 1 3 7−2 3 7 |
7+2 3 |
x |
-9
x =1
Рис. 65
76
|
|
|
Контрольные задания |
||||
|
|
|
|
|
Задание 1 |
||
Найти матрицу C = AT B, если: |
|
||||||
|
2 |
3 |
|
−1 |
0 |
||
1.01. A = |
|
|
, B = |
|
|
. |
|
|
− 4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
||||
|
0 |
2 |
|
|
4 |
−1 |
|
1.02. A = |
|
|
, B = |
|
. |
||
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
6 |
||||
|
3 |
− 2 |
|
|
4 |
3 |
|
1.03. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
0 |
4 |
|
1 |
||||
− 3 |
0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
1.04. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
. |
|
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− 3 |
||||
|
4 |
−1 |
0 |
−1 |
|||
1.05. A = |
|
, B = |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||
0 |
5 |
1 |
6 |
||||
|
2 |
0 |
|
− 2 |
1 |
|
|
1.06. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
− 4 |
|
5 |
||||
|
0 |
− 2 |
|
|
1 |
2 |
|
1.07. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
−1 |
− |
|
1 |
−3 |
|
2 |
||||
|
3 |
4 |
|
|
0 |
6 |
|
1.08. A = |
|
|
, B = |
|
|
. |
|
|
− 5 |
|
|
|
− 2 |
− |
|
|
1 |
|
3 |
||||
− 2 |
0 |
|
− 4 |
0 |
|
||
1.09. A = |
|
|
, |
B = |
|
|
. |
|
− 3 |
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
6 |
||||
− 4 |
1 |
|
− 2 |
−1 |
|||
1.10. A = |
|
|
|
, B = |
|
. |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
0 |
1 |
77
Задание 2
Решить систему по правилу Крамера.
3x1 + x2 + 3x3 = 6 |
|||||||
|
x1 − x2 |
− x3 |
= 0 . |
||||
2.01. |
|||||||
|
|
− 3x2 |
− 4x3 = −2 |
||||
2x1 |
|||||||
4x1 − x2 − x3 = 3 |
|||||||
|
|
+ x2 |
− 5x3 |
= 2 . |
|||
2.02. x1 |
|||||||
|
|
− 3x2 |
+ x3 = −1 |
||||
2x1 |
|||||||
− x1 + x2 + 5x3 = 5 |
|||||||
|
|
− 3x2 |
− 2x3 = −3. |
||||
2.03. 2x1 |
|||||||
|
x1 |
+ 2x2 |
− 3x3 = 0 |
||||
|
|||||||
|
x − 3x |
|
+ x |
= 2 |
|||
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
2.04. 2x1 + x2 − 2x3 |
= 0 . |
||||||
3x − x |
2 |
− 5x = −2 |
|||||
|
1 |
|
|
3 |
|
||
|
x − x |
|
+ 4x |
= 2 |
|||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2.05. − x1 + 2x2 − x3 |
= −3. |
||||||
|
x1 |
− 3x2 |
+ x3 = 4 |
||||
|
3x1 + x2 − x3 = 0 |
||||||
|
|
|
− 3x3 |
= −4 . |
||
2.06. x1 − x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2x1 + x2 + 3x3 = 4 |
||||||
|
x − x |
|
|
− x = −1 |
||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
2.07. − 2x1 + x2 |
+ 3x3 = 2. |
|||||
|
2x1 + x2 − 2x3 =1 |
|||||
|
||||||
x − 4x |
|
+ x |
= 0 |
|||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
2.08. 2x1 + x2 |
|
+ 2x3 |
= 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + 2x2 − x3 = 4 |
||||||
|
4x + x |
|
+ x |
= 3 |
||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
2.09. x1 + 2x2 − x3 = −1. |
||||||
|
|
|
+ 3x3 = 0 |
|||
x1 + x2 |
|
=0
+ − =
2.10.2x1 x2 x3 1 .3x1 − 3x2 + 2x3 = 5x2 + x3− x1 −
78
Задание 3
Дана пирамида ABCD . Найти:
1)угол ABC грани ABC ;
2)площадь грани BCD;
3)объем пирамиды ABCD , если
3.01. A(1;2;3), B(0;−1;1), C(−1;0;−2), D(− 2;3;0).
3.02. A( 4;3;1), B(0;−2;3), C(3;0;−3), D(−1;1;0).
3.03. A( 2;3;4), B(0;−1;1), C(3;0;−2), D(− 2;3;0).
3.04. A( 3;4;1), B(0;−1;3), C(2;0;−1), D(−1;2;0).
3.05. A( 4;5;2), B(0;−2;1), C(1;0;−3), D(− 2;2;0).
3.06. A( 3;2;1), B(0;1;2), C(2;0;−1), D(− 3;3;0).
3.07. A(1;3;5), B(0;2;−1), C(2;0;3), D(− 2;−1;0).
3.08. A(1;4;6), B(0;1;−1), C(2;0;2), D(−1;−2;0).
3.09.A( 2;4;1), B(0;−1;− 2), C(1;0;2), D(− 2;1;0).
3.10.A( 3;1;2), B(0;−1;−3), C(1;0;1), D(−1;3;0).
79