5433
.pdfСмешанное произведение трех векторов a, b и c представляет собой число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11), взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.
c
b
a
Рис. 11
Свойства смешанного произведения:
1)(a×b) c = (b× c) a = (c× a) b;
2)(a×b) c = a (b× c);
3) abc = −acb; abc = −bac, abc = −cba;
4) Если abc = 0, то векторы a, b и c компланарны.
Смешанное произведение трех векторов a, b и c заданных своими
|
|
|
|
|
= {a1;a2 ;a3}, |
|
|
|
= {b1;b2 ;b3}, |
|
= {c1;c2 ;c3} |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
c |
||||||||||||||
координатами, то есть |
a |
b |
||||||||||||||
вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
b1 |
|
|
|
||||||
a |
b |
c |
b2 |
b3 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
Пример. Вычислить смешанное произведение векторов a = 2i − j,
b = j − k, c = i + j + k.
Решение.
a = {2;−1;0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда
20
|
−1 |
0 |
|
|||||||
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
−1 |
= 2 + 0 +1− 0 + 2 + 0 = 5. |
a |
b |
c |
1 |
|||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: abc = 5.
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c (см. рис. 11) вычисляется по формуле:
Vnap. = abc .
Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a, b и c
(см. рис. 12) вычисляется по формуле:
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vnup. |
|
|
abc |
. |
||||||||
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a c
b
Рис. 12
Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a = {1;2;3}, b = {0;1;−1} и c = {0;−1;0}.
Решение.
|
1 |
2 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
−1 |
= 0 − 0 − 0 − 0 −1− 0 = −1. |
a |
b |
c |
1 |
|||||||
|
0 |
−1 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
−1 |
|
= |
1 |
|
|||
Тогда V |
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
(куб. ед.). |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
nup. |
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: V |
|
= |
1 |
(куб. ед.). |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
nup. |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
§ 3. Прямая на плоскости
Под прямой понимают прямую линию. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.
Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заменить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли точка M0 (x0 ; y0 )на прямой F(x, y)= 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям) удовлетворяют ли координаты точки M0 уравнению F(x, y)= 0 этой прямой, то есть выполняется ли равенство F(x, y)= 0.
Пример. Лежит ли точка M0 (1;2) на прямой l :3x − y +1= 0.
Решение. Подставив в уравнение прямой 3x − y +1= 0 координаты точки M0 , то есть x0 =1 и y0 = 2 вместо x и y, получаем:
3 1− 2 +1 = 3 −1= 2 ≠ 0.
Следовательно, точка M0 не лежит на данной прямой l.
Общее уравнение прямой.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости
xOy задана точка M0 (x0 ; y0 ) |
|
|
вектор |
|
{A;B}. Требуется составить |
|||
и |
N |
|||||||
уравнение прямой l, проходящей |
через точку |
M0 и перпендикулярной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектору N . (см. рис. 13) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
l y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
M |
|
||
0 |
|
|
|
x |
Рис. 13 |
22
Выберем произвольную точку M (x; y) на прямой l. Тогда вектор
|
|
= {x − x0 ; y − y0} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l. Так |
|
прямая l |
|||
|
M0M |
|
лежит |
на |
прямой |
как |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
перпендикулярна |
вектору N |
по |
условию, |
то и |
вектор M0M |
|||||||||||||
|
|
, а значит |
|
|
|
= 0, откуда |
|
|
|
|||||||||
перпендикулярен вектору |
N |
M0M |
N |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
A (x − x0 )+ B (y − y0 )= 0. |
|
(3.1) |
|||||||||||||
|
Уравнение |
(3.1) |
является |
уравнением |
прямой |
на |
плоскости, |
проходящей через точку (x0 ; y0 ) и перпендикулярной вектору N{A;B}.
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором
нормали прямой. Вектор N{A;B} является вектором нормали прямой l.
Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку
M0 (1;2) и перпендикулярной вектору PQ, если P(0;1) и Q(−1;2).
Решение. Находим координаты вектора PQ, являющимся вектором
нормали прямой l:
N = PQ = {−1− 0;2 −1}= {−1;1}.
Подставляя в уравнение (3.1) |
координаты точки |
M0 (1;2), то есть |
|||
x0 =1, |
y0 = 2 и координаты вектора |
|
= {−1;1}, то есть A = −1, B =1, |
||
N |
|||||
находим искомое уравнение прямой |
l: |
|
|
|
|
l: |
−1 (x −1)+1 (y − 2)= 0 |
или |
|
||
l: |
− x +1+ y − 2 = 0 или |
|
|
|
|
l: |
− x + y −1= 0 |
|
|
|
|
Ответ: − x + y −1= 0. |
|
|
|
|
|
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом: |
|
||||
Ax − Ax0 + By − By0 = 0 или |
Ax + By + (− Ax0 |
− By0 )= 0. |
Обозначив C = −Ax0 − By0 , получаем общее уравнение прямой на
плоскости вида:
Ax + By + C = 0. |
(3.2) |
23
Исследуем уравнение (3.2):
1. При A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 уравнение (3.2) примет вид:
Ax + By = −C .
Разделив обе части последнего уравнения на (− C)
|
Ax |
+ |
By |
= |
− C |
|
или |
|
x |
|
+ |
|
y |
|
=1, |
||||
|
|
|
− C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
− C |
|
− C |
|
|
|
|
− |
C |
A |
− |
C |
B |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
обозначив a = −C |
, |
b = −C |
получаем уравнение прямой на плоскости |
||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в «отрезках» вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
y |
=1, |
|
|
|
|
(3.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
где a и b величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (см. рис. 14).
yl
b
a |
0 |
x |
|
|
Рис. 14 |
Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку
M0 (1;2) и отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).
y
l
b
2 M0
0 1 |
a |
x |
Рис. 15
24
Решение. Пусть уравнение искомой прямой l имеет вид (3.3), то есть
l : x + y =1. Так как a = b по условию, то уравнение (3.3) можно
ab
переписать в виде: l : x + y =1 или l : x + y = a.
aa
Поскольку точка M0 (1;2) лежит |
на прямой |
l, то подставляя ее |
координаты x =1, y = 2 в последнее |
уравнение, |
находим: l :1+ 2 = a, |
откуда a = 3. Следовательно, l : x + y = 3 – уравнение искомой прямой.
Ответ: x + y = 3.
Пример. Построить прямую l : 2x − 3y − 6 = 0.
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3):
2x − 3y − 6 = 0; 2x − 3y = 6;
|
2x |
− |
3y |
=1; |
x |
+ |
y |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
6 |
|
3 |
|
− 2 |
||||
Отметим на оси Ox точку |
x = 3, а на оси Oy точку y = −2 и через |
||||||||
эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 16). |
|||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
Рис. 16
Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
By = −Ax − C или y = − A x − C .
B B
Обозначив k = − A , b = − C , получим уравнение прямой с угловым
BB
коэффициентом k :
l : y = kx + b |
(3.4) |
25
Угловой коэффициент k равен тангенсу угла α наклона прямой l к
положительному направлению оси Ox (см. рис. 17), то есть k = tgα . y
|
|
|
y0 |
|
M |
|
|
|
|
|
y − b |
|
|
|
|
|
b |
α |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
l |
0 |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
Из рисунка 17 следует, что для любой точки M(x; y) l выполняется |
||||||
равенство |
y − b |
= tgα = k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
Пример. Составить уравнение |
прямой l, |
проходящей через точку |
M0 (1;2) и образующей с положительным направлением оси Ox угол
Решение. Пусть искомое уравнение прямой l запишется в виде (3.4)
l : y = kx + b. |
По условию |
α = 45 , |
значит |
k = tgα = tg45 =1, |
следовательно l : y = x + b. |
|
|
|
|
Поскольку |
точка M0 (1;2) |
лежит на |
прямой |
l, то подставляя в |
последнее уравнение x =1, y = 2 находим: l : 2 =1+ b, откуда Таким образом, искомое уравнение прямой l имеет вид:
Ответ: y = x +1.
Пусть прямая l проходит через точку M0 (x0 ; y0 ) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
l : y = kx + b,
где b – пока неизвестная величина.
26
Так как |
точка M0 (x0 ; y0 ) |
лежит |
на |
прямой |
l, |
то |
ее |
координаты |
|
удовлетворяют |
уравнению прямой l, |
то |
есть имеет |
место |
равенство: |
||||
y0 = k x0 + b, откуда |
b = y0 − kx0 . Подставляя значение |
b в уравнение |
|||||||
y = kx + b, получаем: y = kx + y0 |
− kx0 |
или |
|
|
|
|
|
||
|
|
y − y0 |
= k(x − x0 ) |
|
|
|
(3.5) |
||
Уравнение (3.5) |
с различными |
значениями |
k |
называется также |
уравнением пучка прямых с центром в точке M0 (x0 ; y0 ).
Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси
Oy, так как tg90 = +∞.
Пример. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку пересечения прямых l1 : x − y + 2 = 0 и l2 : 2x + y − 5 = 0 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 135 .
Решение. Координаты точки M0 пересечения прямых l1 и l2 находим из системы уравнений этих прямых:
x − y + 2 = 0
+ − =
2x y 5 0
Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: 3x − 3 = 0, откуда
x =1. Тогда y = x + 2 =1+ 2 = 3.
Итак, координаты точки M0 (1;3).
По условию α =135 , значит k = tg135 = −1. Подставляя в
уравнение (3.5) k = −1 и x0 =1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой
l : y − 3 = −1 (x −1) или
l : y − 3+ x −1= 0 или
l : x + y − 4 = 0.
Ответ: x + y − 4 = 0.
27
2. При A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax + By = 0.
Это |
|
уравнение прямой |
l, |
проходящей через |
начало |
координат – |
точку |
||||||||||
O(0;0) и точку M |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
1;− |
|
. (См. рис. 18) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
l |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
A |
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18 |
|
|
|
|
|
|
Пример. Построить прямую l : 2x − 6y = 0. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
Решение. Уравнение прямой l |
является общим уравнением прямой на |
|||||||||||||
плоскости A = 2, |
|
B = −6, |
C = 0, |
проходящей через |
точку O и |
точку |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
1; |
|
|
. (См. рис. 19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y l
1M0
3 |
|
|
0 |
1 |
x |
Рис. 19
3. При A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 уравнение (3.2) примет вид: By + C = 0
или y = − C . Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox и
B |
|
|
|
|
|
|
|
0;− |
C |
|
|||
проходящей через точку |
|
. (См. рис. 20) |
|
|||
|
|
|||||
|
|
B |
|
|||
l |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
C |
|
|
|
|
|
B |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
x |
|||
|
|
|
|
|
Рис. 20 |
|
28
Пример. Построить прямую l :3y + 6 = 0.
Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на
плоскости A = 0, B = 3, C = 6, параллельной оси Ox и проходящей через
точку (0;−2). (См. рис. 21).
y
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
l |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 21 |
|
4. При A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax + C = 0 |
|||||||
или x = − |
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|
Это уравнение прямой |
на плоскости |
параллельной оси Oy и |
|||||
|
|
|
− |
C |
|
|
|
проходящей через точку |
|
;0 |
. (См. рис. 22) |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
y
|
|
|
|
|
|
|
− |
C |
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
A |
Рис. 22 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Построить прямую l : 2x +1= 0. |
|
||||||||||
Решение. Уравнение прямой l |
является общим уравнением прямой на |
||||||||||
плоскости |
A = 2, B = 0, C =1 параллельной оси Oy и проходящей через |
||||||||||
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
точку |
|
;0 . (См. рис. 23) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
− |
1 |
|
|
0 |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29