tgfa?1 i=i

определения движения точки или звена посредством кинема­ тических уравнений движения в прямоугольных координатах принято называть координатным. Иногда его называют ана­ литическим способом.

При координатном способе за аргумент принимают время или обобщенную координату механизма и, придавая ему раз­ личные частные значения, вычисляют соответствующие зна­ чения функций положения (координат) и их производных: про­ екции на координатные оси скоростей и ускорений или кине­ матических передаточных функций скоростей и ускорений.

Координаты любой точки однозначно определяются ра­ диус-вектором точки, проведенным из начала отсчета. Поэто­ му система векторов, связанных с соответствующими точками механизма характеризует как расстояние между точками, так и направление, в котором точки находятся по отношению друг к другу (рис. 3.4).

Базой для составления кинематических уравнений в ко­ ординатной форме является векторная модель механизма, т-е. совокупность геометрических векторов, соединяющих кинема­ тические пары (точки звеньев) между собой на структурной (кинематической) схеме механизма в такой последовательно­ сти, которая целесообразна для расчета кинематических пара­ метров механизма координатным способом.

Под геометрическим вектором понимают направленной отрезок в пространстве или на плоскости, имеющий началь­ ную точку (точку приложения вектора) и конечную точку (см. рис. 3.4). Однозначное отображение вектора при каждом

значении аргумента (времени или обобщенной координаты) называют вектор-функцией скалярного аргумента.

Так как объем информации при вычислениях достаточно велик, то для краткости записи используют массивы, т.е. упо­ рядоченные множества, обозначенные именем (идентификато­ ром). Число элементов в массиве определяет его длину. Поло­ жение элемента в массиве определяется значением его индек­ сов. Введем следующие идентификаторы для одномерных мас­ сивов, связанных с геометрическим вектором h (см. рис. 3.4).

Точка А приложения вектора (начало вектора) — массив DA и з шести элементов:

D A = {х А,уА,х А,уА,х А,уА},

т.е. координаты точки А и их производные по времени. Точка В (конец вектора) массив D B из шести элементов:

DB = {хв,Ув^В>Ув/^В^'Ув}>

т.е. координаты точки В и их производные по времени.

Для примера на рис. 3.5, а приведена кинематическая схе­ ма трехподвижного манипулятора, обеспечивающего движение схвата Е по траектории Тр, если заданы три обобщенные ко­ ординаты: qi, й1 и 932При решении обратной задачи задают движение точки массивом

D E = { Х£ , у£ , х е , УEi УЕ}

и одну из обобщенных координат (например, 93 2), а другие две координаты являются искомыми. С каждым звеном или с точками звена связывают соответствующие геометрические векторы, совокупность которых определяет векторную модель механизма: 7i, /i£#, hеа (рис. 3.5, б). Угловые координаты векторов отсчитывают от положительного направления оси Ах против хода часовой стрелки: <р\, (р2 , 4>hEA-

Функции положения механизма. Уравнение вектор­ ного контура АВЕ записывают в форме (см. рис. 3.5, б)

и проецируют на координатные оси:

(p\l\ cosv?i + hBB sin (fi2 + <Р2^ЕВ cos Ч>1 ~ УЕ = 0.

Из пяти параметров <pi, <ip2 >h£B, X£B, j/£ ТРИ параметра должны быть заданы, а остальные два вычисляют в результа­ те решения системы двух линейных уравнений.

При заданных значениях обобщенных скоростей вычисля­ ют Х£ и у£. При заданных Х£, у£, h.£B вычисляют искомые

Функции ускорений. Систему уравнений, записанную для скоростей, дифференцируют по времени (рис. 3.5, г):

- (p\l\ sin (^>i - (filli cos</?i + h g e cos<^2 - 2 y?2^EB sin^2“

ных функциях положения (3.18) и скоростей звеньев (3.21), (3.22) получают систему двух линейных уравнений относи­ тельно искомых угловых ускорений <р\ и ^ :

ац(р\ + ai2</?2 = h , a21<Pl + а22Ч>2 = &2-

Здесь

Вычисляют значения D, D\, D 2 и значения искомых неиз­ вестных:

4>\ = D\ID\ ip2 = D2/D.

На (рис. 3.6, а) изображены кинематическая схема криво- шипно-ползунного механизма с одной степенью свободы и век­ торная модель этого механизма. Точка Е ползуна 3 совершает поступательное движение вдоль направляющей 4• Длина зве­ на 2 постоянна: I2 = 1е в ■Уравнение векторного контура АВЕ записывают аналогично (3.17), т.е.

h + h - УЕЗ - ХЕi = 0.

И проецируют на координатные оси:

<P2 = arctg(sinv?2 /co s ^ 2 )(sgncosv?2 )-

Два значения угла <f2 при одном значении обобщенной координаты свидетельствуют о том, что механизм имеет две сборки: расположение ползуна справа от оси Ау (см. рис. 3.6, а) и слева от той же оси. Поэтому для получения одно­ значного решения следует указать числовой показатель сборки

Скорость ползуна вычисляют по первому уравнению (3.26) или выражают его после подстановки (3.27) в уравне­

+ ip2h cos f 2 ~ ¥>2*2 sin ¥>2 = 0 .

Из второго уравнения системы (3.30) находят ipi'-

+ V’l ( cos(v?2 -Ч>1 ) + Ц cosz ip2

Графики изменения передаточных функций скорости точ­ ки С vqc = vc/ui = i c /^ l (рис. 3.7, б) при разных смещени­ ях у£ = е направляющей ползуна (рис. 3.7, а) и передаточного

Х2-4

Рис. 3.8

отношения U21 = ^2 / ^ 1 = V^/v^l угловых скоростей ползуна и кривошипа (рис. 3.8) и при разных коэффициентах Аг = /1 / / 2 построены с использованием компьютера.

Кривошипно-ползунный механизм применяют во многих машинах, и при расчетах его кинематических характеристик часто пользуются приближенными формулами, которые полу­ чают путем разложения обратной тригонометрической функ-

перемещается по траектории Тр (см. рис. 3.5, а). Для точки Е звена 3 справедливы следующие соотношения:

VE3 = VE2 + VE3E2 = УВ + УЕ2В + ^ЕЗЕ2 = УЕЗх + ^ЕЗу-

На рис. 3.5, в построен план скоростей по этому уравне­ нию относительно искомой скорости VQ при заданных значе­ ниях VE3x>vE3y> vE3E2i записанному в следующем виде:

VB = УЕ2 + УВЕ2 = УЕЗх + УЕЗу + УЕ2ЕЗ + ^ВЕЪ

где VQ = x h известен по направлению (подчеркнута вели­ чина одной чертой) — перпендикулярен ВА;

vЕ2ЕЗ — скорость относительного перемещения цилиндра относительно поршня. Значение скорости задано, направление

— вдоль линии BE (вектор подчеркнут двумя чертами); УВЕ2 известен по направлению — перпендикулярен линии

ЕВ;

УЕЗх>уЕЗу — проекции скорости схвата Е на координат­

ные оси: заданы или могут быть определены, если заданы тра­ ектории и алгебраическая скорость схвата Е вдоль траекто­ рии.

Масштаб плана скоростей pv = .. .мм/(м •с- 1 ) вычисля­ ют как отношение длины изображающего отрезка (мм) к зна­

=..мм/(м с-2 ) по следующим соотношениям:

аВ = аЕ2 + аВЕ2 — &ЕЗ + Д£2ДЗ + аЕ2ЕЗ + ®ВЕ2 >

ИЛИ

+ 4 = &ЕЗХ + аЕЗу + й*Е2ЕЗ + ^Е2ЕЗ + °ВЕ2 + °*ВЕ2'

Здесь верхние индексы п и t относятся к касательным (тан­ генциальным) и нормальным составляющим ускорения. Каса­ тельное ускорение направлено по касательной к траектории аб­ солютного (например, а^) или относительного (а^ЕЗ' движения. Нормальное ускорение направлено по нормали в сторону вогнутости траектории (соответственно а^, а ^ ^ ), a

его модуль равен квадрату скорости, деленному на радиус кри­ визны траектории: ав = ув /1в а >аВЕ2 = УВЕ2 /^ВЕ' Ускоре­

ние Кориолиса Й£2 £ 3 = 2(й;з х уЕ2Ез)- Для определения его направления достаточно вектор относительной скорости у Е 2 Е З повернуть на 90° в плоскости движения точки в сторону пере­ носного вращения (а7з = &2 = увЕ2/^Ве )'

В заключение кинематического анализа механизма мани­ пулятора следует отметить, что векторные уравнения скоро­ стей и ускорений можно спроецировать на координатные оси основной системы отсчета и получить по два уравнения как суммы проекций составляющих скоростей или составляющих ускорений на эти оси. Одна пара уравнений будет тожде­ ственна системе уравнений (3.19), другая — система уравне­ ний (3.23), полученных при координатном способе. Различие состоит только в разных обозначениях составляющих.

Второй пример построения планов скоростей и ускоре­ ний приведен на рис. 3 .6 , б, в для кривошипно-ползунного ме­ ханизма. План скоростей построен по векторному уравнению

У Е = ^ В _ + у Е В или в отрезках: р ^ ё = p v b + e b .

План ускорений построен по векторному уравнению:

^= ад + ад + апЕВ + ад в -

Начальным звеном механизма принято звено 1, для ко­ торого заданы угловая координата y>i, угловая скорость и\ и угловое ускорение е\. Искомыми являются скорость уе и уско­ рение ав ползуна 5, угловая скорость и>2 и угловое ускорение £2 шатуна, скорость у$2 и ускорение а$2 центра масс S2 ползуна:

Положения точек S2 и s 2 на векторах eb и e'b1 найдены способом пропорционального деления в соответствии с поло­ жением точки S2 на шатуне BE:

Проецируя векторы скоростей и ускорений на планах ско­ ростей и ускорений на координатные оси основной системы отсчета, получают системы тригонометрических уравнений, аналогичные системе уравнений (3.26) для скоростей и систе­ ме уравнений (3.30) для ускорений, полученных координатным способом.

3.5. Модульная система кинематического анализа механизмов

Знание кинематических характеристик механизмов тре­ буется при решении многих задач проектирования машин, к которым относятся, например, такие:

оценка функциональных возможностей механизма выпол­ нять требуемое движение звеньев при заданных или вычислен­ ных размерах звеньев;

оптимизация параметров механизма с учетом заданных ограничений и критериев;

определение закона движения механизма при заданных ак­ тивных силах и моментах сил, размерах звеньев, их массах и моментах инерции;

расчет сил в кинематических парах механизма с учетом неравномерного движения звеньев;

определение обобщенных координат, скоростей и ускоре­ ний ведущего звена (двигателя) по заданному движению ис­ полнительного органа манипуляционных и рычажных меха­ низмов с управляемыми двигателями;

определение кинематических характеристик механизмов по заданному движению линейных, поворотных и роторных двигателей.

Успешное решение этих задач возможно только при сис­ темном подходе к проектированию. Под системой понимают совокупность элементов, функционально и структурно связан­ ных и взаимодействующих друг с другом. Структура любой системы определяется связями между элементами, имеющими определенные характеристики и свойства. Связь любой систе­ мы с другими системами осуществляется входами в систему и выходами из нее. Применительно к рычажным механизмам

такими элементами можно принять структурные группы, ста­ тически и кинематически определимые и имеющие нулевую подвижность относительно основания, связывающего внешние кинематические пары поводков этой группы.

При задании движения внешним парам группы ее звенья будут описывать движение, характеристики которого можно описать математическими уравнениями и соответствующими алгоритмами вычислительных или логических процедур.

При обработке входной информации на компьютере тре­ буемые алгоритмы оформляются в виде соответствующей про­ граммы*

Независимые части программы оформляются в виде про­ граммных модулей. Модули могут быть представлены в виде блоков — последовательности операторов и комментариев, ко­ торые реализуют логически самостоятельную часть вычисли­ тельного процесса на компьютере.

Для механизмов II класса 2 -го порядка структурные груп­ пы содержат по два звена, соединенных внутренней кинемати­ ческой парой В, которая может быть вращательной (В) или поступательной (П). Возможные сочетания внешних и вну­ тренних пар показаны на рис. 3 .9 , а, в, д, ж, з, к, л, о для групп типа ВВВ, ВВП, ВПВ, ПВП, ППВ. Движение внешних вращательных пар D и С задается массивами кинематических элементов движения:

ОВ = {х д ,у д ,х д ,у д / х д ,у д } и DC = { х с ,УС^С^УСу^с /Ус }-

Движение внешней поступательной пары (см. рис. 3.9, в, г, к, м) задается координатами базовой точки Со направляю­ щей С массивом DCoO = {хсОчУСО^С^Фс^Фс} или базовой точки JDO и направляющей d массивом DDO = {xDChVDOiVd)

<Pd><Pd}-

Справа на рис. 3 .9 , б, е, и, м приведены векторные моде­ ли структурных групп, построенные по векторному уравнению b = c+d. Здесь вектор Ьопределяется внешними парами групп,

* Попов С.А., Черная Л.А. Математическое и программное обеспече­ ние расчетов кинематических характеристик плоских рычажных и мани­ пуляционных механизмов (система БЛОМСАР) / Под ред. Г.А. Тимофее­ ва. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991.

его называют базовым. Его кинематические параметры могут быть вычислены в виде массивов того или иного вида, напри­ мер:

VB = {Ь,<рь,Ьх,Ьу,Ьх,Ьу}] VBRF = {Ь,щ,Ь,Срь,Ъ,(рь}\

PRB = {Ь,Ъ,Ъ}\ PFB = {щ ,щ ,1рь}.

Анализ векторных моделей для двухзвенной структурной группы показывает, что векторы образуют косоугольный или прямоугольный треугольник. Для каждой структурной груп­ пы по отношению к базовому вектору возможны два распо­ ложения или две сборки механизма. На это обстоятельство указывалось в § 3.3, где было введено понятие о числовом по­ казателе сборки с помощью функции знака (сигнум). Поэтому функция знака должна вводиться в выражения для угловых координат (рс и (рд векторов с и d соответственно:

Ч>с = Щ - У И D s g n ( M B ( b ) ) + 2 ж к (к = 0; ±1),

<Pd = <Pb~UCsgn(Mg(b)) + 2тгк (к = 0; ±1).

В зависимости от вида структурной группы и набора за­ даваемых параметров для каждой группы (длина звеньев с и d, смещение направляющей ес и ед, угловой координаты на­ правляющей 0д, ipc, ид, координат базовой точки направля­ ющей поступательной пары) составляют алгоритм вычисле­ ния функций положения звеньев и координат внутренней пары. Практически все алгоритмы можно составить на основе реше­ ния косоугольных треугольников BCD на векторной модели структурной группы. Для этого используют:

теорему косинусов

формулу тангенсов

проекций на координатные оси и найти искомые элементы по­ ложения звеньев с учетом заданных размеров механизма:

После дифференцирования уравнений (3 .3 5 ) по времени полу­ чают

ХС ~ XD = -фсС sin (рс + с cos (рс - (pddsin y>d+

+ dcoscpd = -(pbbsiinpb + bcos (fib,

УС ~VD = VcCcos <pc + c sin pc + (p^dcos (pd+

+ dsin (рд = (рьЬcos (рь + bsin <рь•

После дифференцирования уравнений (3.36) по времени нахо­ дят

Подставляя в эти соотношения соответствующие значе­ ния задаваемых или вычисленных параметров в зависимости от вида структурной группы, получают по два линейных урав­ нения относительно двух искомых неизвестных, которые нахо­ дят, например, по правилу Крамера. Из общих соотношений (3.35), (3.36), (3.37) можно составить отдельные модули для частных случаев (в частности, для каждой структурной груп­ пы раздельно) и оформить эти модули как составные части системы автоматизированного расчета кинематических харак­ теристик рычажных и манипуляционных механизмов.

Для примера на рис. 3.10 и 3.11 приведены векторные мо­ дели, планы скоростей и планы ускорений для структурных групп вида ВВВ и ВВП.

v£=0; фс* 0

Ъ=Ъ+ * W V W VJ>3J>4

v£=0; фс*0; (рс*0;

v„=0; ф£=фс=0

1 aB2 ас + ас + “вса°г'^ а'ВС

авГавГаВ4 аВЗВ?аВЗВ4 **B4=°E+**BAE+ ?В4Е

Рис. 3.11

Функции положения звеньев составляют на основе проеци­ рования векторного уравнения b = c + d на координатные осЦ и решения алгебраических уравнений для определения UD, UC,

При этом же условии построены план скоростей (рис. 3.10, б) и план ускорений (рис. ЗЛО, в). Для точки С задан массив

DC = { хс,Ус, хс,Ус,Хс,Ус} ИЛИ DCV = {х с,ус,ус,а%,агс}.