книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

{N +

1)-

угольны е контуры

(с округленными

углами) поперечных

сечений соответствую щ их некруговы х

цилиндрических поверхностей

разд ел а . Д иф ф еренциальны е

операторы

Л}п) при

п =

О, 1 ,2 получа­

ю тся

из (2.173) как частный случай

(а — 0).

В табл. 2.7 систематизированы

известные [31, 58,

128] аналитиче­

ские вы раж ения функции / (С) и соответствующие им значения малого

парам етра

е для ряда

контуров,

представляющ их поперечные сече­

ния

рассмотренных в

§ 2 ортогональны х некруговых цилиндрических

описываю тся

правильны е многоугольники с округленными углами

и несколько

искривленными сторонами, как это проиллюстрировано в

монографии

158]. При учете последующих членов на основании общего

м ногоугольников вы п рям ляю тся,

а

углы заостряю тся . Н а

рис.

2.1

показаны

некоторы е

некруговы е

цилиндрические

поверхности,

по­

строенны е

на

основе

ф ункций табл .

2.3 при

р = 1

(а — № 2, п =

4;

б — № 4,

п =

2; в — № 4, п =

3;

г — №

10, п =

3; д — №

10,

п =

=

4; е — № 10, п =

5; ж

— №

10, п = 6; з — №

11, и — №

12, к —

№

н , л — №

15, м

— №

16).

вращ ения с замкнутыми поверхностями раздела описываются

одной

и той ж е конформно отображаю щ ей функцией (2.117). Поэтому

и ма­

системы координат

р, у,

<р (координат тела вращ ения, причем у —

угол ш ироты, ф — угол

долготы). П редполож им, что контур

Г0 ме­

ридианного сечения

S„

описывается функцией

г + iR =

rif’w (£) = £ + е/ (Q = re £B

(£ = peiv),

(2.1 74)

где R — расстояние от оси вращ ения 0г\ г, в, а

— сферические

коор­

рактерной

постоянной /■„; в — малый

параметр (| в |

1),

характери­

зую щ ий отклонение

поверхности

S 0

от

соответствующей

сферы.

П редполож им , что

поверхность

S t

раздела I-го и (/ +

1)-го слоев,,

а такж е внутренняя поверхность

S n

совпадают с координатными ‘по­

верхностями соответственно р

=

р/ <

1

и р

= рл/ <С 1. Тогда

соглас­

но (2.119),

(2.174)

их

уравнения

имеют

вид

z =

Re

ре*у +

ft.,

a kp V ftv

е V

*=i

p=p«

(2.175)

R =

Im

pe‘‘v 4- g £

a kpV *v

p=p„

(m =

0, 1 ,2 , . . . ,

N),

k—\

где R e и Im — символы

действительной

и мнимой частей выражения

в квадратны х

скобках.

В данном

случае

наблюдается соответствие типа (2.122), а условия

ортогональности

в

произвольной

точке

поверхности

раздела Si

(а такж е граничных

поверхностей

S 0, Sn) имеют вид

6у,т ■?n,m ~ 0,

Сф,т

Ип,т ~ 0

(®р.,п

£п,т =

1, /И — 0».

1,

2,

N).

(2.176)

Д о п у сти м ,

что контур

Г 0

м еридианного

сечения

поверхности

S„

'о п и сы вается

ф ункцией

(2.174),

конф ормно

отображ аю щ ей

внеш ность

I £ | >

1

единичной

окруж ности

на

внеш ность

Г 0, и,

следовательно,

ф у н к ц и я

f (£) д оп ускает представление (2.120). В этом

случае

поверх­

н ость

S/

р азд ел а l-то

и (/ +

1)-го слоев, а так ж е внеш няя поверхность

-Sn совпадаю т с

координатны ми поверхностям и p =

p ^ > l и p

=

p^v>■

О

1,

а

их

уравн ен и я

приобретаю т

форму

z =

Re pe£v +

е V

ckр- -kg—iky

к

fe=i

Jp=P

(2.177)

R =

Im

pe'v

+ е £

ckp - ke - ik4

(m =

0,

1, 2, .

.

N ).

ft=i

P=Pn

П р и

этом

соответствие

меж ду

координатны ми

поверхностям и

р =

рт

< т

=

0,

1,

2,

N)

и

S 0, S h

S n

аналогично

(2.125),

причем

на

них

т а к ж е

вы полняю тся условия

ортогональности

(2.176). П редполож им ,

•что

требуется

исследовать

напряж енно-деф орм ированное состояние

•рассм атриваем ого

м ногослойного

изотропного

упругого тела

вращ е­

н и я

при

задан н ы х

на

граничны х

поверхностях S 0, S n

перемещ ениях

0

0

0

0

.Uj,о,

м/.дг

или н ап р яж ен и ях

сгр/,о,

а р/,л/.

С ледовательно,

в статических

граничны х зад ачах

необходимо

най ­

т и

реш ение

уравнений

равновесия

в н ап ряж ен и ях

(2.12)

или

переме­

щ ен и ях

(2.13)

при

следую щ их

краевы х

условиях

на

ортогональны х

п о вер х н о стях :

на

поверхности S n

о

о

Щл |р—ро ~

^/,о

или Op/л |р—р0 = а р/,0;

(2.178)

н а

поверхности

S n

о

о

Цр/,Л/ |p=p^v ~

ИЛИ

Uf,N |р=рд/ = Uj.N'

(2.179)

В сл у чае идеального контакта слоев

условиям и

сопряж ен и я

на

по­

верхн ости

раздела

S/

будут

и1Л |р=р; =

И/./+1 |р=р(.

Цр/,/ |р=Р/ =

Цр/,/+1 |р=Р|

(2-180)

(/ =

р. Y. <р;

I

=

1. 2,

. . . ,

N

—

1).

Е сли

ж е контакт слоев на

поверхности раздела

неидеальны й

(ког­

д а

возмож но проскальзы вание без отслаивания), условия

соп ряж ения

прим ут

вид

UP.I |р=Р/ =

ЫР.Ж

|р=Р,>

а РР./ |р=Рг =

a pp,i+ l |р=Р/'

. 01

Цру,/ |Р=Р/ =

0*

^pv.h-i Ip—р^ =

0»

°Рф,/ |Р=р; =

0,

(2.181)

°р<р.Ж |р=рг =

0.

Т акого

типа

условия

сопряж ения

на

поверхности

раздела

рассм атри ­

вали сь

в

работе 1155].

К ак частные случаи рассмотренная

постановка содерж ит и

более

про­

стые задачи . Т ак, например,

если

исследуется

задача

для

сплош ного

конечного составного тела

(внутренняя задача), находящегося под

о

действием внеш них усилий

а р,\о, то на S 0 краевые условия в напря­

ной неканонической

полостью

(внеш няя

задача), граничные условия

на

S 0 (р =

ро = 1)

имеют вид

Gp/.i |р=ро =

0 (/ =

р,

у. ф).

(2.182)

а

условия

сопряж ения на поверхности

раздела

Sw -i (р = p,v-i),

ность, т. е.

рл/

оо), будут следующими:

в случае

идеального

контакта

II/,N—I lp=p,v—1 =

(uj,N +

K/)p=Pjv_i«

CP/.W—1/P=PjV_I ~

— (Vpf.N + CTpy')p=Pyv_i>

(2.183)

в случае

неидеального контакта

л

UP.N—1 |р=РДГ_[ =

(Wp.AT +

Up)р=РДГ р

Tpp.W—1 Jp=P;V--1 —

— (°PP,N + °рр)р=р#_1>

Л

!р==рл/—i ==

(a Pv.w

^pv)p=p;v—i ~

(2.184)

/4

< W v -i |р=рд/_| = 0,

(сГ рф +

^рф)р=рл(—i ~

0-

С

N —

1)

останутся без изменений,

т. е. в

виде (2.180) или (2.181).

П ри

рассмотрении

задачи для

бесконечной

многослойной

среды

с ж естким неканоническим включением краевы е условия на

его

по­

верхности

S 0

(р = Ро — 1)

имеют

форму

«/л |р=ро =

0

(/ =

р, у,

ф),

(2.185)

а

условия

сопряж ения

на поверхностях

раздела S t (I =

1 ,2 ,

.... N

—

2) и S/v-i

будут иметь вид (2.180),

(2.183) или (2.181),

(2.184).

Н есмотря

на внешнюю

простоту

приведенных

краевых

условий

в координатах р, у, ф ввиду сложности поверхностей раздела S, и гра­

ничных

поверхностей

S„,

S n,

описываемых

уравнениями

(2.175),

(2.177), получить точное общее

реш ение уравнений

равновесия

в

на­

пряж ениях

(2,12) или

перемещ ениях

(2.13)

в переменных р, у,

ф

и,

следовательно, реш ить

точно поставленную

краевую задачу

не

пред­

рассм атриваем ой

ортогональной неканонической

поверхности от

со­

ответствую щ ей

сферы ,

п озволяет

и скать

реш ение

поставленной

в

п. 3.1 задачи в виде рядов типа (2.133). Д л я

определения компонентов

п р ои зво льн о го

при бли ж ения использую тся

ф ормулы

преобразований

(2 .135), (2.136)

ком понентов

тензора

второго р а н га м

вектора при по ­

вороте системы

коорди н ат на угол

р, которы е в

рассм атриваем ом сл у ­

чае прим ут вид

CFpp,/ =

Orrj + - i -

(ae0i/ — a n ,i) (1 — cos 2p)

+

0y9,/ sin 2|5,

Oyyj =

a e0,/------(O00.Z — orrJ) (1 — cos 2(3) — a r9f, sin 20,

Ффф,/ — Gaa.h

вру,l — ~n~ (ввв,1 — e rr,i) sin 20 -f- @rd,l COS 20,

e p(p.i =

вга,,i cos 0

-f- O0a,; sin p,

(2.186)

вуц>,1 =

Cf0a,/ COS p

Ofa,/ sin p,

Up,i =

cos p 4- ue.i sin p,

Uy.l — Uqj cos P — Ur,l sin P,

Uy,i =

лениям и

определяется

через

конформно отображ аю щ ую

ф ункцию

(2.174) по ф ормуле (2.137). Сферические координаты

г,

6 вы раж аю тся

через эту ф ункцию

соотнош ениями типа

(2.143). В связи с этим

пред­

ставление произвольной скалярной функции Ф* (г, 0, а ), а

так ж е ком ­

понентов at*./ (г, 0, а )

и u s,i (г, 0, а )

(как слож ных ф ункций относи­

тел ьн о парам етра

е) по аналогии

с (2.156) имеет форму

{Ф/ (г, 0, a ), oks,i (г,

0,

a ),

u s,i (г, 0,

а)}

=

=

2

-V. ф).

» & " ’ (р. т .ф ) .

Т .Ф )).

т = 0

п=О

(2.187)

П одставляя

соответствую щ ие

ряды

типа

(2.133),

(2.138),

(2.187)

в зависимости

(2.186)

и сравнивая

вы раж ения

при одинаковы х

степе­

нях

парам етра

е,

получаем

следую щ ие

рекуррентны е соотнош ения:

д л я составляю щ их

тензора

напряж ений

< С = £ ( Л Г - У Я + л Г " “ ( < * - « Я ) + л Г " ’о Ж ь

т=0

ГТ<П), — V

г А(п—т) (т)

д (п—т) ,( т )

(т) ч

М

(п—

UyyJ

--

1Л[

сое,/ —

А-2

(a0o;/ — Q}r 'i)

Огв,1\’

(2.188)

т —0

„(п)

д (п—т ) (т )

П{п)

£

[М " - ” В Д

ОфФ,/

Ai

Оаа,/»

а РУЛ

*

т —0

т —0 L

п

п

для компонент

вектора

перемещений

П

« $

= S

[Л5,_М)«Й ) + л Г " 0* ® ,

т=О

(2.189)

11

П

функции Ф /'° и ее нормальной

производной (дФ//др)(,1) в произволь­

ном

приближ ении

аналогичны

(2.159),

(2.160).

Дифференциальные

операторы

Л /1’

(/ =

1,

2, ...,

6)

в общем случае

имеют вид (2.161),

а для функции

/ (£) =

t ~ N +

а£Гк в первых трех приближениях —

(2.173).

Согласно

(2.187)

компоненты,

фигурирую щ ие в

правых частях ре­

куррентны х

соотношений (2.188), (2.189)

зависят

от переменных р,

V, ф,

т. е.

(2.190)

Это означает, что для получения

их конкретных аналитических выра­

З д е с ь Y m (у, ф) — сф ерические ф ун кции ;

v £ ,,

^

—

констан ­

ты ,

которы е определяю тся

по ф орм улам

(2.84) через упругие

постоян­

ны е

c tjj тр ан свер сал ьн о

изотропного

1-го

слоя;

А%1,,

Bml.i — про­

и зво л ьн ы е постоянны е, которы е долж ны быть определены

из соответ­

Э тим и усл ови ям и

на основе

(2.133), (2.178),

(2.179), (2.182),

(2.185)

соответственно

будут:

на

поверхности S„

U/Л )р=Ро ==

и{/%

или

o f/i |р=Ро =

Ордо;

(2.192)

на

поверхности

S n

_(«)

I

=

a jjU ,

или u f N |Р=РЛ/ = и % \

(2.193)

°РIM |р=рдг

когд а вн у тр ен н яя

поверхность

S 0 бесконечной среды свободна от

н а п р я ж ен и й

оЙ1 1р=р. = 0

(/ = р. V» ф);

(2 -194)

на

поверхность S 0 ж есткого вклю чения

в бесконечной среде

«Л1|Р=р, = 0

(/' = р,

у, Ф).

(2.195)

У сл о в и я сопряж ен и я

на

ортогональной

поверхности

разд ел а

St на

основе

(2.133),

(2.180), (2.181) в л-м приближ ении будут иметь следую ­

щ ий

вид:

в сл у ч ае

идеального

контакта

и)'} 1p=Pj =

м/./+1 |р=р/’

Gp/J ]р=Р/ ~ Gpf.l+l |р=Р/

(/ = Р» Y* ф)»

(2.196)

в сл у чае

неидеального

контакта

(ГС) .

_

(п)

I

(ГС) I

_

(ГС)

I

Up,l \p=pt — %>./+! 1Р=Р/»

°РР.1 Ф=Р/ — а РР.Ж |р=Р|'

(2.197)

a pv./ 1р=рг = 0,

cfpv.z+i |р=р; ~ 0,

Орф./ |р=р; = 0,

сгрф./_[_1 |Р= Р/

=

=

0.

А налогично

записы ваю тся

условия сопряж ения в

л-м

приближ е­

нии на

поверхности

раздела S ^ _ i,

граничащ ей с внеш ней бесконечной

средой,

которы е отвечаю т (2.183),

(2.184).

Зам етим , что уравнения

(2.192) — (2.197) с помощью рекуррентны х

соотнош ений

(2.188),

(2.189) могут

быть

записаны в

другой эк ви в а ­

В частности, условия (2.195) на поверхности

ж есткого неканониче­

ского вклю чения

преобразую тся к виду

п—1

и™ (р, у, ф) |р=1 =

— S 1Д-5* ”V ? i4 p . Y* Ф) •+

Лб‘ т)и1л (р. Y> ф)1р=1»

т = °

(2.198)

» £ i (р. y. ф> I p - i=

- s ' ( а г ' - ’и й

(р, т. ч>) - л у - ч * ? (р, т . » ) ) ,.„

гп=0

« а (р,

Y. ф) I»-. = - s '

А Г - ” >И£ | (р, у, V) | _ .

/72=0

р ек у р р ен тн о й последовательности

соответствую щ их

краевы х

задач

д л я за м к н у то й

м ногослойной

толстостенной

сферической

оболочки.

З ам еч ан и е . П риведенны е

в

таб л .

2 .7

конкретны е

вы раж ен и я д л я

ф у н кц и и

f (С) и отвечаю щ ие

им зн ачен и я

м алого п арам етра

е соответ­

ствую т кон тур ам м еридианного

сечения

рассм отренны х

в § 3

ортого­

нальн ы х

поверхностей

вращ ения. О твечаю щ ие

этим

ф ункциям

неко ­

торы е поверхности вращ ения показаны

на

рис.

2 .2,

где алф авитны й

п о р яд ок

соответствует рис. 2.1.

К а к

видно

из

сравн ен и я

рис.

2.1

и

рис.

2 .2 кл асс

поверхностей

вр ащ ен и я,

отвечаю щ их

одной

и

той

ж е

конф орм но

отображ аю щ ей

ф ун кц и и

(2 .17 4),

н есколько

ш ире

соответствую щ его

ему

класса

не­

к р у го в ы х цили н дрически х

поверхностей,

что

связан о

с количеством

осей

сим м етрии

у

рассм атриваем ы х

контуров.

§ 4. М н о го с в я зн ы е т е л а с н екруговы м и

ц и л и н д р и ч еск и м и п овер х н о стям и р а з д е л а

О тли чительн ой

чертой рассм атриваем ы х здесь пространственны х к р ае ­

вы х

зад ач

явл яется то, что каж ды й контур

поперечного сечения м но­

го связн ого

тел а

описы вается своей ф ункцией

и, кром е этого,

в

своей

системе координат. Эта особенность приводит к сущ ественны м

у сл ож ­

нениям при реш ении конкретны х краевы х задач . Э то одна из основны х

причин

того,

что

не только

в трехм ерной

постановке,

но

и в

класси ­

ческой

теории

тонких

оболочек

с

криволинейны м и

отверстиям и

и

вклю чениям и

количество реш енны х

конкретны х задач

(с

доведением

до числовы х

результатов)

незначительно

1301. О днако,

рассм атривае­

мый

здесь

кл асс

трехм ерны х

краевы х

задач

127,

73]

п редставляет

не

то л ько

теоретический,

н о .и

значительны й

прикладной

интерес.

Т ак , на

основе решений задач такого класса

можно

изучить взаим ное

вл и ян и е различн ого рода неоднородностей

на

исследуемые ф изико-м е­

хан и чески е

поля,

вли ян и е

мелкомасш табны х

отклонений

поперечны х

сечений волокон от круговой формы на прочностные свойства волок ­

нисты х

ком позитны х м атериалов

и

др.

4 .1 .

П остановка

задачи .

Рассмотрим некоторое

пространственное

трехм ерное

деформируемое

тело,

занимаю щ ее m -связную

область

D

т

с общ ей

границей

S , которая представляет объединение

5

=

U

S A.

П р и этом каж д ая

из поверхностей

S k {{k =

1, 2,

..., т )

явл яется

в

об­

щ ем сл учае некруговой

цилиндрической,

причем их

оси гк

п ар алл ел ь ­

ны м еж ду собой. О бозначим

через

Г* контур

поперечного

(перпенди­

к у л я р н о го

осям

zk) сечения

поверхности

S k и

предполож им ,

что она

описы ваю тся

ф ункцией

<МЕа) =

г№ К* +

е*/*(Ь01

(2.199)

(хк -f- iy k = г

/ 9*,

=

pi(etVk,

k

=

1,

2,

m),

конформно

отображ аю щ ей

плоскость

с

круговы м отверстием

единич­

ного радиуса

на внеш ность контура

Г А. П редполагается,

что ан али ти ­

ческая ф ункция

/ А (£а) допускает представление вида (2.120).