книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

§

4. Н еко то р ы е эл ем ен ты конструкций

с

неканоническим и п оверхностям и р а зд е л а

случаи получаю тся различны е оболочки

и пластины.

У равнение срединной поверхности

волнообразного сферического

купола в параметрической

форме

имеет

вид

х =

р sin a cos р,

у — р sin ос sin р,

(1.29)

z — р cos а

(р =

R 0 +

р, sin а cos ш|3),

где R 0 — радиус срединной

поверхности соответствующего

гладкого

сферического купола;

р. — амплитуда волн; ш — частота

волн; а и

Р — криволинейные

координаты,

которые в общем случае не явля ­

ю тся ортогональными

(они

ортогональны только в наиболее вы пук­

Если радиус р принять в форме

р = Ro + I1 cos “ Р»

(1.30)

сферического

купола потеря устойчивости

наблю далась

при

н агр у зке

около

600 кг/м 2, а при

испы таниях волнообразного

сф ерического к у ­

пола

с частотой волн to = 9 и ам плитудой

р, =

R 0/50

потеря

устойчи­

вости

происходила при

н агр у зк ах

около

1800

кг/м 2, т.

е. в

три р аза

больш е.

Радиусы внеш ней р,

и внутренней р2 волн ообразны х

поверхностей

толстостенной

цилиндрической оболочки задаю тся

в виде

_i_

j_

р х =

R 0 (1 - f

a 2 -f- 2a cos top)2 ,

р2 = r 0 (1 + а 2 +

2 а cos а>Р)2 , (1.31)

где R 0 и

r0 — соответственно

средние радиусы внеш ней и внутренней

круговы х

косинусоид;

р,

Р,

z — цилиндрические

координаты .

П ри

(рх — р2)

2к получаем тонкую

(толщ ины 2h) волнообразную

цилиндрическую оболочку,

а

при

г0 -*• 0 — волнообразны й стерж ень.

4 .2 .

Сильфоны

[131].

Сильфоны

представляю т собой осесиммет­

ричную

трубчатую

гофрированную оболочку. Д л я увеличения

проч­

ности, а такж е защ иты

от агрессивны х сред прим еняю т м ногослойны е

сильф оны . М еталлические

сильфоны находят ш ирокое применение в

промы ш ленности

при

реш ении

разнообразны х

технических

задач .

борах

различного

назначения,

вы полняю т ф ункции

компенсаторов

тепловы х расш ирений трубопроводов, разделителей сред и др .

Сильфоны

являю тся

весьма ответственными

элементами приборов;

срок служ бы

и надеж ность сильфонов, к ак

правило, определяю т срок

служ бы

и надеж ность

работы приборов и

изделий

в целом.

Этим

объясняется

то

внимание,

которое

уделяется

вопросам

расчета и проектирования сильфонов.

Б л агод аря особенностям геомет­

рической формы, сильфоны способны

соверш ать значительны е переме­

щ ения

под действием давления, осевой или поперечной силы и изгибаю ­

щ его

момента. Эти

свойства обеспечиваю т сильфонам

ш ирокое рас­

пространение

в различны х

областях

современной техники .

Зам етим, что измерительный сильфон долж ен работать при уп руги х

деф орм ациях,

поэтому

напряж ения, возникаю щ ие в сильф оне под н а ­

грузкой,

не долж ны превы ш ать

предела упругости

м атери ала. Следо­

вательно, основной целью расчета измерительного

сильф она

явл яется

определение его ж есткости

и рабочих напряж ений .

влиян и е

на величину напряж ений .

Н априм ер,

эксперим ентальны е

данны е показываю т,

что у сильфонов,

изготовленных

гидравлическим

способом,

имеется

небольш ое утонение во впадине.

Тем

не менее

именно впадина (или верш ина) гофра являю тся, к ак

правило,

наиболее

напряженными местами.

4.3. Гофрированные

волноводы

Г411. Ввод

X

вывод)

света

в волновод с помощью дифрак­

ционной реш етки позволяет решить многие прак­

ц

уУ

тически

важ ны е

задачи

интегральной

оптики.

О дной

из основных ее задач является

исследо­

и

вание

влияния

глубины

и частоты

гофрировки

поверхности

волновода на изменение структуры

-Н

и

/ / г

поля. При этом предполагается, что глубина гоф­

-D

рировки

много

меньше

характерного

размера,

777777777777777777777777

Рис. 1.14

н а котором

локализовано поле в направлении,

нию

в области волновода, стремящ емуся к нулю при х -*■ ± о о ) с мо­

дам и

непрерывного

спектра,

которая осущ ествляется

благодаря на­

личию гофрировки.

Схематическое изображение волноводной структу­

ры

с

гофрированной

поверхностью показано

на рис.

1.14,

где х =

=

D ,

и х = —D — отраж аю щ ие стенки, х =

—d — ниж няя граница

волноводного слоя,

и — глубина

гофрировки.

Гофрировка верхней границы

волновода

описывается периодиче­

ской

по z функцией

ф (х, г),

которая представляется

рядом

Фурье

ф (х , г ) =

£

Vm (х) ехр

г] >

(1-32)

т ——оо

\

/

где а — период гофрировки.

4.4. Ш естерни. Н азначение и ш ирокое применение шестерен и зуб ­

координатах

г, 0,

z

(отнесенных к некоторой

характерной

длине г0)

уравнение поверхности шестерни

S с наклонным гофром может быть

представлено

в виде

г =

гг + е / (0, z)

( r t =

const > 0 ) ,

(1.33)

где

f (0, z) — аналитическая

ф ункция,

описываю щая форму гофра;

-е — малый параметр (| е | <£ 1), характеризую щ ий вместе с

функцией

/ (0, z) глубину (амплитуду)

гофрировки. Т ак,

например, если указан ­

ную функцию выбрать в виде

f (0, z) =

sin <xq2 ± - p - sin

3йог =F - p -

sin 5аег ±

(1*34)

т о

верхний

зн ак

в

(1.34)

соответствует трапециевидному

профилю

«зуба», а нижний — треугольном у.

З д е сь

«ел =

cot0 — (n2 ~ z .

(1.35)

П оскол ьк у ф ункциональны й

ряд (1.34)

я в ­

л яется

достаточно

быстро

сходящ им ся,

то

с

удовлетворительной

д л я инж енерной

п ракти ­

ки точностью

при

реш ении

конкретны х

кр ае ­

вых задач м ож но

ограничиться

нескольким и

его

первыми

членам и .

В

частности,

рис.

1.15

построен на основании числовы х значений, по­

лученны х из (1.34) при

сохранении

приведен­

ных трех членов ряда и в соответствии с

(1.33)

для

парам етров

гх

=

1,4,

е

=

0,15,

(ох =

8»

со2 =

2.

П ри

этом

в

качестве

х арактер н ой

длины г0 выбран внутренний радиус ш естерни.

Отметим,

что

напряж енное

состояние

ш е­

стерни

сущ ественно

зависит

от

парам етров

толщ ины гу, амплитуды

в и частот % ,

со2. Т а к ,

наприм ер, максим альны е

н ап р яж ен и я,

вы ­

званны е

в ш естерне

(to2 =

0)

от тепловой

по­

садки на ж есткий

вал с синусоидальны м

утол ­

щением

вдоль оси, увеличиваю тся

примерно в

г

два

раза при

уменьш ении

парам етра толщ и ­

ны

Гу в

пределах

1,7 ^

г, ^

1,2;

с

увеличе­

Рис. 1.15

нием частоты

волнообразной

гоф рировки,

что

соответствует первому члену ряд а

(1.34),

в

интервале

6 ^

^

22

(соа =

0)

концентра­

ция

напряж ений

возрастает

более

чем в два

раза,

причем быстрее при сравнительно м алы х

толщ инах [113].

4.5.

Элементы

трехслойных

конструкций с

гофрированным

заполнителем .

В справочной

литературе

по

расчету

трехслойны х

конст­

рукций

указы ваю тся

различны е типы

приме­

няемых

заполнителей.

В частности,

отмечает­

ся,

что в качестве

заполнителей трехслойны х

конструкций использую тся пенопласты , обла­

даю щ ие высокими пределом

прочности и ж ест­

Рис. 1.16

костью . Н аряду

с пенопластами прим еняю тся

заполнители, представляю щ ие собой простран ­

ственные конструкции из лент, полос,

листов

специальной формы. О ни присоединяю тся к несущим слоям

не по всей

поверхности, а на некоторых участках.

Зам етим, что после охлаж дения

в процессе изготовления

кон струк ­

ций

возм ож но отслоение

заполнителя

от

несущ их

слоев

всл ед стви е

технологических несоверш енств, вы званны х

разностью коэф ф ициен ­

тов

линейного расш ирения

отдельны х

слоев

конструкции .

К онструкции

дискретных

и

комбинированных

заполнителей

бы ва­

Ъ

настоящ ей гл аве излагаю тся постановка и метод реш ения

трехм ер ­

ных краевы х задач м еханики кусочно-однородных тел с ортогональны ­

ми

неканоническим и поверхностями раздела. П ри этом

рассм отрим

л и ш ь поверхности, близкие к круговы м

цилиндрическим

и

сфериче­

ски м , что продиктовано ограниченными

возм ож ностям и развиваем ого

приближ енного аналитического метода.

С огласно установивш ейся терминологии [27— 29] под

ортогональ­

ординатны х поверхностей используемы х криволинейны х

ортогональ­

ных координат (некруговы х цилиндрических координат,

или коорди ­

нат тел вращ ен и я). С ледовательно, в каж дой точке такой

поверхности

вы полняю тся известны е условия ортогональности меж ду

ортом нор ­

.денной

терм инологии.

И злагаем ы й здесь первый

вариант метода возмущ ения

формы

гр а ­

д и н ы в

идейном отношении

берет начало из работы А. Н .

Г узя

[21].

трехм ерны х краевы х

задач теории

упругости для неканонических

об­

ластей впервые показана в работах

[23— 25, 63, 64, 66, 77]. Е го р азви ­

тие применительно к

реш ению пространственных краевы х задач

д л я

ных неканонических областей,

получен в работах [72, 74].

Х арактерной

особенностью

первого варианта метода возм ущ ения

формы границы

является то,

что в каждом приближ ении уравнения

ческой поверхности раздела учитывается только через

краевы е

усло­

ви я . Эта особенность позволила распространить его на

ш ирокие

кл ас ­

сы краевы х задач механики сплош ных сред [29].

В работах [39, 40] для реш ения пространственны х статических

к р а ­

ных

задач для эллипсоидальны х областей, предложен в работе [123].

В

монографии [140] для реш ения задач Альманзи — М ичелла и

о

использованием результатов работ [21, 74].

§

1. Н еко то р ы е осн овн ы е уравнения и соотнош ения

тр ех м ер н о й м атем ати ч еской теори и упругости

тела в

прям оугольны х,

круговы х цилиндрических и сферических ко­

орди натах .

Они использую тся как в настоящ ей, так и

последующих

гл ав ах

при

изложении

соответствующих конкретных

результатов.

нения

и соотнош ения.

Обозначим

через а ( (t ~ I,

2,

3)

некоторые

криволинейны е

координаты,

а через

ес — единичные

векторы (орты),

касательны е

к

координатным

линиям а,-,

которые направлены

в сто­

рону возрастания

этих переменных. Если a t являю тся криволинейны­

ми ортогональны ми

координатными, то орты е,- удовлетворяют соотно­

ш ениям

е* • в/ — 0 (/¥ = /) .

* ®£ =

(2 1 )

П усть

щ

связаны

с

прямоугольными

(декартовыми)

координатами

х, у, г взаимно однозначными зависимостями

X =

ф х ( а х, а 2, а а),

у =

ф 2 (a v а 2, а 3),

г = ф3 ( a lt

а 2, а 3),

(2.2)

которые могут

быть

замены

векторным

уравнением

R

=

R («х.

ос3).

(2.3)

Координатны м

линиям

соответствуют

значения a 2 =

const

и а 3 =

= const (аналогично

можно

сказать

и

о

координатных

линиях

а 2 и

а 3). Ч ерез

каж дую

точку трехмерного

пространства

будет

проходить

то л ько

по

одной

координатной поверхности a t- = const

(i =

1,

2, 3)

(ввиду

взаимной однозначности связи менаду х, у, z и а ъ

а 2, а 3).

У равнениями

R =

R (a?, а 2, а 3),

R =

R (a v

а°,

а 3),

R = R (а х, а 2, аз)

(2.4)

описываю тся

координатные

поверхности,

пересекающиеся

в

точке

Л40 (a?,

а°,

a “),

а

уравнениями

R =

R (a?,

а®, а 3),

R =

R (а 1( а°,

аз),

R = R (а?,

а 2, а°)

(2.5)

вивалентна

одному векторному уравнению:

p y 2u -f- (А, + р) grad (div u) + К

= 0.

(2.14)

Зд есь X и

р — упругие постоянные Ламе, V 2

— оператор

Л апласа,

О ператор

Гамильтона

(его

рассматриваю т

как

условный вектор)

имеет

вид

Г7 _

_fl___ —и

Л--- 12___ __

4-

да.

(2.16)

v

Н 1

да,!

^

Я2

даг

^

Я ,

П роекции

гармонического

вектора Ф (Ф х, Ф 2> Ф 3)

на

криволиней­

ные

ортогональны е

координаты а<

(в

общем

случае

не

являющиеся

гармоническими)

вы раж аю тся

через

гармонические

функции Ф*,

Фу.

по формуле

ф < = 4 - ( ф ' ^ - + ф . - | - + ф ^ ) -

<2 1 7 >

Н а

поверхности

S ,

ограничивающ ий

упругое

изотропное

тело,

м ож ет быть задан

вектор

перемещений

U

(£/х, U 2, U 3) или

вектор

по­

верхностны х

сил

Fn (Fni,

F n2, F nz).

Граничными

условиями в вектор­

ной

форме

соответственно

будут

или

u |s = U,

(2.18)

2G

"12 . 2V n div u +

(п • grad) u

+

- i - n

X ro t u j^ =

F„,

(2.19)

где n — норм аль

к

S .

В предполож ении,

что

S

является

координатной

поверхностью

<Xj =

const

(т. е.

е„

=

ех),

условие (2.19)

преобразуется

к

скалярной

форме

2 G [

V

л 1

1

dut

I

ы2

д (In Я,)

4_

и3

д (In / /,) '

1 — 2v

в +

Иг

да,

Иj

даг

г

Н3

да3

S

и»

<1

)

ди2

- 4 - '

диг

Щ

д(1пЯ,)

и2

д (In Я,) ]

р

я ,

да.

1 я 2

da.t

я г

да.

Иг

Js “

JГ 12»

(2.20)

1

ди3

j _ _ L

дих

«1

д (In Я,)

«3

д (In Яя) 1

_

j

О

да.

да3

да3

да,

j s

1 13*

Иг

1 я 9

Я3

Иг

У равнениям

(2.20)

соответствую т

следующие

граничные

условия

в

напряж ениях:

Пц | s —

П|2 |s — ^ia*

a ta I s — Г хз.

(2-21)

1.2.

У равнения

состояния.

Обобщенный закон

Г ука

для

криво­

линейно о р то тр о п н ого

т е л а .

Рассмотрим

тр

хмерное

упругое

тело,

(ортогональны е) плоскости

упругой

симметрии.

Е сли

направить

оси

координат норм ально

к плоскостям

упругой

симметрии

(по

главны м

н ап равлениям ),

то уравн ен и я

обобщ енного

закона

Г ука

такого

орто-

тропного тела прим ут вид

[49]

е1Х ~ ^ХХ^ХХ +

а 12СТ22 4~

(2.22)

е22 — а 2\®11 4“ а 22°22 4" #23^33*

б33 = а я10 П +

^32^22 4~ Я33СТц3,

^23 =

а 44°'23»

е13 ~

^55^X3*

^12 ~

^Сб^Хг*

и ли другую эквивалентную форму

°11 =

СХХбХХ"Ь с12е22 4“ С1зе83»

П22 =

С21^11 4“ С22^22 4“ ^23^33*

(2.23)

*^33 =

^31^X1 4“ ^32^22 4“ С33б33,

СТ23 =

С44б23>

СТХЗ =

С55бХЗ>

°12 =

СббеХ2-

У п ру ги е постоянны е с,-/ вы раж аю тся

через

а {,- по ф ормулам

Сц — -д - (022^33---Огз)>

=

д- (Й12О33

й23а Хз)*

С13 =

“д“ (^12^23

#22^X3)»

^22 =

-д- (а 1Ха ЗЗ

Я13)*

1

1

(2-24)

С2з =

----- Д~ (^1X^23

а Х2а Хз)*

С33 = “д~ (а Х1а 22

а 12)»

С44 “

1

_

1

>

„

1

*

~7Г ~» С55------Г -

С0О —

л__

где

А

=

flxx

«X2

а

(2 .25)

ЯХ2

°-22

а<

<3

to

а \

и

Ввиду симметрии

упругих

СО

со

(а{,- = a iiy с,-,- =

су1),

что-

постоянных

вы текает из

условия

сущ ествования

упругого

потенциала, уравнения

обобщ енного

закона

Гука

(2.22), (2.23) для ортотропного тела

содер­

ж ат девять

независимых

упругих

постоянных.

А налогично

(2.24)

вы раж аю тся

сц,- через с,/.

Н аряд у с

упругими постоянными а (,- и сц

использую тся

техниче­

ские постоянные: модули Ю нга Е , (модули упругости), модули сдвига G,-/

и коэффициенты П уассона

vij,

которые

связаны

с я,-,- соотнош ениями

Е ,

=

1

Е

-

1

F

—

1

ап

’

а-2а

’

JZ3

а33

Пп

—

1

п л

-

1

п

_

1

(2 .26)

и 23 —

’

и 13

Ом

’

U12 —

«68

’

>32 = ~

"

а23

а13

V21 ~

о

Озз ’

«33 ’

flU

fl22