книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

Отметим,

что производная по нормали п допускает

представление

д

= c o s P - § r

+ s i n p - J -

д

(4.20>

дп

дд

где

р =

р (р,

у) — угол

меж ду

радиальным

направлением

и нор­

м алью п к контуру Г

поперечного сечения

координатной некруговой

цилиндрической поверхности

5

(р = const), который определяется

через функцию

(4.12) по формуле

(2.137), причем, например, в преде­

лах N -го слоя,

переменная р изменяется от p ^ -i до рц и, следователь­

но,

угол

Р такж е изменяется

от Рлг_i до рлг-

У читывая соотношения (2.138), (4.16), (4.19), (4.20), на основе (4.5) —

(4.8)

получаем

следующие краевы е условия на граничных поверхнос­

тях

S k (k =

0,

N;

S 0 ~

р =

Ро =

1;

S n ~

р

= рдг)

в

произвольном

(п ^

1) приближении:

когда

на

5* задано

распределение температуры

П—1

I t '

(р. V. В

|р-р,

=

(р. V. В U

, -

£

т!" '

<р. У’ В 1р-р„;

т=0

(4.21)

когда

на

Sk задан

подвод

теплоты

h

т Г <р, ъ

в

1р-р« =

г»?!"1 (р,

т. В 1р-р* -

-

V

[л .? " ””

+

л Г " ” - у - £ - ]

г Г ( р,

v>B Ip-p( ;

(4-22>

( ж

+

т ‘) г ! "’ <»• У' Э

=

- Ц И " - " ’ - W

+

+ Л Г т >

T

W + “ '

^

(О- V- в |р-р,

(» > 1) (4-23)

- 3 5 - г Р ( р . v. I) 1р-р, =

-------%

Т

Г Г (Р’

T - B U * . (4-24)

При этом в краевы х

условиях на поверхности S 0

следует положить

/ = 1, k =

0,

а

на S N соответственно / =

k =

N . Дифференциальные

операторы

Lln\

Л ^ ,

определяю тся

по формулам (2.148), (2.161).

Если ф ункция f (С), с помощью которой описываются

координатные

поверхности

S„,

S n, вы брана в виде

(2.119), то

5 0 является

внеш ней поверхностью

многослойного цилиндра, a

S N — внутренней

и,

следовательн о,

Рл/ < Ро —

1-

В случае

когда ф ун кц и я f (£) вы бра­

н а

в виде (2.120),

поверхность

S 0 явл яется

внутренней, а 5д/ — внеш ­

ней, что

отвечает

значению

pw >* Ро =

1- С оответствую щ ие

краевы е

у сл о ви я

в

нулевом

приближ ении

(п — 0),

дополняю щ ие

(4.21)

—

(4 .24 ) ,

которы е

записаны

для

n ^

I, отвечаю т круговом у

цилиндру

и

имею т

вид, аналогичны й

(4.5) — (4.8).

К раевы е условия

(4.21)

—

(4.24) д л я

избеж ан и я

громоздкости

записаны

в предполож ении,

что

н а

обеих

граничны х

поверхностях

они

однотипны . О днако

на S 0 и

ной

ком бинации уравнений

типа (4.5) — (4.8). Т ак , наприм ер, если

на

S 0 зад ан ы условия (4.13),

а поверхность

Syv теп лоизолирована, то

в п роизвольном приближ ении

(при п ^

1) краевы е условия

на S„ бу ­

д у т

им еть вид (4.21) при / =

1, к = 0,

а на

S n — (4.24) при

I = k =

Е сли рассм атриваем ы й

цилиндр имеет конечные разм еры ,

то кр ае ­

вы е услови я на

торц ах

S *

( | =

±

h)

в произвольном приближ ении

(л

1), согласованны е с (4.5) — (4.8),

имеют

форму:

при

известной

на

5 *

температуре

7Т> (р,

у, 1) |g=±/t

=

№ (р, у,

|)

1б_±Л;

(4.25)

при заданном

на 5 *

подводе теплоты

К

T f (Р,

у,

I) ii= ±ft =

r t. q f

(р,

у, |) ||=±л;

(4.26)

при

конвекции

- § г

T f

(Р. у,

I)

ls- м

=

-

m j t >

(р,

V, Е) |е-±/.-.

(4.27)

для

идеально теплоизолированных торцов

■ j r

T V (р. V. а

| | - « =

0.

(4.28)

Здесь

t± \

i?*'

(л. >

1, /г =

1, 2,

..., N) — коэффициенты

разлож ений

известных на 5 *

температуры

t± и теплового потока <7± в р я д ы п о е .

Заметим, что граничные условия в

нулевом

приближ ении (п = 0)

по

форме

аналогичны (4.25), (4.26),

(4.28),

а

при конвекции

имеем

■

j f l f t p -

V. а

|Е - «

------- ш , (П в -

Г .)

(4.29)

( Г * — температура

окружаю щ ей среды).

Условия теплового контакта на поверхности раздела 5» на основе

(2.138), (4.10), (4.11), (4.16), (4.19), (4.20) в произвольном

приближ ении

примут следующий вид:

при

идеальном тепловом контакте

S

t(h—m)

m=0

(n — m)1 l^H -1(P> V» £)~~ Т Т ' (p, y, |) ] p=sp* =

0,

(4.30)

J ,

[ # - * - % ■ +

л Г ” ' T - k ] R l+ ' r ® «>• * 9 -

- X

, 7 l “ ’ (p, v .l)k _ p ,

= 0;

при неидеальном тепловом контакте

I

[ л г * - £ • + л Г " > Г р ( р , 7 . 1) 1р-р, =

т=0

=

т , S

[71?, (р, у. В -

7 Г (р, V, | ) Ь _ .

(4' 31>

т —О

торой

граничные

поверхности

S„, S n

и

поверхности раздела St (I =

=

1, 2,

...,

N —

1)

являю тся

замкнутыми

поверхностями

вращения,

близкими к сферическим. Д опустим,

что

контуры

Г 0, Гд/, Г| мериди­

анных сечений

5 0, S n, S t описываются

на

основе конформно отобра­

жающ ей

функции

(4.12)

уравнениями

2

— Г0

Рв й) (Q |p=consl,

R

=

Го

1ш (0 (С) |р—const,

(4.32)

где

R — расстояние

от оси

вращ ения.

При

этом, если функцию

f (£), входящ ую в ю (£) по формуле (4.32),

вы брать

в виде (2.119), то поверхностям

S 0, 5 й,

..., Sn отвечают зна­

чения

р

=

р0

=

1,

pi <

1.........Qn < .

1.

Если ж е

/

(£) представима в

форме

(2.120), то

поверхностям

5 0, S lr

.... Sn соответствуют значения

Р

=

Ро =

1» Pi >

1,

....

РN >

1.

При таком описании поверхностей раздела и граничных поверх­

ностей

рассматриваемой толстостенной многослойной оболочки вра­

щ ения

вы кладки — формально

аналогичны

изложенным выше,

при­

чем

многие аналитические вы раж ения

и уравнения

могут быть полу­

чены из

приведенных в п. 2.1

гл. 4, если формально заменить г на а ,

а

|

на

ср

и считать переменные

г,

0,

а

сферическими координатами,

а

р,

у,

<р — координатами

тела вращ ения.

Предположим, чго требуется исследовать температурное поле рас­

сматриваемой толстостенной многослойной оболочки вращения

при

конкретных

краевы х условиях

типа

(4.5) — (4.8)

на граничных

по­

верхностях

S 0 и S N. Если

искать температуру тела

Tt (р, у, <p, е) (I =

=

1 ,2 ,

.... N) в виде рядов

(4.16),

то компоненты

Т|п) (р,

у, tp) опре­

деляю тся

по формуле

т ? ’ (р. т. Ф) =

2

-

£

2

г

7

1 (р,

у,

ф),

(4.33)

т=0

'

где ф ункция

Т Г

(р, у, ф)

удовлетворяет

гарм оническом у

уравнению

теплопроводности

+

1

'д

/ .

д

ра sin у

ду ^Sin ^

ду

1

д*

(4.34)

+

р2 sin2 у

д(р -

т Г ( р , у» ф) =

о.

К раевы е условия

на

S 0, S n

и условия

теплового

кон так та

на S t (I =

= 1, 2, ...,

N —

1) в произвольном

приближ ении будут им еть соответ­

ственно вид (4.21) — (4.24) и (4.30), (4.31), если в

них ф орм ально з а ­

менить переменную

£ на

ф и считать

р, у, ф координатам и тел а в р а ­

раздела сведены к

рекуррентной

последовательности соответствую ­

щ их

краевы х задач для многослойных тел с круговы м и цилиндрически ­

ми и

сферическими

поверхностями

раздела и граничны ми поверхнос­

пературное поле Т[ в криволинейных ортогональны х координатах р,

у,

а 3<, можно найти на основе уравнения теплопроводности (4.3), если

в

дами

по е с учетом соотношений (4

.14). П ри таком подходе на каж дом

этапе итерационного процесса дополнительные

слож ности

возникаю т

при

определении частных решений

уравнений

П уассон а

с правы ми

ности для многослойных тел с неортогональными

поверхностям и

р аз­

дела. Эгот класс поверхностей, в частности, содерж ит некруговы е

ци ­

линдрические поверхности, а

такж е близкие к

сферическим

поверх­

ности вращ ения. Ф ормальная

аналогия, о которой отмечено в

п.

2.2,

временно для этих двух

классов геометрических объектов.

3.1.

Поверхности

раздела,, близкие к круговым цилиндрическим

торой поверхности раздела S lt

а

такж е внутренняя S 0 и

внеш няя

S n

граничные поверхности описываются уравнениями

Г = rk 4- 6kfk (0, а 3)

(Г* =

const > 1 , к =

0, 1, 2, . . .

, N ). (4.35)

А налитическая функция

fk (0,

сс3) и малый

параметр

е* 0 »* I «

О

описывают форму поверхностей

S k и их отклонение от

поверхности

г = Гк.

отнесенными

к

внутреннему радиусу

г*

соответствующего

цилиндра

или

сферы (в частности, в уравнении (4.35) имеем

г0 =

1, rk >■ 1

при

k >

1).

П редположим,

что

рассматриваю тся

стационарные

задачи

теории

теплопроводности

и, следовательно, температура /-го изотропного

слоя

Т[ (г,

9,

а 3)

удовлетворяет

уравнению

Л апласа

J

____L l r H

И ± \ +

- 1 __ ~д 1 н

d T l)

,

+

1

я з

д*т‘

-

(4.36)

гН3

дг \ ГП*

дт

J +

Г*Н3

30 \ п 9

ае

}

где

# 3 =

1,

ос3 =

z,

если

г, 0,

z — цилиндрические

координаты, и

Я 3 =

г sin 0,

а 3 = а , если г, 0, а — сферические

координаты.

Д л я

определения

температурного

поля

рассматриваемого

много­

слойного тела необходимо, чтобы температура Т ( в каждом слое

(/ =

=

1 ,2 ,

...,

N)

удовлетворяла

кроме

уравнения

теплопроводности

(4.36)

краевым

условиям типа (4.5) — (4.8)

на граничных

поверхнос­

т я х

5 0, S n и условиям теплового контакта

(4.10) или (4.11)

на поверх­

н остях

раздела

S,.

Аналитическое решение поставленной

задачи

будем

искать

с по­

ного в гл. 3. Следовательно, представим температуру Tt (г, 0,

а 3) в ви­

д е рядов

Г, (г, 0, а 3) = £ е 'Т Г (г, 0, а ,) (/ = 1 , 2 , . . . , N).

(4.37)

а=0

е ==

шах

|е * |< ^ 1 ,

eft =

<э*е

(— 1 ^ %

^ 1 ) .

(4.38)

ft=0.1....N

Предполагается, что поверхности S k являю тся достаточно гладкими,

а

краевые условия (4.5) — (4.8) допускаю т разложение

искомой тем­

пературы и ее производных в ряды Тейлора в окрестности г =

rk, т. е.

т ,

<,. е. a s) I,t =

I у

£ < ! ±

^ L

(, ,

е,

и ,

С4.39,

п=0

т —0

оо

П

°

п—0

гп—0

т1

х

3m+1r 7,i"^m,( r ,0 l O a)|r-rft,

( / =

1 ,2 ,

. . . , Я ;

k =

0, 1..........N).

= т , S « " - “ ’ i r w - r r v - , -

т=0

1

Дифференциальными

операторами

L/n), D f? (i =

1,

2, 3),

вхо­

дящ ими

в условия

(4.43) — (4.47),

когда нормаль п{ к поверхности S t

направлена в сторону увеличения функции

уровня

Ф „ будут

(п)

д4

<*tfl „

\

Т(n—S)

LI

rtl

дгп

*

Ys—1./)

*

rl

rl

ov s=0

(Y-i — Y—? =

0),

(4.48).

1

v

(

i

\

т <n—s)

- m' - ^

- - 5 S r £ , l v . - u + —

l ^ u j L

, .

Ф ункции y/,/ являю тся коэффициентами

разложений

величины

А* —

= гД/ и на основе (4.42) имеют следующий вид:

для

слоистых

оболочек, близких к

круговым

цилиндрическим,..

Vi v* t

i\*

k\(2k— 1)4

л(Л—п)Ъп

(4.50)

=

p » ii

А‘

fi"

4 .1 .

О ртогон альн ы е поверхности

раздела.

Т е м п е р а т у р н о е

п о л е

з а д а н о в

в и д е Т/ = T t (г, 0,

а 3).

П редполож им , что

поверхности р а зд ел а

S , м ногослойного

тела

описы ваю тся на основе

с координатны м и поверхностям и р = р/, а ф ункция

Ть

описы ваю щ ая

тем п ературн ое

поле

/-го

слоя

составного

тел а, известна из

реш ения

соответствую щ ей

краевой

задачи

теории

теплопроводности

в форме

T t =

T t (г, 0,

а 3).

П ри

а 3 =

z

ф ункция

T t (г, 0,

г)

х арактери зует

тем п ер ату р н о е

поле

l-то

слоя

некругового составного

цилиндра, а

при

а 3 = а ф ун кция

T t =

T t (г, 0, а ) описы вает

тем пературу /-го

ние

стац и он арн ого тем пературного поля

на

напряж енно-деф орм иро­

ван н о е состоян и е

м ногослойного

тела

мож ет быть учтено

в уравне­

н и я х равн овеси я

в векторной форме (2.14) как действие объемных сил

К , им ею щ их

потенциал. Следовательно,

в этом случае вектор переме­

щ ен и й

/-го

слоя

U;

долж ен

удовлетворять

уравнению

равновесия

[38]

P/V2U/ +

(А/ +

ц/) g rad div u, — (ЗА,/ - f

2p/) a t g rad T t =

0,

(4.56)

где

а / — коэф фициент линейного

теплового

расш ирения

/-го

слоя;

А/,

Ц/ — параметры

Л ам е,

которые

вы раж аю тся

через

коэффициент

П уассо н а v; и м одуль упругости £ , (модуль Ю нга) по

формулам

^

=

( l+ v ,)

(1 — 2v,)

’

^

=

2(1 +

V|)

•

(4 -57)

П ри этом вектор

перемещ ений

U/ состоит из двух

частей

и,

= и? - f и/*

( / =

1

, 2 , . . . ,

N ),

(4.58)

где

и/

соответствует общ ему

реш ению

уравнений

равновесия

(4.56),

а и/ — его

частному реш ению , которое определяется

в виде

U /= g r a d V /.

(4.59)

Здесь с к а л я р н ая ф ункция

Vt (термоупругий потенциал) удовлетворя­

ет

уравнению

П уассона

<4 -60>

где

V2 — оператор

Л ап л аса .

У равнения

состояния изотропного l-то слоя,

определяю щ ие

связь

меж ду

напряж ениям и о щ , деформациями

etf,i

и

тем пературой Tt,

имею т

вид

а ш

=

2|дiei/,1 +

6£/- [ktekkj — (ЗА/ +

2,U/) а/71/]

=

+

(4 б 1 >