Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 327 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

говоря,

н ельзя

вы бирать

из числа элем ентов

e i,

в 2

, . . е п

(ибо в

общем

случае

ни один из

элементов

e i, е 2 , . . е п

м ож ет

не

при

н ад леж ать

L ).

О днако справедливо обратное утверж дение: если

эле

м ент ы

e i,

е 2,

. . е/,

сост авляю т базис к-м ерного

подпрост ранст ва

п -м ерного

линейного

прост ранст ва

R , то эт от

базис м ож но до

п о лн и т ь элем ен т а м и е^ + i,

. .

е п прост ранст ва R

т ак, чт о

сово

купност ь элем ент ов ei , .

е^,

e^ + i,

. е п будет сост авлят ь базис

всего прост ранст ва R .

Д окаж ем это утверж дение. Если к

п, то найдется элемент щ + 1

п ространства R такой, что элем енты e i,

в 2 , ... , е&,

1 линейно неза

висимы (в противном случае пространство R оказалось бы /^-мерным).

Д алее,

если к

+ 1 <

п,

то

найдется

элемент

&и + 2 п ространства R

такой,

что

элем енты

e i,

в 2 , ... ,

е^, e^ + i, &и + 2

линейно независимы

(в противном случае пространство R

оказалось бы

(к

+ 1 )-м ерны м ).

П родолж ая аналогичны е рассуж дения, мы докаж ем сф орм улирован

ное утверж дение.

В заклю чение докаж ем

важ ную

теорем у о разм ерности линейной

оболочки.

Т е о р е м а

2 .8 . Р азм ерност ь ли н ей н о й оболочки L (х, у,

... ,

эле

м ент ов х,

у,

... ,

z равна м а кси м а льн о м у ч и слу ли н ей н о н езависим ы х

элем ент ов в сист ем е элем ент ов х,

у, ... ,

В част ност и ,

если эле

м ент ы

х,

у,

... ,

z ли н ей н о

независим ы ,

то

разм ерност ь

ли н ей н о й

оболочки L (х, у,

. .. ,

z) равна ч и слу элем ент ов х, у,

... , z (а сами эт и

элем ент ы

образуют

базис ли н ей н о й оболочки

L (х, у, ... , z)).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д опустим,

что

среди элементов

х, у, ... , z

имеется

линейно

независим ы х

элементов

(обозначим

их

через

x i , Х2 , . .

х г), а

лю бы е (г

1 ) из элементов х, у, ... ,

линейно

зависим ы . Тогда

каж ды й

из

элементов

х, у, ... , z представляет

со

бой некоторую линейную

комбинацию

элементов

x i, Х2 , . .. ,

х г

16) ,

и поскольку

по

определению

каж ды й

элемент

линейной

оболоч

ки L (х, у, ... , z)

представляет собой некоторую линейную ком бина

цию элементов х, у,

... , z,

то

каж ды й

элемент указанной

линейной

оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию од

них только элементов		x i, Х2	, ... ,	х г . Но это	и означает, что	система
линейно	независим ы х	элементов		x i, Х2 , ... ,	х г образует базис линей
ной оболочки L (х, у,		... , z)	и что разм ерность L (х, у, ... , z)			р авн а г.
Т еорема доказана.
2 . Н о в о е о п р е д е л е н и е			р а н г а м а т р и ц ы . В §3 гл. 1 мы			опреде
16)	Это устанавливается с помощью тех же самых рассуждений, которые были
проведены при доказательстве теоремы 2.5.


62		ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
лили	ранг произвольной м атрицы А как порядок ее		базисного м и н о
ра., т. е. как		число г, удовлетворяю щ ее требованию	сущ ествования у
м атрицы А		отличного от нуля м инора порядка г и отсутствия у этой
м атрицы отличны х от нуля миноров порядка, больш его г.
В	этом пункте мы убедимся, что ранг произвольной			м ат рицы А
равен м а кси м а льн о м у ч и слу ли н ей н о н езависим ы х ст рок				(и ли ст олб

цов) эт ой м ат рицы .

О тсю да будет следовать новое определение ранга м атрицы как м ак

сим ального числа линейно независим ы х строк (или столбцов) этой

м атрицы 17) .

П роведем все	рассуж ден и я д л я строк (для столбцов они	ан алоги ч
ны) . Рассм отрим	в линейном пространстве А п (введенном в	примере 3

и. 1 § 1	) линейную оболочку базисны х	строк произвольной, содерж а
щ ей т	строк и п столбцов м атрицы А	и предполож им , что число ба

зисны х строк равно г. И з теорем ы 1.6 о базисном миноре вы текает, что лю бая строка м атрицы А явл яется элементом указанной линейной обо лочки, а из линейной независим ости г базисны х строк и из теорем ы 2 . 8

вы текает, что разм ерность указанной линейной оболочки равн а г. С та

ло бы ть, лю бы е (г	+	1 ) элементов		указанной линейной		оболочки (и,
в частности, лю бы е	(г	+	1 ) строк	м атрицы А )	линейно	зависим ы . А
это и означает, что	число		г представляет собой		м аксим альное число
линейно независим ы х строк.

3. С у м м а и п е р е с е ч е н и е п о д п р о с т р а н с т в . П усть L \ и L ^ — д в а произвольны х подпространства одного и того ж е линейного простран

ства R .
С овокупность	всех элементов		х п ространства Л, принадлеж ащ их
одновременно L \	и L 2 , образует подпространство п ространства R					18) ,
назы ваем ое пересечением подпространств L \				и Ь^.
С овокупность	всех элементов		п ространства		R вида у + z,	где
у — элемент подпространства 1 д,			a z — элемент		подпространства	L 2 ,
образует подпространство п ространства R				19) ,	назы ваем ое сум м ой
подпространств L \		и Ь^.
П р и м е р . П усть		R — линейное	пространство		всех свободных	век
торов (в трехмерном пространстве), L \ — подпространство всех						сво

17)В частности, отсюда будет следовать весьма нетривиальная теорема о том, что у любой матрицы максимальное число линейно независимых строк совпадает

смаксимальным числом линейно независимых столбцов.

18)Ибо элементы этой совокупности удовлетворяю т требованиям 1°) и 2°), сформулированным в начале и. 1.

19)См. предыдущую сноску.

3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

бодных векторов, п араллельн ы х плоскости О х у , L 2 — подпространство всех свободных векторов, п араллельн ы х плоскости O x z . Тогда суммой

подпространств L \		и L 2	будет яв л яться все пространство R							20) , а пе
ресечением подпространств				Ь \ и	L 2 будет яв л яться множ ество всех
свободных векторов, п араллельн ы х оси О х.
С праведливо следую щ ее утверж дение.
Т е о р е м а	2 .9 .	С ум м а		разм ерност ей			произвольны х			подпро
ст ранст в L \	и Z/2	конечномерного линейного					прост ранст ва R				равна
сум м е разм ерност и пересечения					эт и х	подпрост ранст в		и разм ерно
ст и сум м ы эт и х подпрост ранст в.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			О бозначим через L Q пересечение						Д	и	L 2 , а
через L — сумму L \		и L 2	. С читая L Q ^-м ерны м, выберем					в	нем		базис
				е ъ е 2, . . е к .							(2 .1 1 )
И спользуя утверж дение, доказанное в п. 1, дополним								базис			(2.11)
до базиса
			e i,	е*,	g i,	g/					(2 .1 2 )
в подпространстве Ь\ и до базиса
			e i,	е*,	fi,	fm					(2.13)

вподпространстве L 2 .

Достаточно доказать, что элем енты

g i, ...	, g/, е ь ... , е*, fb ... ,	£т	(2.14)
являю тся базисом суммы	L подпространств Ь \	и L 2	21) . Д л я этого, в

свою очередь, достаточно доказать, что элем енты (2.14) линейно неза висимы и что лю бой элемент х сумм ы L представляет собой некоторую

линейную комбинацию элементов (2.14).

С н ачала докаж ем , что элем енты (2.14) линейно независимы .

20) В самом деле, любой вектор х пространства R представляет собой линейную

комбинацию х = ш + /3j	+ 7 k базисных векторов i, j , к, параллельны х осям О х ,
О у и O z соответственно,	причем вектор ш	+	(3j	принадлеж ит L 1 , а вектор д к
принадлеж ит L 2.
21) Ибо при этом размерность L, равная		I +	к	+ т ,	в сумме с размерностью
Lo, равной /с, будет равна сумме размерностей к +				I и к	+ т подпространств Ь \
и L 2.

ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

П редполож им , что

некоторая

линейная

ком бинация

элементов

(2.14)

представляет

собой

нулевой

элемент,

т. е. справедливо

равен

ство

a i g l

• • •

a lgl

P le l

• • •

Рке к

+ 7l?L +

' ' '

7mfm

— 0

(2.15)

ИЛИ

a i g i

•••

a ig i

. ..

f3ke k

~ 7 i fi

- . ..

7m fm-

(2.16)

Т ак как

левая

часть

(2.16)

явл яется

элементом

L i,

п равая

часть

(2.16) явл яется элементом L 2

, то как левая, так и п р ав ая часть

(2.16) п ри н адлеж и т пересечению

L Q подпространств L \

и L 2 . О тсю да

следует, в частности, что п р ав ая часть (2.16) представляет собой неко торую линейную комбинацию элементов (2 .1 1 ), т. е. найдутся такие

числа Ai, ... , Хк , что
7i^i	• • • 7 т^т — A iei Н- . .. Т Хке к .	(2.17)

В силу линейной независимости базисны х элементов (2.13) равенство

(2.17)

возм ож но лиш ь

в случае, когда все коэф ф и ц и ен ты 7 1 , ... , дт ,

Ai,

... , Хк равны нулю . Но при этом из (2.15) мы получим, что

OL\g i

+ . ..

+ a ig i

. .. +

f3kek =

0 .

(2.18)

силу линейной

независим ости

базисны х

векторов

(2.12)

равен

ство

(2.18) возм ож но

лиш ь

случае,

когда

все

коэф ф ициенты

ад,

... , сц,

/?i, ... ,

/Зк равны нулю .

Тем

самы м

мы установили, что

равенство

(2.15) возм ож но лиш ь

случае, когда все

коэф ф ициенты

ад,

... , сц,

7 i, ... , 7

т равны нулю,

это и доказы вает ли

нейную независимость элементов

(2.14).

О стается доказать, что лю бой элемент х сум м ы L представляет со

бой некоторую линейную комбинацию элем ентов (2.14), но это сразу


следует	из		того,	что этот элем ент х представляет		собой (по опреде
лению	L)		сумму	некоторого элемента x i подпространства L i, я в л я
ю щ егося		линейной комбинацией элементов (2			.1 2 ),	и некоторого эле
мента Х2		подпространства L 2 , являю щ егося			линейной комбинацией
элементов			(2.13). Т еорема доказана.

В озвращ аясь к примеру, рассм отренном у перед ф орм улировкой те орем ы 2.9, зам етим , что в этом прим ере разм ерность каж дого из под пространств L \ и Z/2 равн а двум, разм ерность их суммы р авн а трем, а разм ерность их пересечения р авн а единице.

3. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ	65
4 . Р азл ож ен и е линейного пространства в прям ую	сум м у

подпространств . П усть R \ и Л 2 — д в а подпространства линейного n -мерного п ространства R .

О п р едел ен и е. Будем говорить, что пространство R представляет собой прям ую сум м у подпространств R \ и Л 2, если каж ды й элемент х

п ространства R м ож ет

бы ть

единственны м

способом представлен в

виде суммы

X =

+ х 2

(2.19)

элемента x i подпространства R \

элемента

х 2

подпространства Л 2.

Тот ф акт, что

R представляет

собой прям ую

сумму R \

и Л 2 сим

волически записы ваю т так: R

—

0 Й 2.

П оследнее равенство обы чно

назы ваю т

разлож ением

прост ран

ст ва R

в прям ую

сум м у подпрост ранст в R \

и Л 2 .

Т ак

пространство R

всех свободных векторов

(в трехм ерном про

странстве)

мож но

р азло ж и ть

прям ую

сумму

подпространства

R \

всех векторов, п араллельн ы х

плоскости

О ху

подпространства

Л 2

всех векторов, п араллельн ы х оси O z.

Т еорем а 2 .10. Д л я

того

чтобы п -м ерное

прост ранст во R пред

ст авляло

собой прям ую

сум м у

подпрост ранст в R \

и Л 2, дост ат оч

но, чтобы

пересечение R \

и Л 2

содерж ало т олько

нулевой элем ен т

и чтобы

разм ерност ь

была

равна сум м е

разм ерност ей

подпро

ст ранст в R i и R 2 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В ы берем

некоторы й

базис

e i , . .. ,

e k

в под

пространстве R \ и некоторы й

базис g i,

... , g / в подпространстве

Л 2.

Д окаж ем , что объединение этих базисов

е ъ

e k , g b

(2 .2 0 )

представляет собой базис всего п ространства R .

Т ак как по условию

теорем ы разм ерность п всего п ространства R

р авн а сумме к + I разм ер

ностей R i

и й 2, то достаточно (в силу теорем ы 2.5) доказать линейную

независимость элементов

(2 .2 0 ).

П редполож им ,

что

некоторая

линейная

ком бинация

элементов

(2 .2 0 ) представляет собой

нулевой

элемент,

т. е. справедливо

равен

ство

оде 1

+ . ..

otke k

P i9i +

• • •

Pigi

— 0 ,

.2 1 )

или

оде!

+ . . .

а ке к =

- /? ig i

...

/З/g/.

(2.22)

5 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к

66	ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Т ак	как л евая часть (2.22)	явл яется элементом if t, а п р ав ая —
элементом R 2, а пересечение R \		и R 2 содерж ит лиш ь нулевой элемент,

то как левая, так и п р ав ая часть (2.25) представляет собой нулевой эле мент, а это (на основании линейной независим ости элем ентов каж дого

из базисов e i,	... ,	и	gi,	... ,	g/) возм ож но лиш ь при условии
	а1 =	. . .	=	а к	=	0,	& = . . . =	& = ( ) .	(2.23)
Тем самы м	мы	установили,				что	равенство	(2.21) возм ож но	лиш ь
при условии (2.23),		а это		и доказы вает линейную независимость эле
м ентов (2 .2 0 )	и тот	ф акт,		что		элем енты (2 .2 0 )		образую т базис	всего

пространства R .

Пусть теперь х — лю бой элемент R . Р азл о ж и в его по базису (2.20),

будем им еть х

A iei

. ..

А^е*

+ ц ig i +

. . . +

jikg k или х =

х х +

х 2, где x i

A iei

. ..

А/, е /,— элем ент R 1,

а х 2

/iig i

+ . ..

. . .

+ /i/gz — элемент i?2.

О стается доказать,

что

представление (2.19) явл яется

единствен

ным. П редполож им , что, кроме

(2.19), справедливо и еще одно пред

ставление

x i

+ Х2 ,

(2.24)

где х ^ — элемент

if t, а

х(>— элем ент

Л 2. В ы читая

(2.24)

из (2.19), по

лучим , что 0 =

x i — х^

Х2

— Хз, или x i — х^

Х2

— Хз- Т ак как

в левой части последнего равенства стоит элем ент

f t ,

в правой —

элемент R 2 и поскольку пересечение R \ и R 2

содерж ит лиш ь нулевой

элемент, то из этого равенства следует, что x i

— х^

= 0

, х(> — х 2

= 0 ,

т. е. х^

= x i , х 2

= Хз- Т еорема доказана.

З а м е ч а н и е . В случае, когда пространство R представляет собой

не прямую , а обы чную сумму подпространств

n f t ,

представление

(2.19)

лю бого

элемента

х п ространства R такж е

справедливо,

но не

яв л я е т с я , вообще говоря, единст венны м .

Пусть, наприм ер, R представляет собой трехмерное пространство всех свободных векторов, R \ — подпространство всех векторов, п ар ал лельны х плоскости О х у , a R 2 — подпространство всех векторов, п ар ал лельны х плоскости O x z . В преды дущ ем пункте мы вы яснили, что R

представляет собой сумму (но, конечно, не прям ую сумму) подпро странств R i и f t . О бозначим через i, j и к базисны е векторы , п ар ал

лельны е осям Ож, О у и O z соответственно, и разлож и м произвольны й

элемент х п ространства R

по

базису i, j,

к.

Н айдутся

вещ ественны е

числа а ,

/3 и 7

такие,

что

+ /?j +

7 k,

так

что,

с одной сторо

ны, х

x i +

х 2, где

x i

/^j — элемент f t ,

а х 2 = д к — эле

мент Л 2, с другой стороны ,

х^ + Хз, где х^

/^j — элемент ift,

а х'2 =

+ д к — элемент Л 2 •

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

§ 4 . П р еобр азов ани е координат при п реобразован и и бази са n -м ер ного линейного пространства

П р я м о е

о б р а т н о е

п р е о б р а з о в а н и е

б а з и с о в .

П усть

e i, е 2, . .. ,

е п

и е[,

е 2, ... , е ^ — д в а

произвольны х

базиса

п -мерного

линейного п ространства R .

К а к

всякий

элемент

п ространства R ,

каж ды й

элемент

, е 2, . .. ,

е^

м ож ет

бы ть

разлож ен

по

базису

e i, е 2, . .

е п . П редполож им ,

что

элем енты е^, е 2, .

в ыр а жа ют

ся через e i, е 2, . . е п с помощ ью

ф орм ул

е 1

—

^ 1 1 е 1

&1 2 е 2

. . . +

CLlne m

е 2

&2 ie i

а22е 2

+ . . .

а2пе п ,

(2.25)

е п

—

Н-

&п2^2

Н“

• • •

Н" &ппе п-

Это означает, что переход от первого базиса ei,

е2, ..., е п ко второму

базису е^, е^,

... ,

е^

задается матрицей

а ц

< 2 1 2

< 2 i n

&21

^ 2 2

•

&2п

(2.26)

Q"nl

&п2

•

^ n n

П одчеркнем ,

что

определитель

м атрицы

(2.26) заведомо

отличен

от нуля 22) , ибо в противном случае в силу

теорем ы 1.7 строки этой

м атрицы

(а стало бы ть, и базисны е элем енты е^,

е 2,

... , е^) оказались

бы линейно зависим ы м и.

У бедимся

том,

что

обратный

переход

от

вт орого

базиса

е 2, . .. ,

к первом у базису

ei, е 2, ... ,

еп осущ ест вляет ся с по

м ощ ью м ат рицы В , обратной к м ат рице А .

Н апомним, что м атри ц а

В , обратн ая к

м атрице

А , введена в п. 7

§ 2 гл. 1

и имеет вид

3 - 2 1

- n l

■

д "

A l 2

3 - 2 2

3 - n 2

(2.27)

‘

' ■

A i n

‘2 m

A n n

где через Д обозначен определитель м атрицы А , а через Aik ~

алгебраическое дополнение элем ента ац~ этого определителя. У мно

22) Такую матрицу в п. 7 § 2 гл. 1 мы договорились назы вать невырожденной.

68	ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ж и м	уравнения (2.25) соответственно на алгебраические дополнения
A i j ,	A<ij, ... , A nj элементов j -го столбца определителя Д и после это

го слож им эти уравнения. В результате получим (для лю бого ном ера j ,

равного	1 , 2 , ... ,	п )
e i ^ i j +	е 2 ^ 2 j +	. . . + e 'n A n j =
		п
		— ^ ^ e ^ a u A i j + c t 2 i A 2 j + ... + a n i A n j ) .

i— 1

Учи ты вая, что сум м а произведений элементов г-го столбца на соот

ветствую щ ие алгебраические дополнения элементов j- ro	столбца р ав
на нулю при i Ф j и равн а определителю Д при i — j 23)	, получим из
последнего равенства
e l ^ - l j + е 2 ^ - 2 j + • • • + e n ^ - n j — e j А ,

откуда ej	+	- д ^е2 +			••• +		- ф
подробнее	З .Ц		,	71-21		,
e i							+ ....
	=			+	д	2
	= “Т Т ® 1
е 2	3-12		,	71-22		,	+ ....
	=			+	д	2
	= “Т Т ® 1
е п	3-1 п		!	А 2 п		,	+ . ..
	=	/ \ е1		+	д	во
	~ ~				д	2

е'п	U	= Г 2,	п ) и л и
+	Tl-nl	,
+	------ е	п ’
	Д	п ’
+	А п 2	,
+	------ е	п ’	(2.28)
	Д	п ’	(2.28)
	А
+	Л ГШ е	/
	Д	п '

Ф орм улы	(2.28)	и	устанавливаю т, что				обратны й переход			от бази
са е^, ef),	... ,	к	базису	e i, в 2 , ... ,		е п	осущ ествляется		с	помощ ью
м атрицы	(2.27),	обратной		к	м атрице	А .	Э ту обратную	к	А	м атрицу
мы кратко будем обозначать символом А ~ 1.
2 .	С вязь	м е ж д у		п реобразован и ем базисов					и п р еобр азо
ванием	соответствую щ их				координат. П усть, как			и	выш е, ба
зис e i, в 2	, . .. , еп преобразуется в базис е^, е^, ... , е^ с помощ ью невы

рож денной м атрицы (2.26), так что обратное преобразование базисов задается м атрицей (2.27). П усть далее х — произвольны й элемент рас

см атриваем ого линейного п ространства R , (ад, ад, ... , х п ) — его коор

ди н аты относительно первого		базиса e i, в 2			, ... , е п,		(х[,	х '2, ... , х'п ) —
его координаты	относительно	второго		базиса		е^, е^, ... ,		е^, так что
х — xiei +	х2е2 + •••+	«	=	x±ei	+	ж2е2	+ ...	+ хпеп.

23) См . свойство 4 °) из п. 4 § 2 гл.,1.

§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

П одставив в это равенство вместо элем ентов e i,

в 2

, . . е п их вы р аж е

ния, определяем ы е ф орм улам и

(2.28), получим

х =

аде

+ ж2е 2

+ • • • +

х'п е'п

—

i c i

x i

2 +

А п 1

------(

Х2

Л-12

^22

+ . .

А п2

+ . .

~А

" д " (

~ А {

х г

^ 2

А п

~д~'

{

И з

последнего

равенства

(в

силу

единственности

разлож ен и я

по

базису

е[,

е 2, ... ,

е'п ) сразу

ж е

вы текаю т

ф орм улы перехода от

ко

ординат

(ад, ад, • •

х п )

относительно

первого

базиса

к координатам

(х[, х 2,

. . х'п )

относительно второго базиса:

А и

А\2

A i n

.. . +

д - * » ’

х'2 =

А 21

А 22

А 2П

д - ж2

.. . +

(2.29)

”

~д~

■ д " Хп’

A n i

А П2

А ПП

Хп

=~ ~а

ад

—

Ж2 +

. .. +

Хп•

Ф орм улы

(2.29)

показы ваю т,

что

переход

от

координат

(ад, ад,

• •

х п )

координатам

(х[,

х 2, ... , х'п )

осущ ествляется

помощ ью м атрицы

А 12

A i n

" д "

А 2п

A n i

хА-пП

~ А

■

транспонированной к обратной м атрице

(2.27).

М ы приходим к следую щ ему выводу: если переход от

первого

ба

зиса

ко

вт ором у

осущ ест вляет ся

с пом ощ ью

невы рож денной м а т

рицы

А , то переход от

координат произвольного элем ент а от носи

т ельно первого базиса к координат ам эт ого элем ент а от носит ельно вт орого базиса осущ ест вляет ся с пом ощ ью м ат рицы (И - 1 )', т ранс понированной к обратной м ат рице А ~ 1.

Г Л А В А 3

С И С Т Е М Ы Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

И з элементарного курса и из курса		аналитической	геом етрии чи
татель знаком с системой двух	линейны х уравнений		с двум я неиз
вестны ми и с системами двух	и трех	линейны х уравнений с трем я

неизвестны м и 1) . Ц елью настоящ ей главы явл яется изучение системы произвольного числа т линейны х уравнений с произвольны м числом п неизвестны х.

М ы сн ачала установим необходимое и достаточное условие сущ е ствования хотя бы одного реш ения (или, как говорят, совм ест ност и)

такой системы, а затем займ ем ся оты сканием всей совокупности ее ре

шений.
В	§ 4 гл. 4	будет рассм отрен важ н ы й д л я			прилож ений	случай
приближ енного		задан и я	всех	коэф ф ициентов	системы и ее	свобод
ны х	членов. Д л я этого		случая	будет излож ен	м ет од р егуляр и за ц и и

А .Н . Т ихонова , позволяю щ ий найти так назы ваем ое норм альное (т. е.

наиболее близкое к началу координат) реш ение указанной системы с точностью , соответствую щ ей точности зад ан и я коэф ф ициентов и сво бодных членов.

В гл. 6 будет дано представление о численны х (итерационны х) ме

тодах реш ения систем линейны х уравнений.

§ 1. У словие совм естности линейной систем ы

1. П онятие систем ы		линейны х			уравнений и	ее реш ен ия .
В общем случае система т		линейны х			уравнений с п	неизвестны м и
(или, кратко, ли н ей н а я	сист ем а)			имеет следую щ ий вид:
a n x i +	ai2^2		+	.. . +	CLinXn — Ьъ
0*21%1 4~ &22^2			+	• • . 4“	OJ2п%п — ^2 5	(3.1)

^ral^l 4“ &т2%2 4“ • .. Н- атпх п — Ьт .

П ри этом через ад, Ж2 , ... , х п обозначены неизвестны е, подлеж ащ ие

х) См. выпуск «Аналитическая геометрия», дополнение к гл. 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 327 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб4Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб127Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб13Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб6Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб12Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб37Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf