книги / Линейная алгебра.-1

1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

121

в У. Д ействительно, в этом случае из условия А х

= 0

вы текает х

=

О,

а это означает, что различны м x i и Х2 отвечаю т различны е у \

=

A x i

и у 2

= А х 2 (если бы у ! =

у 2, то А (х 2 — x i)

= 0

, т. е. x i

=

х 2

и

элем енты x i

и Х2

не бы ли бы различны ).

Таким образом, согласно доказанном у вы ш е утверж дению

условие

ker А

= 0 я в ля е т с я

необходим ы м и дост ат очны м

для т ого, чтобы

оператор А

и м ел обратный.

О п р едел ен и е

3.

Образом

линейного оператора А

н азы вается

м нож ество всех

элементов

у п ространства У ,

представим ы х

в ви­

де у

= А х .

О браз

линейного

оператора А

обозначается символом

im А

1) .

З а м е ч а н и е

2

. О тм етим ,

что если ker А

=

0 , то im A

=

У,

и

наоборот. П оэтому

н аряду

с отмеченны м вы ш е

условием

ker А

=

О

условие im A

=

У

т акж е

я в ля е т с я необходим ы м

и дост ат очны м

для т ого, чтобы оператор А и м ел обратный.

З а м е ч а н и е

3.

О чевидно,

ядро ker А и

образ

im A — линейны е

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как

ker А

представляет собой подпрос­

транство

У,

то

мож но

указать такое подпространство V\

простран ­

ства У, что У будет представлять собой прям ую сумму V\

и ker А 2) .

С огласно

теореме

2.10

dim V\ + dim (ker A ) = n. П оэтом у д л я до каза­

тельства теорем ы достаточно убедиться, что d im C i = dim (im A ).

П усть

d im C i

=

р,

d i m ( i m A )

= g и

y i ,

у 2 , ... ,

у п ~ б а з и с в

i m A .

Т ак как

линейны й оператор А действует

взаим но

однозначно

из V\

в im А 3) , то

каж дом у

элементу

у

из

im A

мож но

поставить в

соот­

ветствие

единственны й

элемент х

£

V\

такой, что

А х = у. П оэтому

0 Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения

мнимой части комплексного числа.

2) Чтобы убедиться в этом, выберем в У

такой базис e i,

ег, ...,

е п , что пер­

вые г векторов

e i, ег, ...,

е г образуют

базис

в ker А, тогда

линейная оболочка

векторов e r + i,

...,

е п представляет собой

V\

(см. подробнее гл. 4).

122

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

в Vi определены элем енты

x i,

Х2 , ... , x q такие, что

Ах&

=

у к,

к =

=

1 , 2

, . . q.

Э лементы

x i,

Х2

, . . х д линейно

независимы ,

ибо

если

a ± x i +

<л2 х 2

+

. .. +

a qx q

=

0 , то А (а д х 1

+ <л2 х 2

+

. .. + oiqx q) =

a a y i +

+

« 2 У2 + . ..

+

OLqy q = 0

, а

так

как

элем енты

y i, У2 , ... ,

y q линейно

независимы ,

то

cui =

а 2

=

. ..

=

a q

=

0 , т. е. и

x i,

Х2 , ... ,

x g

линей ­

но независимы . Таким образом, в V\

имеется q линейно независимы х

элементов. С ледоват ельно, р ^

q (напомним, что p = dimVi) .

П редполож им ,

чт о

р

>

q.

Д обавим

к

линейно

независи ­

мым элементам

x i,

Х2 , ... ,

x g

элем енты

x g + i,

x g + 2

5 • •

х р

так,

что

x i , х 2, ... ,

Хр образую т базис в V \. Т ак

как р

> q и q — dim (im А ), то

элем енты

A x i,

А Х 2

, ... ,

А х р, принадлеж ащ ие

im А , линейно

зависи ­

мы, и

поэтому

сущ ествую т

не

все равны е нулю

числа Ai, А2

, ... , Хр

такие,

что

Ai A x i + А2 А Х 2

+ . .. +

ХрА х р

=

0 .

О тсю да

следует,

что A( A I XI

+ A 2 X2 +

. . . +АрХр)

=

0.

Т ак

как

А

действует из V\

в

im A

взаим но однозначно,

то

из

последнего

равенства

получаем

А1 Х1 ТА2Х2 Т ... Т Хрхр = 0.

Но x i , Х2 , ... , х р — базис в

V \. П оэтому Ai

=

А2 = . .. =

Хр

— 0.

Вы ш е

указы валось,

что

не

все Ai, А2 , . .. , Хр равны нулю .

С ледова­

тельно, предполож ение р

> q ведет к противоречию . Таким

образом ,

обратн ая теореме 5.1.

Т е о р е м а 5 .2 .

П уст ь

V\

и

V2 — два

т а ки х

подпрост ранст ва

п -м ерного

прост ранст ва

V , чт о

d i m V i + d i m V 2

= d i m H .

Тогда су­

щ ест вует

т акой ли н ей н ы й оператор А

из L (У, У), чт о V\ = i m А и

У2 = ker А.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П усть

dim H i

=

р,

бпнУ 2

=

q. Вы бе­

рем

в пространстве У

базис

e i, в 2 , ... ,

е п

так,

чтобы

элементы

е р |_ 1

, ер |_ 2

, . .. ,

е п п ринадлеж али

У2 . Д алее в

пространстве

V\ вы бе­

рем

некоторы й

базис g i,

g 2

, . .. ,

gp .

О пределим

теперь значения линейного оператора А

на базисны х

отвечаю т различные

элементы

y i =

A x i и у 2

=

А х 2 пространства

W . Таким

= О, т. е. Х2 — x i

GkerA, что противоречило бы принадлежности Х2 — x i G У

и условию Х2 — x i

ф О (У и kerA составляют прямую сумму и поэтому имеют

1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

123

векторах e i, е2, ...,

е п п ространства У следую щ им образом:

А е х

=

g b А е 2 = g2, • •

А е р =

g p,

А вр )_ i

0, А вр )_ 2

0, .. . 5 А е п

0.

Д алее,

если х

=

аде!

+

х 2е 2 + . ..

+ х ре р

+ х р + 1 ^ р+1 +

. .. + жпе п ,

то А х

= x ig i

+

x 2g 2

+

• • • + Xpgp.

О чевидно, оператор А

линейны й

волом rang А

и равное rang А

= dim (im А ) .

О тм етим

следую щ ее очевидное следствие из теорем ы 5.1

и из за ­

м ечания 2

этого пункта.

С л е д с т в и е

и з т е о р е м ы

5 .1 . Д л я того

чтобы

оператор А из

L (У, У)

и м ел

обратный А - 1 ,

необходимо

и дост ат очно, чтобы

rang А = dim У = п.

П усть А и В — линейны е операторы из L (У, У ). С праведлива сле­

дую щ ая теорема.

Т е о р е м а

5 .3 . И м ею т м ест о следую щ ие соот нош ения :

rang А В

^

rang A ,

rang А В

^

rang В .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Д окаж ем

сн ачала

первое

из

отм е­

ченны х соотнош ений.

О чевидно,

im А В

С im А

4) .

П оэтому

d i m ( i m A B ) ^ d i m ( i m A ) ,

т. е. ra n g A B

^ rang А .

Д л я доказательства

второго

соотнош ения

воспользуемся

следую ­

щ им очевидны м вклю чением 5)б : ker В С ker А В .

И з этого

вклю чения

следует,

что

dim (ker В )

^

dim (ker А В ).

И з последнего

неравенства,

в

свою

очередь, следует

неравенство

dim У — dim (ker А В ) ^

dim У —

dim (ker В ),

а

из него, согласно тео­

реме 5.1,

получаем d i m ( i m A B ) ^ d i m ( i m B ) ,

т. е. ra n g A B ^

ra n g B .

Т еорема доказана.

Т е о р е м а 5 .4 . П уст ь А

и 'В — лин ейны е

операторы

из

L (У, У)

и п — разм ерност ь У . Тогда ra n g A B ^ rang А + rang В — п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме 5.1,

d i m ( i m A B )

+

dim (ker А В )

= n.

(5.5)

4) Символ С здесь и в дальнейшем

обозначает включение, т. е. запись А С В

обозначает, что А является подмножеством В .

б) Так как А В и В А различные,

вообще говоря,

операторы,

то

включение

124

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Т ак как rang А В = dim (im A B ), то из (5.5) получаем

ra n g A B — п — d im (k e rA B ) .

(5.6)

П оскольку, согласно теореме 5.1,

d i m ( k e r A )

+ d i m ( k e r B ) = 2 п — (rang А + rang В ),

(5.7)

d i m ( k e r A B ) ^ d i m ( k e r A ) + d i m ( k e r B ) .

(5.8)

d i m ( k e r B ) =

q.

(5.9)

Согласно теореме 5.3 dim (ker А В ) ^

q. П оэтому справедливо соот­

нош ение

d i m ( k e r A B )

=

р + q,

где р

^ 0.

(5.10)

Т ак

как

ker В C k e r A B ,

то

в подпространстве к е г А В

мож но

вы ­

брать

базис x i , Х2 , ... , х р + д так,

что элем енты x p + i, ... ,

х р + д

об­

разую т базис

в ker В . П ри

таком

вы боре x i, х 2, ... , х р + д

элементы

B x i ,

В х 2, ... ,

В х р линейно

независим ы

(если

линейная

ком бинация

]Tfc=

i

A f e B x f c

= 0, то в (J2k = i A f c X f e ) =

0, т. е. YJk = 1 A f e X fe

С

ker В,

а

это

м ож ет

бы ть, в

силу

вы бора x i,

х 2, . .. ,

х р , лиш ь

при

А /,

=

=

0,

к

=

1, 2, . . . , р ) .

П оэтом у

элем енты B x i ,

В х 2, ... , В х р принад ­

С ледстви е из

теорем 5.3 и 5.4. Е сли rang А

=

п (п — разм ер ­

ност ь V ), то rang А В = rang В А = rang В.

У казанное следствие вы текает из неравенств

ra n g A B ^ rang В (теорема 5.3),

ra n g A B

^ rang В (теорем а 5.4 при rang А

=

п).

§ 2. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

125

нейного

пространства

V . Ф иксируем

в линейном

пространстве V

базис ei,

в 2 , . . е п. П усть х — произвольны й элемент V и

п

х

=

х ке к

(5.11)

к =

1

разлож ение х по данном у базису.

П усть А — линейны й оператор из L (V , V ). Тогда из (5.11) получаем

п

А х

=

^

x k A e k .

(5.12)

к =

1

П олагая

п

А

е к

=

а к е i ’

(5ЛЗ)

3 = 1

перепиш ем (5.12) в следую щ ей ф орме:

п

п

п

/

п

\

А х =

i = l

а1ез

= Л

[ Л

ai xk

ei-

к = 1

j = l \& = 1

/

Таким

образом, если

у

=

А х

и элемент

у

имеет

координаты у 1,

у 2,

у п , то

П

У3 =

Y l

а кх к >

•?’ =

!> 2>•••> п -

(5.14)

к =

1

Рассм отрим квадратн ую

м атрицу А с элементами а3к :

Э та м атри ц а назы ваем ся м а т рицей линейного оператора в задан­

ном базисе ei, в 2

, . .. ,

е п.

Н аряду

с

ранее указанны м

способом записи линейного операто­

р а

используется

при

заданном

базисе

e i,

в 2 , ... , еп м атри чн ая

ф о р ­

м а

записи:

у

=

А х,

причем,

если

х

=

(ж1, ж2, ..., жп),

то

у =

=

(у 1, у 2,

... ,

у п), где y i , j =

1 , 2

, ... , п,

определяю тся с

помощ ью

соотнош ений

(5.14), а элем енты

а3к

м атрицы А вы числяю тся по ф о р ­

м улам (5.13).

126

ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

З а м е ч а н и е

1. Если оператор А нулевой, то все элем енты м ат­

м атрица. В аж н о такж е вы яснить вопрос о единственности

м атрицы

линейного оператора в заданном базисе.

С праведливо следую щ ее утверж дение.

Т е о р е м а

5 .5 . П уст ь

в

ли н ей н о м прост ранст ве V задан базис

e i, в 2 , ... , е п ,

и пуст ь А

=

(aJk ) — квадрат ная м а т р и ц а ,

содерж а­

п ространства V . И з доказательства теорем ы

5.5 следует, что м атрице

А + Х В , где Л — некоторое число, отвечает линейны й оператор А +

ЛВ

(напомним, что А, В и А +

ЛВ при н адлеж ат L (V, V )).

Д окаж ем следую щ ую теорему.

Т е о р е м а 5 .6 . Ранг линейного оператора А

равен рангу м ат рицы А

эт ого операт ора: rang А = rang А .

Д о к а з а т е л ь с т в о . По

определению

rang А = dim (im А ),

а

§ 2. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

127

g к = ^2 аке3

(5 Л 5 )

3 = 1

(см. м атричную ф орм у записи оператора и определение im А ).

П оэтом у rang А равен м аксим альном у числу

линейно независи ­

строк и п

столбцов. И з теорем 5.3, 5.4, 5.5 и 5.6 вы текаю т следую щ ие

следствия.

С ледстви е

1. Р ан г rang А В

произведения А ж В удовлетворяет

соотнош ениям

rangA £? ^ rang A,

rang А ^ rang В ,

rang А ^

rang А

+

rang В — п.

С ледстви е

2. О братны й

оператор

А -1 д л я оператора А

сущ е­

ствует только тогда, когда ранг м атрицы А оператора А равен п (п =

= сЙ тУ ). О тметим, что в этом случае

сущ ествует

такж е и обратная

м атри ц а А - 1 д л я м атрицы А.

2 .

П р еобр азов ани е

матрицы

линейного

оп ератора при п е­

р еходе к новом у базису. П усть V — линейное пространство, А — ли ­

нейны й оператор из L (У,

У),

e i,

в2, ...,

еп и ei, 6 2 , ..., ёп —д в а бази ­

са в У и

п

к

=

1 , 2 , - . . , п

(5.16)

2

= 1

— ф орм улы перехода от базиса {е^} к базису {ё/,}. О бозначим через U

м атрицу

(игк):

и

=

( 4 ) .

(5.17)

О тм етим , что rang U =

п. П усть

Л

=

( 4 )

и

А

= ( 4 )

(5.18)

— м атрицы оператора

А в указанны х

базисах. Н айдем связь

м еж ду

этими м атрицам и .

С праведливо следую щ ее утверж дение.