книги / Численные методы. Ч. 5

функций приближенно оценивается как величина второго порядка относительно длин h сегментов одинаковой длины, т.е.

Таблица 1.4

Погрешность Ъткусочно-линейной аппроксимации функции cos х при различном числе т сегментов

Рис. 1.7. Погрешность кусочно-линейной аппроксимации функции cos х с использованием 4 сегментов на отрезке [0, я] (а) и зависимость

погрешности аппроксимации от длин сегментов (б)

В силу этого 6т —>0 при И —>0 или т —>°°. Это позволяет ут­ верждать, что процесс аппроксимации функции cos х линейной ком­ бинацией кусочно-линейных функций (1.2) сходится равномерно на отрезке [0, я].

Рис. 1.8. Зависимость времени / выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки

На рис. 1.8 представлена зависимость времени t выполнения рас­ четов от числа т сегментов разностной сетки.

Выводы

1.Процедура метода Галёркина использована для аппроксима­ ции заданной функции cos* линейной комбинацией кусочно-линей­ ных функций. Сформирована система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов разложения функции cos * по указанной системе функций.

2.Разработана вычислительная программа определения коэффи­ циентов разложения заданной функции по системе кусочно-линей­ ных функций.

3.С использованием разработанной программы определены ко­ эффициенты и построены разложения заданной функции cos* по системе кусочно-линейных функций для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 1.6).

4.Для указанной последовательности разложений определены по­ грешности аппроксимации заданной функции (см. табл. 1.4) соответст­ вующими линейными комбинациями кусочно-линейных функций.

5.Показано, что с уменьшением длин сегментов погрешность аппроксимации уменьшается (см. рис. 1.7). Установлено, что по­ грешность аппроксимации имеет второй порядок относительно дли­ ны сегментов (шага интегрирования).

Если k = i - 1/2, функции Ф,_1/2(*) и Ф,(*) отличны от нуля на

общем сегменте

-Ч-1 Если £ = /, функции Ф*(*) = Ф,(*) отличны от нуля на общем

сегменте [х,_„х,+1],

\(^t (x)dx =~ \{ x - x Ml2) \ x - x ^ ) 2d x + ^ } (x - x i+1/2)2(x -j:w )2dc =

Если А = / + 1/2, функции ф1+1/2 (х) и ф.(х) отличны от нуля на общем сегменте [х,,xi+1 ],

том формул (1.8) определяются формулами

л^ *1

]ф0 cos xdx =— J (x - x 1) ( x - x 1/2)cosx<ir =

Подстановка полученных значений в выражение (1.3) приводит к системе 2/я + 1 линейного алгебраического уравнения

3+cosA —4—sin А,

АА2

hh

лn /2 8 /2 / 2 a00+al/20+a, — +aj/2— +a2— +...+am0 -

°L „

относительно коэффициентов а, разложения (1.2). Матрица коэффи­ циентов и правая часть этой системы уравнений имеют вид

(3 + cosA)/A--4sinA/A 2

8sin A/А2 -4(l+cosA)/A

(1+ 6 cos A + cos 2h)/h - 4 sin 2h/h2

•8(sin2A-sinA)/A2-4(cosA + cos2A)/A

(cos A +6cos 2A + cos3h)/h+4(sinA - sin 3h)/h2

[cos(m - \)h - 3]/h+4sin[(»i - l)h]/h2

Алгоритм решения

Ниже приведён фрагмент программы на языке Си, реализующей процедуру аппроксимации функции cos х с использованием кусочно­ квадратичных пробных функций.

Программа 1.3

//Аппроксимация функции. Кусочно-квадратичные пробные функции

//Ne - число сегментов

//С массив для коэффициентов

//F массив правых частей

//х массив координат узлов

#define Ne 64

void main(void)

{double xO, xl, h, C[Ne][Ne], F[Ne], x[Ne+l]; int i , k ;

х0=0.0; // начальная точка xl=M_PI; // конечная точка h=(xl-xO)/Ne; // длина шага сегмента

for(k=0; k<Ne+l; k++) x[k]=xO+h*k; for(k=0; k<2*Ne+l; k++)

for(F [k]=0.0, i=0; i<2*Ne+l; i++ ) C[k][i]=0.0;

for(k=0; k<Ne ; k++)

{if (k==0)

{C [2*k] [2*kJ=2.0*h/15.0;

F [2*k] = (3.0+cos(h))/h - 4 .0*sin(h)/ (h*h) ;

}

else

{C[2*k] [2*k]=4.0*h/15.0;

F[2*k]= (cos((k-1)*h)+6.0*cos(k*h)+cos((k+1)*h))/h+

4 . 0 * (sin((k-1)*h)-sin((k+1)*h))/ (h*h);

}

C [2*k] [2*k+l]=C[2*k+l] [2*k]=h/15.0; C [2*k] [2*k+2]=C[2*k+2] [2*k]=-h/30.0; C[2*k+1] [2*k+l]=8.0*h/15.0;

C[2*k+l] [2*k+2]=C[2*k+2] [2*k+l]=h/l5.0;

F[2*k+l]= - 4 . 0*(cos(k*h)+cos((k+1)*h))/ h - 8 .0*(sin(k*h)- sin((k+1)*h))/ (h*h);

}

C[2*Ne][2*Ne]=2.0*h/15.0;

F [2*Ne] = (cos((Ne-1)*h)-3.0)/h+4.0*sin((Ne-1)*h)/ (h*h);

1__________________________________________________________

Реализация алгоритма

Первоначально заданный отрезок разбивается на четыре сегмен­ та равной длины

[0,K] = G 1 UG2 UG3UG4,

где G,=[0,Jt/4], G2=[K/ 4 ,п/2], G3=[n/2,Зя/4] и G4 =[3д/4,д]. На

каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (1.8) опре­ деляются кусочно-линейные пробные функции (рис. 1.9).

Заданная функция f(x) представляется разложением (1.2). Соот­ ношения (1.3) принимают вид системы линейных алгебраических уравнений

лл

оо

относительно коэффициентов ах, / = 0,1/2,1,3/2,..., 4.