книги / Численные методы. Ч. 5
.pdfАнсамблирование систем, полученных для каждого сегмента, приводит к формированию общей для всего стержня системы линей ных алгебраических уравнений (табл. 2.4) относительно коэффициен тов Ti приближённого решения (2.9) дифференциального уравнения.
Учёт граничного условия первого рода Т(х]х=о = Т° на левом
торце стержня и граничного условия третьего рода ХТ'(х)|м =
= _а [r(jc)|jr_Jt- 7 ,ee] на правом конце стержня приводят к системе ли
нейных алгебраических уравнений, приведённой в табл. 2.3.
Результаты расчетов
Использование Программы 2.2 даёт решение этой системы уравнений:
Т0=100,0 7^=102,119, 7] =103,407, Г3/2= 103,154, Т2=100,897,
Г5/2=96,4594, Тъ=90,018, 7^=82,0351, Т4=73,2219.
Приближённые решения дифференциального уравнения на отрез ке [0, тс], полученные на основе кусочно-квадратичного представления (2.9), приведены на рис. 2.4 с использованием 4 (а) и 64 (б) сегментов. Полученное приближённое решение даёт возможность определить по токи тепла с торцевых поверхностей стержня. Первое и последнее уравнения
|
|
— Г |
+ — Т = W sin/? |
|
4cosh |
- Q \ |
|
||
|
|
ЗА |
1/2 |
ЗА |
1 0 ~h~ |
|
|
|
|
— T |
- - T |
+ — T =w sin(7i-/?)_f 4 |
Л 4cos(n-h) |
- QL, |
|||||
3/7 |
3/7 |
m~]/1 |
3h |
m |
0 |
|
|
|
|
исключённые ранее из системы, преобразуются к виду |
|
|
|||||||
|
Q " - w . |
|
|
|
- A ( , r . _ Щ г + ^ ), |
|
|||
П1 _ w ^[sin(ji - А)+ А]- 4[l + C O S (TC - |
А)] |
X , |
|
ч |
|||||
V |
"о |
|
|
^2 |
Ж т~' ~ |
+ 1Тт'' |
ГО
ГО
Таблица 2.4
Матрица коэффициентов и правая часть системы линейных алгебраических уравнений для построения приближённого решения дифференциального уравнения с использованием кусочно-квадратичных пробных функций
1.0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
100,0 |
-237,671 |
475,343 |
-237,671 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
197,299 |
29,7089 |
-237,671 |
415,925 |
-237,671 |
29,7089 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
190,582 |
0,0 |
0,0 |
-237,671 |
475,343 |
-237,671 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
476,323 |
0,0 |
0,0 |
29,7089 |
-237,671 |
415,925 |
-237,671 |
29,7089 |
0,0 |
0,0 |
269,523 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
-237,671 |
475,343 |
-237,671 |
0,0 |
0,0 |
476,323 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
29,7089 |
-237,671 |
415,925 |
-237,671 |
29,7089 |
190,582 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
-237,671 |
475,343 |
-237,671 |
197,299 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
29,7089 |
-237,671 |
237,963 |
601,034 |
а
Рис. 2.4. Приближённое решение уравнения A,r'(jt)+ W(x)= 0 с граничными условиями r(jc)|j=0= Т°
и ХТ’( х ) [ т ( х ) х=1t - Г,] при использовании 4 (а) и 64 (б)
сегментов на отрезке [0, л]
Точное решение (1.18) поставленной задачи позволяет опреде лить точные значения потоков на торцах стержня
\(w0-a{T°-T_)) |
Х((У0-а(т°-Т„)} |
Q0=W{x\__0 = WQCOSX + |
= W0+ |
X+an |
X+ an |
X(W0-a{T°-T„ |
Uw0-a{T°-T_)) |
QL =-\T\X\^ = A ^T0 COSJC + - |
= W0- |
X+an |
X+ an |
и оценить погрешность полученных приближённых значений тех же потоков.
Приближённые значения тепловых потоков, полученных при раз личном числе сегментов, приведены в табл. 2.5. Значения потоков, по лученные с использованием точного решения: Q0 =403,34 Вт/м2
и QL =1596,66 Вт/м2
Таблица 2.5
Приближённые значения тепловых потоков на торцах стержня при различном числе т сегментов
т |
<? |
& |
т |
& |
Qt |
2 |
403,341 |
1596,66 |
16 |
403,340 |
1596,66 |
4 |
403,341 |
1596,66 |
32 |
403,341 |
1596,67 |
8 |
403,339 |
1596,66 |
64 |
403,357 |
1596,69 |
В табл. 2.6 приведены значения погрешностей |
|
|
8И = ЦТ ~ТЯI= тах|г(х) - Тя(х) = п^ахШх) - £ |
(х1, |
|
= 1тгп,~тЛ =maxiT2m(х) - |
Tm(х)| = max X 7].(pf (х) - £ |
Г,<р,(х) |
д е [ ° д ; |
х е [ 0 , п \ |
|
определённых с помощью точного решения Т(х) дифференциаль ного уравнения и сравнением двух последовательных приближён ных решений Тт и Т2т дифференциального уравнения при различ ных значениях числа т и 2т сегментов с использованием чебышёвской нормы. Эти же данные представлены в графическом виде на рис. 2.5, б.
Таблица 2.6
Погрешность Ътприближённого решения дифференциального уравнения при различном числе т сегментов
т |
h |
5„, |
& т .2т |
т |
h |
5m |
^ т.2т |
2 |
1,570796 0,316257 |
0,301401 |
16 |
0,196350 |
0,000859 |
0,000813 |
|
4 |
0,785398 0,051170 |
0,049652 |
32 |
0,098175 |
0,000104 |
0,000150 |
|
8 |
0,392699 0,006753 |
0,006613 |
64 |
0,049087 |
0,000013 0,000015 |
Рис. 2.5. Погрешность приближённого решения дифференциально го уравнения, полученного на четырёх сегментах с использованием пробных кусочно-квадратичных функций (я); зависимость по грешностей 8Ш(—о—)и 52т(-А-) приближённого решения
от длин сегментов (б)
С применением формулы (В.1) приближенно определяется поря док погрешности численного решения дифференциального уравне ния разложением (2.9) по системе кусочно-квадратичных пробных функций. Для 8тпорядок погрешности оценивается значением
Ът= (In0,316257 - In0,000013)/(ln 1,570796In0,049087) = 2,91405.
Для S2mэта величина
Ьт2т= (1п 0,30140 - In0,000015)/(1п1,570796In0,049087) = 2,85888.
Погрешность полученного решения дифференциального уравне ния методом Галёркина с использованием системы кусочно-квад ратичных пробных функций в обоих случаях можно приближённо оценить как величину третьего порядка относительно длины сегмен та А, т.е.
I |
т II |
/ \ |
II 2т |
т |
| | / \ |
|
г-х?;.<р, |
- о И , бт.2я= |
|
- Е Ы |
- ° И - |
||
I |
i=0 |
|| |
|
|| 1=0 |
1=0 |
|| |
В силу этого 8т —>0 при И—> 0 или т -> «>. Это позволяет утвер ждать, что последовательность приближённых решений дифференци
ального уравнения, полученных аппроксимацией кусочно-постоянны ми функциями (2.9), сходится равномерно на отрезке [0, к].
Выполненные расчёты (см. табл. 2.5, рис. 2.5, б) показывают, что погрешности 8т и 6^ практически одинаково оценивают погреш ность приближённого уравнения. Это означает, что при отсутствии точного решения, когда погрешность 8топределить невозможно, для контроля погрешности можно применять оценку Ььп-
На рис. 2.6 приведена зависимость времени t выполнения расче тов от числа т сегментов разностной сетки.
Рис. 2.6. Зависимость времени / выполнения расчетов от числа т сегментов разностной сетки
Выводы
1. Процедура метода Галёркина использована для приближённо го решения дифференциального уравнения. Сформирована система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициен тов разложения искомого решения по системе кусочно-квадратичных функций.
2.Разработана вычислительная программа определения коэффи циентов разложения решения дифференциального решения по сис теме кусочно-квадратичных функций.
3.С использованием разработанной программы определены ко эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 2.4).
4.Для указанной последовательности разложений определены оценки Ьт и Ььп погрешности приближённого решения (см. табл. 2.5) для различного числа т сегментов.
5.Показано, что с уменьшением длины h сегментов погрешность приближённого решения дифференциального уравнения, определяе мая чебьпиёвской нормой, уменьшается (см. рис. 2.5, б). Установлено, что погрешность аппроксимации имеет третий порядок относительно длины h сегментов (шага интегрирования).
6.Выполненное исследование показывает, что последователь ность приближённых решений дифференциального уравнения, полу ченных методом Галёркина при аппроксимации кусочно-квадра
тичными функциями, сходится равномерно на отрезке [0, 7с].
7. Для численного решения дифференциального уравнения ме тодом Галёркина с использованием кусочно-квадратичных функций на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, на компьютере с про цессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем опера тивной памяти 512 Мбайт) требуется 2,5-10-3 с.
2.3.Аппроксимация решения иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 1-й степени
Задание. Методом Галёркина с использованием иерархической системы пробных функций построить приближённое решение од номерного дифференциального уравнения стационарной теплопро водности [ХТ'(х)\ + JT0sinjt = 0 с граничными условиями r(jt)|j=0= f
А,Г'(х)|^ = - a |V ( x ) |^ - J ^ j . Сформировать систему линейных ал
гебраических уравнений относительно коэффициентов разложе ния искомого решения по заданнной системе пробных функций; разработать вычислительную программу для определения коэф фициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной длины; при известном точном решении определить погрешность приближённых решений для указанной последователь ности сегментов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксимации; оценить быстродействие вычислительной програм мы. При выполнении расчётов принять: L = 7Ц А = 70 Вт/м •град, \¥0=\Ш Вт/м3, а = Вт/м2град, Т° = 100й, = 20°
Разрешающие соотношения
Стержень, имеющий длину L = n, разбивается на т сегментов JCJ, / = 1,/и, равной длины h = xi - x i l = к1т. Рассматривается про цесс аппроксимации решения дифференциального уравнения с ис
пользованием двух полиномов первой степени:
Фы М = (х, - x )/h> Ф,(*) = (* - Xi-I)/h ■
Приближённое решение на основе кусочно-линейных пробных функций строится в виде
ТАх)=Ti-\ФмМ + т’/Ф,- W •
Построение системы линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов подробно описано в подразд. 2.1.1. Для сегмента [дг/_\,х,] эта система линейных алгебраических уравнений имеет вид
,sin х —sin Х |
=W01cos*,.,------------------
T, = Wn SinX; - sin X,7-1 - COSJC; \-Vr
Алгоритм решения
Фрагмент программного кода на языке Си, реализующий проце дуру построения приближённого решения дифференциального урав нения с использованием иерархической системы кусочно-непрерыв ных полиномов 1-й степени, представлен Программой 2.1.
Реализация алгоритма
Отрезок [0, к] разбивается на четыре сегмента равной длины
[0,71j = [0,я/4] U [я/4, л/2]U [я/2,Зтх/4] U [3л/4, я].
На каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (2.11) определяются кусочно-непрерывные полиномы 1-й степени. Решение дифференциального уравнения представляется разложени ем (2.9). Для построения приближённого решения формируется сис тема линейных алгебраических уравнений (см. табл. 2.1) относитель но искомых коэффициентов Тп / = 0,4.
Результаты расчётов
Результаты приближённого решения заданного дифференциаль ного уравнения с использованием иерархической системы кусочно непрерывных полиномов 1-й степени приведены на рис. 2.1-2.3 и в табл. 2.2-2.3.
Выводы
1.Процедура метода Галёркина использована для приближён ного решения дифференциального уравнения. Сформирована сис тема линейных алгебраических уравнений для определения коэф фициентов разложения искомого решения по системе кусочно линейных функций.
2.Разработана вычислительная программа определения коэф фициентов разложения решения дифференциального решения по системе кусочно-линейных функций.
3.С использованием разработанной программы определены ко эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 2.2).
4.Для указанной последовательности разложений определены
оценки 5т и Ъгт погрешности приближённого решения (см. табл. 2.3) для различного числа т сегментов.
5. Показано, что с уменьшением длины h сегментов погреш ность приближённого решения дифференциального уравнения, оп ределяемая чебышёвской нормой, уменьшается (см. рис. 2.2, б). По грешность аппроксимации имеет первый порядок относительно длин сегментов (шага интегрирования).
6. Выполненное исследование показывает, что последователь ность приближённых решений дифференциального уравнения, полу ченных методом Галёркина при аппроксимации кусочно-линейными функциями, сходится равномерно на отрезке [0, л].
7. Для численного решения дифференциального уравнения ме тодом Галёркина с использованием кусочно-линейных функций на разностной сетке, содержащей 64 сегмента, на компьютере с процес сором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оператив ной памяти 512 Мбайт) требуется 2,5-1 (Г3с.
2.4.Аппроксимация решения иерархической системой кусочно-непрерывных полиномов 2-й степени
Задание. Методом Галёркина с использованием иерархической системы пробных функций построить приближённое решение од номерного дифференциального уравнения стационарной теплопро водности \kT'(x)] + W0sinx =0 с граничными условиями T(x)\x_Q= f ,
Сформировать систему линейных ал-
гебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомого решения по заданнной системе пробных функций; разра ботать вычислительную программу для определения коэффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной сис теме пробных функций для 2, 4, 8, 64 сегментов постоянной дли ны; при известном точном решении определить погрешность приблиясённых решений для указанной последовательности сегментов; исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов; исследовать сходимость процесса аппроксимации; оценить быстродействие вычислительной программы. При выпол нении расчётов принять: L = п, X = 70 Вт/м град, W0=1000 Вт/м3, а = Вт/м2 град, Т° = 10(Г, Т„ = 2СГ
Разрешающие соотношения
Для квадратичной аппроксимации' решения дифференциально го уравнения на каждом сегменте [хм,*,] дополнительно к функци ям (2.11) вводится кусочно-непрерывная функция ф,._|/2(х) второго
порядка
Ф м М = (*, “ x)/h, <ры/2(х) = - 4 ( х - х , _ ,)-X;)/h2,( х
(2.22)
Ф,Ы= (*-*м )А .
Для дальнейших выкладок граничные условия для каждого сег мента [х,_1, л'/j записываются в форме
(2.23)
1Общее число пробных функций п = 2т + 1.