
книги / Численные методы. Ч. 5
.pdflocale [1] [1]=C*R*h/3.0; localL [0] [0] =L/h; localL [0] [1]=-L/h; localL [1] [0]=-L/h; localL [1] [1]=L/h;
localF [0] =W* (cos (x [k] )- (sin (x [k+1] )-sin (x [k] ))/h) ; localF [1] =W* ((sin (x [k+1] )-sin (x [k] ))/h-cos (x [k+1] )) ;
// формирование матриц коэффициентов и правых частей для объекта globalC[k] [к]+=1оса1С [0] [0]+dt*localL [0] [0] ;
globalC[k] [k+1] +=1оса1С [0] [1]+dt*localL[0] [1] ; globalC[k+l] [к]+=localC [1] [0]+dt*localL[1] [0] ; globalC[k+l] [k+1]+=localC [1] [1]+dt*localL [1] [1] ; globalF[k]+=dt*localF[0]+localC[0] [0]*T[k]
+ localC [0] [1] *T [k+1] ; globalF[k+1]+=dt*localF[1]+localC[1] [0]*T[k]
+localC [1] [1] *T [k+1] ;
}
//определение граничного условия 1-го рода на левом торце globalC [0] [0]=1.0;
f o r (к=1; k<Nk; к++) globalC[0] [к]=0.0; glob alF[0]=Т0*ехр(-0.001*Time);
// определение граничного условия 3-го рода на правом торце globalC[Nk-1][Nk-1]+=A*dt;
globalF[Nk-1]+=A*dt*Te;
//решение системы линейных алгебраических уравнений GAUSS(globalC, globalF, N k ) ;
Реализация алгоритма
Отрезок [0,7С] разбивается на 4 равных сегмента:
[0, я] = [0, я/4] U[л/4, я/2] U[я/2,3л/4] U[3л/4,л].
На каждом из этих сегментов в соответствии с выражением (3.12) определяются кусочно-линейные пробные функции. Решение дифференциального уравнения представляется разложением (3.14). Для построения приближённого решения необходимо решить систе му обкновенных дифференциальных уравнений (3.17) относительно искомых функций Г(/),., / = 0,4.
В соответствии с коэффициентами матриц [с], [л] и {fV} выра жения (3.17), количественными значениями физических констант с, р, X, а, параметров Л и т подсчитываются значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (3.19), что приводит к системе уравнений
\T0+ 07J + ОТ2+ 0T3+ 0Г4 = 100e~°fiU,
(939336-x89,13)f0 +2(l878672 + x89,13)7] + (939336-x89,13)f2 +
+0Г3+ 0Г4= (939336-х89,13)Г0 + 2(1878672+ x89,13)7] +
+(939336-x89,13)7],+x527,393,
ОГ0+(939336-х89,13)7]+2(1878672 + х89,13)Г2 +(939336-х89,13)Г3 +
+0Г4= (939336-x89,13)7] + 2(1878672 + х89,13)Г2 + (939336-х89,13)Г3 +
+т745,846,
ОГ0+07] +(939336-т89,13)f2 + 2(1878672+ т89,13)Г3 +
+(939336-x89,13)f4 = (939336-x89,13)7],+2(1878672+ x89,13)7]> +
+(939336 - т89,13) T4+ x527,393,
ОГ0+07] +0Г2+ (939336-х89,13)Г3 + 2(l878672 + xl 19,13)Г4 =
= (939336 - x89,13) T3+ (1878672 + x89,13) TA+ x699,684.
Согласно условию (3.28) при использовании четырёх сегментов на отрезке [0, тс] для устойчивости схемы Кранка - Николсон необ ходимо выполнение неравенства 10539 < х < 21079 с, что для отрезка времени [0, 3600] неприемлемо.
На рис. 3.11, а представлено приближенное решение рассматри ваемой дифференциальной задачи для области [0,я] с 32 сегментами на заданном отрезке времени [0,3600] и шагом интегрирования т = 100 с, полученное с помощью Программы 3.3. Из рис. 3.11, а вид но, что, как и в предыдущих случаях, вследствие нарушения условия устойчивости 164,7 < х < 329,4 полученное решение имеет распреде ление температуры, не соответствующее закономерностям распреде ления тепла в физическом объекте.
На рис. 3.11, б приведено приближенное решение той же задачи с 32 сегментами на отрезке времени [0, 3600] и шагом интегрирова ния х = 250 с, удовлетворяющим указанному условию устойчивости.
На рис. 3.11, в представлено приближенное решение рассмат риваемого дифференциального уравнения (3.5) для области [0, я] с 32 сегментами на заданном отрезке времени [0, 3600] и шагом ин тегрирования х = 500 с, не удовлетворяющим условию устойчиво сти. Как и в предыдущих случаях, при выполнении расчётов принято,

т
а
т
100,6
100.4
100,2
о р о л / ^ . ; м ' 1__ 1 1 _ -н
100 —
99.8 - 4 Х м а —
0 |
к14 |
п/2 |
Зтс/4 |
л: |
Т |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
100,6 |
|
|
|
|
100.4 |
|
|
|
|
100,2 |
|
|
|
|
100 |
rTm f |
ч|/'Г J 1 1 -++ +++4-'^ □ Emm—. |
|
|
99.8 |
|
J x & S — |
|
|
0 |
п/4 |
к/2 |
Зти/4 |
* |
|
|
в |
|
|
Рис. 3.11. Приближённые решения уравнения (3.5) на отрезке [0, л] при использовании схемы Кранка - Николсон для 32 сегментов
ишагов интегрирования по времени т = 100 с (а), т = 250 с (б)
ит = 500 с (в) для моментов времени / = 0 с (— ), / = 500 с (---- ),
t = 1000 с (-0-), / = 1500 с (-А-), t = 2000 с (-Х-), / = 2500 с (-о-), / = 3000 с (-+-)

Для выполнения вычислительных экспериментов принято зна чение шага т = 15 с, которое одновременно удовлетворяет услови ям устойчивости для 128 сегментов как для разностной схемы Кранка - Николсон (20,58> т> 10,29), так и для неявной разност ной схемы.
Для обеспечения устойчивости решений и сопоставимости ре зультатов расчетов приняты соотношения между длинами сегментов А и шагами интегрирования по времени т, указанные в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Погрешность Ът^тприближённого решения дифференциального уравнения при различном числе т сегментов
т |
и |
т |
8/л.2/п |
т |
h |
X |
&т.2т |
4 |
0,785398 |
15360 |
72,8507 |
32 |
0,098175 |
240 |
2,78998 |
8 |
0,392699 |
3840 |
37,2481 |
64 |
0,049087 |
60 |
0,950411 |
16 |
0,196350 |
960 |
7,26631 |
128 |
0,024544 |
15 |
- |
Для функции двух переменных Тт(/,*), являющейся приближён
ным решением заданного дифференциального уравнения, погрешность
зависит от шагов интегрирования т и А, т.е. 8т = ,А62). В силу ус
ловия устойчивости (3.28), ограничивающего шаги интегрирования, погрешность приближённого решения может быть представлена в виде
функции только одной переменной А, т.е. 5m= 0 {h b).
В табл. 3.3 и на рис. 3.13 приведены значения погрешностей
|
/е[0,61440] |
2т |
т |
определённых сравнением двух последовательных приближённых решений Тти Tim дифференциального уравнения (3.5) при различных значениях числа т и 2т сегментов на одном и том же отрезке време ни te [0,61440| с использованием чебышёвской нормы.
а |
б |
Рис. 3.13. Зависимость от длин h сегментов погрешности bim приближённого решения уравнения (3.5), полученного
сиспользованием разностной схемы Кранка - Николсон
Сприменением формулы (В.1) приближенно определяется поря док погрешности численного решения дифференциального уравне ния (3.5) разложением (3.14) по системе кусочно-линейных пробных функций. Для 5т (рассматривается прямолинейный участок на рис. 3.9) порядок погрешности оценивается значением
Ьт,2т = (In72,85065 - In 0,950411)/(In0,785398 - In0,049087) = 1,56506.
Погрешность полученного приближённого решения дифференци ального уравнения методом Галёркина с использованием разностной схемы Кранка - Николсон интегрирования по времени и системы ку сочно-линейных пробных функций приближённо оценивается как ве личина, пропорциональная длине сегмента h в степени 3/2, т.е.
2т |
т |
&т,2т S |
7^ ' - Z 7^ - ~ 0 ( h m ) |
|
i=0 |
В силу того что 8т—>0 при h —» 0 (иначе, т - » °°), последова
тельность приближённых решений дифференциального уравнения, полученных аппроксимацией (3.14) кусочно-постоянными функция ми, сходится равномерно на отрезке [0, я].
' ’ с 1
Рис. 3.14. Зависимость времени / выполнения расчетов для схемы Крэнка-Николсон от числа т сегментов разностной сетки
На рис. 3.14 приведена зависимость времени t выполнения рас четов от числа т сегментов разностной сетки при использовании схемы Кранка - Николсон для интегрировании по времени.
Выводы
1.Процедура метода Галёркина использована для приближён ного решения нестационарного дифференциального уравнения теп лопроводности. С помощью разностной схемы Кранка - Николсон построена система линейных алгебраических уравнений для опре деления коэффициентов разложения искомого решения по системе пробных кусочно-линейных функций.
2.Разработаны вычислительные программы определения коэф фициентов разложения решения дифференциального решения по системе кусочно-линейных функций.
3.С использованием разработанных программ определены ко эффициенты и построены приближённые решения дифференциаль ного уравнения для 2, 4, 8, 16, 32 и 64 сегментов постоянной длины (см. рис. 3.11).
4.Для указанных последовательностей разложений определены оценки §2т погрешности приближённых решений (см. табл. 3.3) для различного числа т сегментов.
5.Показано, что с уменьшением длины h сегментов погрешно сти приближённых решений нестационарного дифференциального уравнения, полученных на основе схемы Кранка - Николсон, опре деляемые чебышёвской нормой, уменьшаются (см. рис. 3.13), при
этом погрешность имеет порядок 3/2 относительно длины сегментов (шага интегрирования).
6. Выполненное исследование показывает, что последовательно сти приближённых решений дифференциального уравнения, полу ченных методом Галёркина на основе схемы Кранка - Николсон при аппроксимации кусочно-линейными функциями, сходятся равномер но на отрезке [0, тс].
7. Для численного решения на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) дифференциального уравнения методом Галёркина на основе кусочно-линейных функций на разностной сетке, содержащей тп = 64 сегмента, и шагом по времени т = 15 с при использовании раз ностной схемы Кранка - Николсон требуется 0,3846 с (см. рис. 3.14).
4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
4.1. Аппроксимация функции
Для функции на заданном отрезке (табл. 4.1):
-построить аппроксимацию с использованием системы кусочно непрерывных (по указанию преподавателя: кусочно-постоянных, ли нейных, квадратичных, кубических, иерархических) пробных функ ций на основе метода Галёркина;
-сформировать систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения этой функции по заданнной системе функций;
-разработать вычислительную программу для определения коэффициентов разложения для 2, 4, 8, ..., 64 сегментов постоян ной длины;
-д л я указанной последовательности приближений определить погрешности аппроксимации;
-исследовать зависимость погрешности аппроксимации от дли ны А сегментов;
-исследовать сходимость процесса аппроксимации;
-оценить быстродействие вычислительной программы.
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
|
|
Аппроксимация методом Галёркина функции |
||||||
|
с использованием кусочно-непрерывных полиномов |
||||||
№ |
ФункцияДг) |
Отрезок |
№ |
Функцияj[x) |
Отрезок |
||
п/п |
n / n |
||||||
|
|
- |3дг - 5| |
|
||||
1 |
COSJC |
[0, 2к] |
16 |
[-2,5] |
|||
2 |
COSX |
[-71, 7t] |
17 |
M |
|
[0,2] |
|
3 |
sinx |
[0, 2n] |
18 |
- M |
l |
[0,2] |
|
4 |
sinx |
[-K, 7t] |
19 |
x 1 -71 |
[-2,0] |
||
5 |
cos(x-l) |
[0, re] |
20 |
X2 -71 |
[0, 2] |
||
6 |
cos (x + l) |
[л, 2 K ] |
21 |
- x2 + |
2|x| - 1 |
[-2,2] |
|
7 |
sin(x-l) |
[0,71] |
22 |
x2 -2|x| + l |
[-2,2] |
||
8 |
sin(x + l) |
[71, 2K ] |
23 |
x 3 - 3 x |
[1,2] |
||
9 |
|cosx| |
[0, 2K ] |
24 |
x 3 - 3 x |
[-1,1] |
10 |
|COSJC| |
[-71, Я] |
25 |
e x |
[—4,4] |
и |
|sinjc| |
[0, 271] |
26 |
e*~x |
[0, 271] |
12 |
|sinJC| |
[-71, 71] |
27 |
e'~x —7i/2 |
[0, 2] |
13 |
|5-x| |
[4,6] |
28 |
ex~x-n/2 |
[0, 2] |
14 |
- 15 - JC| |
[4, 6] |
29 |
M |
[-2, 2] |
15 |
|3x - 5| |
R , 5] |
30 |
4\x ~A |
[2,4] |
4.2. Одномерное стационарное дифференциальное уравнение теплопроводности
Методом Галёркина с использованием системы кусочно-непре рывных (по указанию преподавателя: кусочно-линейных, квадратич ных, иерархических) пробных функций:
- построить приближённое решение одномерного стационарного дифференциального уравнения теплопроводности
[a.r(jc)J+w( x) = o.
с заданной функцией 1¥(х) и граничными условиями (табл. 4.2); -сформировать систему линейных алгебраических уравнений
относительно коэффициентов разложения искомого решения по заданнной системе пробных функций;
-разработать вычислительную программу для определения ко эффициентов разложения решения дифференциального уравнения по заданнной системе пробных функций для 2, 4, 8, ..., 64 сегментов одинаковой длины;
-определить погрешность приближённых решений для указан ной последовательности сегментов;
-исследовать зависимость погрешности искомого решения от длины h сегментов;
-исследовать сходимость процесса аппроксимации;
-оценить быстродействие вычислительной программы.
При проведении расчётов принять: X = 70 Вт/мград, а = 30 Вт/м2 град; Too - температура окружающей среды, град.