28175_vs_2013-14 / математика, 2 семестр / Интеграл исчисления / матан продолжение

A=7, B=-1

Найденные коэффициенты A=7, B=-1 подставим в разложение п.3.

5) После образований 1-4 выпишем то, во что превратилась исходная неправильная дробь.

Теперь вычисляем интеграл

Определенные интегралы

Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница

Где F(x) – первообразная для функции f(x). Методы, которые используются для нахождения первообразной F(x), аналогичны тем, что используется для вычисления неопределенных интегралов.

9.

В данном примере: Нижний предел интегрирования а = 0 Верхний предел интегрирования b = ½ Подынтегральная функция Первообразная функции

Пояснение, как использовалась формула Ньютона-Лейбница

10.

11.

Для решения примера используем формулу интегрирования по частям, (см. пример 5), причем столько раз, сколько будет нужно.

12.

Замечание: Сделанная в уме замена переменной позволила легко найти первообразную. Если при вычислении неопределенных интегралов с помощью замены переменной после нахождения первообразной возврат от новой переменной к старой делать необходимо, то в определенных интегралах такой возврат можно не делать, но тогда надо пересчитать пределы интегрирования. Таким образом, у каждой переменной – свои пределы интегрирования.

Практически это выглядит так:

Для переменной x пределами интегрирования были: b = 4, a = 1, а для z пределы уже стали b = 6, a = 2.

13.

Данный пример решается с помощью замены переменной. Замену следует делать так, чтобы можно было избавиться от иррациональности, т.е. от корня

Пересчитаем сразу пределы интегрирования.

верхний предел интегрирования для переменной t.

нижний предел интегрирования для переменной t.

Из равенства найдем х. Возведя обе части в квадрат, получим

14. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми .

Построим схематично данную кривую. Исходя из геометрического смысла определения интеграла имеем, что

15. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми . Построим схематично данную кривую.

Для нахождения площади указанной фигуры надо из площади фигуры, ограниченной верхней параболой () вычесть площадь фигуры, ограниченной нижней параболой (), т.е.

16. Вычислить длину дуги кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат .

Для вычисления длины дуги используется формула

.

Применим ее для решения данного примера

Поэтому:

Для вычисления данного интеграла сделаем замену переменной . Пересчитаем пределы интегрирования

Из равенства найдем , тогда .

Кратные интегралы

Вычисление двойных интегралов сводиться к двукратному интегрированию, т.е. вычислению последовательно двух определенных интегралов.

Вычисление можно производить по любой из этих формул

17. Изменить порядок интегрирования.

В данном примере порядок интегрирования выбран как в случае II, т.е. сначала интегрирование происходит по переменной x (при этом y считается постоянной величиной), а затем по y. Требуется изменить порядок интегрирования, т.е. перейти к случаю I. Для этого сначала восстановим область D, которая состоит из двух областей D₁ и D₂ . Область D₁ образована пересечением линий Соответственно область D₂ образована пересечением линий

Уравнение разрешим относительно .

Уравнение разрешим относительно .

Построим области D₁ и D₂ .

Стрелочки, перемещаясь по оси Ох, показывают, в каких пределах должна изменяться переменная х, чтобы была пройдена вся область D₁ или D₂ . Эти же стрелочки вонзаясь снизу в кривые, ограничивающие область D₁ или D₂ , показывают нижний и верхний пределы интегрирования по переменной у. Правая часть уравнения, задающего кривую, в которую вонзается стрела – нижний предел интегрирования по у, правая часть уравнения, задающего кривую, из которой выходит стрела – верхний предел интегрирования по переменной у.

Для того, чтобы пройти всю область D1 стрела перемещается вдоль оси Ох от -1 до 0. Вонзается в кривую , выходит из прямой .

Для того, чтобы пройти всю область D2 стрела перемещается вдоль оси Ох от 0 до 1. Вонзается в прямую , выходит из кривой .

17. Вычислить

Сведем вычисление двойного интеграла к повторному интегрированию. последовательность интегрирования определим сами, из удобства вычисления интеграла. В данном примере лучше сначала интегрировать по переменной х, затем по переменной у. Определим пределы интегрирования. Стрелка, перемещаясь вдоль оси Оу снизу вверх, «пробегает» всю область D, когда , т.е. для переменной у пределами интегрирования будут: число предел, верхний предел. Стрелка вонзается в прямую , выходит из прямой , т.е. для переменной х число 1 – нижний предел, 2 – верхний предел интегрирования.