книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdfэнергий (на нагревание) резистора R. (Сопротивление других частей цепи пренебрегаем по сравнению с R).
Остается еще дополнительная работа 6АД0П= LIdl. По
закону сохранения энергии любая работа идетна приращение какого-то вида энергии. В данном случае остаетсядопустить, что дополнительная работа 5АД0Пидет на приращение энергии
магнитного поля dW длинного соленоида, так как появление именно этого поля связано с появлением тока в цепи:
5Адоп =dW —LIdl. |
(5.34) |
Проинтегрировав выражение (5.34) получим формулудлямаг нитной энергии тока:
1 Тт2 W = LjldI = ——,
или
(5.35)
Выразим формулу (5.35) через величины, характеризую щие само магнитное поле. В случае бесконечно длинного (прак тически очень длинного) соленоида его индуктивность (5.27) можно выразить следующим образом:
N2 |
N2 |
(5.36) |
L = УоИ— S= |
v > |
где -с —длина соленоида, S—площадь его поперечного сечения, V - объем соленоида.
Подставив (5.36) в (5.35) и учитывая (4.101), получимискомое выражение для энергии магнитного поля, заключенного в объе ме V соленоида:
В2
W * V |
(5.37) |
2p-ofx
Учитывая связь В = р0рН >получимдругие аналогичные фор мулы для энергии магнитного поля:
W - .И’оМН . |
(5 .3 8 ) |
и |
|
w = ® H y |
(5 .3 9 ) |
П л о т н о ст ь эн ер ги и м а гн и тн о го п ол я . П ренебрегая крае
вы ми эф ф ектам и н а концах дл ин н ого сол ен ои да будем считать, что м агнитное п ол е этого сол ен ои да одн ор одн о и отлично от нуля только внутри н его. С ледовательно, энергия W (5 .3 7 ) м аг ни тного поля заклю чена только в п ределах сол ен ои да и расп ре дел ен а п о его объ ем у V с п остоянной плотностью w , которую м ож н о получить, разделив W и V . П роизведя дел ен и е (5 .3 7 ),
(5 .3 8 ) и (5 .3 9 ) на объем V получим три ф ормулы дл я объ ем н ой
В 2 |
РоРН 2 |
В Н |
w = ---------= |
2 |
(5 .4 0 ) |
2 ц 0у |
2 |
С ледует отм етить, что полученны е вы раж ения (5 .4 0 ) ана
логичны вы раж ению (1 .1 1 8 ) для объ ем н ой п лотн ости эн ергии электрического поля.
Е сли м агнитное п оле н еодн ор одн о, то его энергия, заклю
ченная в объ ем е V , находится п утем интегрирования п о объем у:
W = f w - d V |
(5 .4 1 ) |
5 .7 . Т о к п р и зам ы к ан и и и р а зм ы к а н и и ц еп и , со д ер ж а щ ей
ин д у к ти в н о сть
При замы кании и размы кании ц еп и , содерж ащ ей ин дук тивность L , в н ей возникает э .д .с . сам оиндукции s s, которая в соответстви и с правилом Л енца в сегда направлена так, чтобы воспрепятствовать изм енению силы тока в ц еп и . Э то приводит к
том у, ч то установление тока п р ои сходи т н е м гн овен н о, а п осте п ен н о . С начала н ай дем характер изм енен и я ток а при размы ка н и и ц еп и .
Л ен ц а и направленная н а п оддерж ан ие тока I. С ледовательно, в соответстви и с законом О м а м ож но записать:
I R = s s ,
или
IR |
= - L — . |
(5 .4 |
2 ) |
|
|
|
dt |
|
|
П реобразуя (5 .4 2 ), получим: |
|
|
||
d l |
R T |
n |
(5 .4 |
3 ) |
— + —1= 0 . |
||||
dt |
L |
|
|
|
У равнение (5 .4 3 ) является линейны м одн ородны м ди ф ф е |
||||
ренциальны м |
уравнением п ервого |
порядка. Разделяя п ер ем ен |
||
ны е и интегрируя, найдем общ ее реш ение этого уравнения: |
||||
1 = А е |
L |
(5 .4 |
4 ) |
|
L |
||||
П остоянная А |
находится из начальны х условий: при t= 0 |
ток в |
||
ц еп и равен 1о- С ледовательно, А=1о. О кончательно зависим ость тока I в ц епи (рис. 5 .1 3 ,6 ) от врем ени t им еет вид:
(5 .4 5 )
В ы раж ение (5 .4 5 ) показы вает, что п осл е отклю чения э .д .с . в сила тока I в цепи н е исчезает м гновенно, а убы вает п остеп ен н о п о экспоненциальном у закону благодаря э .д .с . сам оиндукции .
Граф ик зависим ости I(t) (5 .4 5 ) приведен н а ри с. 5.14.
Рис. 5.14. График зависимости тока I в цепи с индуктивностью L от времени t при отключении э.д.с.
Скорость уменьшения тока I определяется величиной
т = Ь- , |
(5.46) |
которая имеет размерность времени и называется временем ре лаксации или постоянной времени данной цепи. Из формулы (5.45) следует, что т есть время, за которое ток I в цепи умень шается в 6=2,71 раз. Соотношение (5.46) показывает, что чем больше индуктивность L цепи и меньше её сопротивление R, тем медленнее спадает ток I в цепи.
В течение некоторого времени в цепи резистора R и ка тушки L течет ток I, в результате чего по закону Джоуля-Ленца внутренняя энергия резистора R увеличивается, т.е. он нагрева ется. Найдем количество теплоты Q, выделившееся на резисторе R за время t, в течение которого ток I в цепи изменяется от 1о до нуля. Теоретически ток I станет равным нулю при t=oo.
оо |
оо |
2R |
ту2 |
(5.47) |
Q = /r R d t = I02R/e |
ь |
= - S - ; |
||
0 |
0 |
|
* |
|
HO- = Q, |
|
|
|
(5.48) |
2 |
|
|
|
|
Это равенство говорит о том, что энергия магнитного поля ка
тушки с током которой она обладала в начальный момент
2
времени, переходит во внутреннюю энергиюрезистора. Замыкание цепи. Преобразуем цепь, изображенную на
рис. 5.13,а, убрав из неё ключ Ki. В результате получится цепь, изображенная на рис. 5.15.
В момент времени t=0 ключ К замыкается (рис. 5.15,а). В результате сила тока I, проходящего через резистор R и катушку L, начнет увеличиваться. При увеличении тока I в катушке воз-
т
никнет э.д.с. самоиндукции ss = -L —, противодействующая dt
этому и направленная против увеличения тока I. В соответствии с законом Ома можно записать:
IR = s + ss ,
или
IR = s - L — . |
(5.49) |
dt |
|
а) |
б) |
Рис. 5.15. ПроцессустановлениятокаI вцепи с индуктивностью Lпри подключенииеё кисточнику тока:
а) схемацепи;
б) графикзависимоститока Iв цепиот времениt
Преобразуя (5.49), получим: |
|
dl R т £ |
_ЛЧ |
Л + Г 1 - Г ' |
* ' |
Уравнение (5.50) является линейным неоднородным диф |
|
ференциальным уравнением первого порядка. Общее решение |
|
такого уравнения можно получить, прибавив к общему решению |
|
соответствующего однородного уравнения (5.44) любое частное |
|
решение этого уравнения. |
|
Частным решением уравнения (5.50) является |
|
(5.51)
I = — = I 0 .
R0
Таким обр азом , получается общ ее реш ение неоднородного уравнения (5 .5 0 ):
■Л
I = 1л + А - е L |
(5.52) |
П остоянную А в (5 .5 2 ) находим из начальных условий: при Н )
ток в ц еп и 1=0. С ледовательно, А = -1 0 . Окончательно зависи- м ость ток а I в цепи (рис. 5 .15) от времени t имеет вид:
(5.53)
Граф ик зависим ости I(t) (5 .53) приведен на рис. 5.15,6. Зависим ость (5 .5 3 ) показывает, что ток I в цели при её
подклю чении к источнику тока не устанавливается мгновенно, а нарастает п остеп ен н о благодаря э.д.с. самоиндукции.
В этом п роц ессе работа источника тока А ИСт идет на накоп
лен и е энергии |
м агнитного поля W в катушке и на нагревание |
|
р ези стор а (Q ): |
|
|
A „c t = W |
+ Q . |
(5.54) |
О бобщ ая |
полученны е в этом параграфе |
данные, можно |
сделать вы вод |
о том , что э.д .с. самоиндукции |
ss препятствует |
л ю бом у изм енению тока I в цепи, содержащ ей индуктивность L. Э то явление эквивалентно появлению в цепи кажущегося сопро тивления, которое назы вается индуктивны м сопротивлением .
5.S . Т о к см ещ ен и я . В заи м освязь электрического и
магн итн ого полей
Согласно явлению электромагнитной индукции всякое из
м еняю щ ееся во врем ени магнитное поле возбуж дает в окру ж аю щ ем пространстве вихревое электрическое поле (пара1раф 5 .2 ). О сновная гипотеза английского физика Дж.М аксвелла за клю чалась в том , что долж но существовать и обратное явление:
м еж д у его обкладкам и протекал ток проводи м ости, равны й току в соедин и тельн ы х проводах цепи . Так как м агнитное п ол е явля ется обязательны м признаком всякого тока, то М аксвелл назвал рассм атриваем ое п ер ем ен ное поле т о к о м см ещ ен и я 1СМ. С л едо вательно, в рассм атриваем ой цепи ток проводим ости I в п рово д а х равен ток у см ещ ения 1см внутри конденсатора.
(Т ерм ин "ток смещ ения" является неудачны м , н о тем н е м ен ее
он сохраняется д о си х пор в силу исторических традиций).
Р ассм отрим п одр обн ее протекание п ер ем ен ного тока через плоский конденсатор с однородны м и изотропны м диэлектри ком м еж д у обкладкам и. П ри этом краевым эф ф ектом в к он ден саторе буд ем пренебрегать. В случае квазистационарного тока у п овер хн остей раздела плоских м еталлических обкладок и д и электрика линии вектора плотности тока п роводим ости j (линии
тока) и линии вектора электрического смещения D будут пер пендикулярнык этимповерхностям.
Н а ри с. 5 .1 7 . показаны только линии вектора j , а направление
линий D внутри конденсатора указано вектором D, изображен ным около заполненного диэлектриком зазора между обкладка
м и.
Е сли за время dt заряд к онденсатора изм еняется н а dq, то м гновенное значение силы тока I проводим ости в соеди н и тел ь ны х п роводах и в обкладках равно
dt
Т огда м одул ь вектора плотности тока п роводи м ости j вбли зи п овер хн остей обкладок, граничащ их с диэлектриком , оп ределя ется следую щ и м образом :
. _ 1 j 'd q ^j d f q 'j _ dor
(5 .5 5 )
гд е S - площ адь обкладки, a - п оверхностная п лотность заряда н а обк ладк е.
в ся к о е и зм ен я ю щ ееся в о врем ен и электрическое поле долж н о п р и в о д и т ь к п оя в л ен и ю м агнитного поля. Эта идея вполне аналогична откры тию электромагнитной индукции. Разработан ная М аксвеллом на её основе теория электромагнитного поля
получила п ол н ое экспериментальное подтверждение.
Для установления количественной связи между перемен ным электрическим полем и порождаемым им магнитным полем рассм отрим изм еняю щ ееся во времени электрическое поле кон ден сатор а при его зарядке и разрядке, когда он включен в цепь квазистационарного перем енного тока (рис. 5.16). Для простоты
возьм ем плоский конденсатор с диэлектриком.
с
Рис. 5.16. Цепьпеременноготока, содержащаяконденсатор (изображен процесс зарядкиконденсатора)
О пы т показы вает, что по цепи, изображенной на рис. 5.16, перем енны й ток I течет непрерывно, т.е. для переменного тока цеп ь с конденсатором является замкнутой. В то же время ток, обусловленны й движ ением носителей тока (ток проводимости), теч ет только в проводах цепи, соединяющ их обкладки конден сатора с источником переменного тока. В зазоре между обклад ками к онденсатора ток проводимости отсутствует, но между об кладкам и им еется перем енное электрическое поле.
С огласно гипотезе М аксвелла переменное электрическое п ол е в к он ден саторе создает такое магнитное поле, как если бы
