книги / Физические основы нанотехнологий фотоники и оптоинформатики

ющих эволюцией кубитов и средствами измерения состояний кубитов

(см. рис. 12.1).

Идеальный квантовый компьютер имеет состояния, которые все-

гда когерентны. Это означает отсутствие взаимодействия с окружением, создающим шумы и нарушающим когерентность вектора состояния компьютера и точное управление внешних сигналов.

Вектор состояния квантового регистра, состоящего из n кубитов, представляет собой разложение по 2n базисных состояния регистра i1, i2 , ..., in , где i1, ..., in 0,1 .

ai1 , i2 , ..., in i1, i2 , ..., in . i1 , .., in

Здесь ai1 , ..., in – проекциивектора нанаправленияортов i1,i2,...,in. Процесс вычисления на квантовом компьютере состоит в преобразовании начального вектора состояния in компьютера в конечный

вектор состояния f путем умножения начального вектора на унитарную матрицу U размерности 2n 2n :

f U 2n 2n in.

Вначальном состоянии компьютера все кубиты квантового регистра должны находиться в основном состоянии

in 01, 02 , ..., 0n ),

которое не содержит никакой информации о задаче и ее решении. Конечный вектор состояния

2n 1

f axi x x 0

содержит всю информацию о решении задачи. Измерив в базисе состояние каждого из n кубитов, в конечном состоянии получаем любое из

значений 0 x (2n 1) с вероятностями axi 2 . Квантовый алгоритм должен приводить к такому конечному состоянию f , чтобы вероятность правильного решения ps as 2 1 была близка к единице,

321

лась к нулю.

Квантовый компьютер является цифровым вероятностным компьютером, так как дает решение задачи s с определенной вероятностью.

В квантовых вычислениях происходит преобразование начального вектора состояния в конечный вектор через непрерывный ряд состояний. Базисный набор состояний остается неизменным. Динамика состояния компьютера передается изменениями во времени амплитуд, которые являются аналоговыми величинами, принимающими непре-

рывный ряд значений в интервале 0 ax 1. По способу управления

этими величинами квантовый компьютер является аналоговым компьютером. Параметры сигналов (импульсов), управляющих кубитами, должны контролироваться с погрешностью 10–4–10–5.

Таким образом, квантовый компьютер является цифровым ве-

роятностным компьютером с аналоговым управлением, что отличает его от всех типов классических компьютеров.

Матрицу U можно разложить в упорядоченное произведение матриц второго и четвертого порядка с точностью, достаточной для вычислений:

U2n 2n Ui 2 2 U j 22 22 .

i, j

Числа сомножителей второго и четвертого порядка в разложении определяют число однокубитовых и двухкубитовых операций, необхо-

322

димых для реализации алгоритма. Алгоритм считается эффективным, если полное число операций является полиномиальным от числа задействованных в вычислениях кубитах компьютера. Если число операций растет экспоненциально, алгоритм считается неэффективным.

Физическая реализация квантовой операции всегда сопровождается некоторой погрешностью исполнения . Для достижения погрешности в выполнении однокубитовой операции необходимо затратить

Соловей – Китаева [2]:

Если G – конечное множество однокубитовых элементов (поворотных) G Rl , Rm – удовлетворяет условиям

i) l и m – непараллельные оси блоховской сферы, а

i) , 0,2 – действительные числа, так что измерения конеч-

ных состояний и не являются рациональными числами,

(iii) для любого элемента g G его обратный элемент g 1 можно

точно вопроизвести конечной последовательностью элементов из G, тогда любой однокубитовый элемент можно аппроксимировать с по-

Согласно этой теореме любой однокубитовый элемент можно ап-

элементов из конечного множества G.

12.2.СРАВНЕНИЕ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА

СОПТИЧЕСКИМ КОМПЬЮТЕРОМ

Вектор состояния квантового компьютера при вычислениях содержит как цифровую информацию в квантовом регистре x, так

и аналоговую ax информацию в амплитудах квантовых состояний:

323

В квантовом компьютере происходит 2n-кратная интерференция амплитуд для каждого вектора x 0 x (2n 1).

В оптическом компьютере при вычислениях происходит однократная интерференция оптических мод:

Оптический компьютер содержит только аналоговую информацию и относится к классическим компьютерам.

Оптический компьютер может стать квантовым, если он будет работать на кубитах, созданных из когерентных фотонов, состояния которых при вычислениях останутся когерентными.

12.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ КВАНТОВЫХ КОМПЬЮТЕРОВ2

Основная проблема физической реализации идеального квантового компьютера – это быстрый распад чистых квантовых суперпози-

ционных состояний, описываемых вектором cx x , и превра-

x

щение их в смешанные состояния, описываемые матрицей плотности

гистра с неконтролируемым окружением из-за неточности в значениях параметров управляющих импульсов и неконтролируемого взаимодействия кубитов между собой.

Этот процесс называется декогеренцией и выдвигает основное требование к физическим элементам квантового компьютера: время сохранения когерентности состояния должно быть больше времени вычисления. Существует два способа избежать распада когерентности:

1.Максимально изолировать квантовую систему от окружения

иувеличить время когерентности искусственно.

2По материалам работ [1, 3].

324

2. Сокращать время операции op и увеличивать время декогеренции отдельного кубита dc.

Регистр из L кубитов теряет когерентность быстрее, чем один кубит. Отношение времени декогеренции квантового регистра dcL

к времени выполнения вычислительной операции op следующее:

12.3.1. Методы подавления декогеренции

Как было сказано выше, время сохранения когерентности состояний должно быть больше времени вычислений. Существует два способа избежать распада когерентности:

1)квантовую систему максимально изолировать от окружения (сделать ее замкнутой);

2)увеличить время когерентности искусственно.

Квантовый метод коррекции ошибок исправляет амплитудные и фазовые ошибки. Квантовый компьютер должен работать, чередуя вычисления и протоколы коррекции ошибок. Методы коррекции ошибок определяются выбранным кодом, который позволяет корректировать только те ошибки, для которых он предназначен. Эти коды требуют увеличения числа кубитов и числа квантовых операций. При одноступенчатом кодировании число необходимых кубитов увеличивается примерно в 10 раз, во столько же раз возрастает число операций.

Квантовые вычисления называются помехоустойчивыми, если они обеспечивают надежный результат вычислений при указанных ограничениях методов коррекции ошибок. Помехоустойчивость вычислений означает стабилизацию квантово-когерентного состояния компьютера в течение времени, необходимого для выполнения полиномиального алгоритма. Квантовый компьютер может работать сколь угодно долго, если вероятность ошибки в одной элементарной операции меньше порогового значения 10–5–10–6. Это означает, что операции квантовой коррекции ошибок удаляют из компьютера больше ошибок, чем туда вносят. Это утверждение эквивалентно теореме о существовании полномасштабного квантового компьютера.

Квантовая коррекция ошибок возможна также методом слабых непрерывных измерений и обратной связи. Принцип коррекции ошибок с помощью квантовой обратной связи является универсальным.

325

Достаточно контролировать время передачи квантов от объекта к окружению и унитарным преобразованием возвращать состояние системы к прежнему состоянию после каждого акта редукции. Такая коррекция используется, если возможен непрерывный контроль за потерями в локальных узлах квантовых вычислений.

12.3.2. Фазовая декогеренция кубита

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из двух кубитов. Кубит q – квантовая система, кубит е – квантовое окружение системы. В начальный момент t = 0 кубит q находится в суперпозиционном со-

стоянии 0q 1q и с окружением е не запутан.

qe 0 ( 0q 1q ) e 0 .

При включении взаимодействия кубит с окружением е в состоянии 0e и запутывается с ним:

qe t 0q e0 t 1q e1 t .

Втечение времени, меньшего времени декогерентности, состоя-

в качестве базиса.

Представим матрицу плотности системы и окружения в виде

qe t qe t qe t .

Вычислим приведенную матрицу плотности кубита

326

q t e0 t qe e0 t e0 t qe e0 t ,

q t 2 0q 0q * 1q 0q cos * 0q 1q cos 2 1q 1q .

Представим приведенную матрицу плотности кубита в базисе ( 0q 1q ) в матричной форме

Недиагональные матричные элементы приведенной матрицы плотности кубита называются когерентностями. Они исчезают после временидекогеренции. Матрицаописываетфазовуюдекогеренциюкубита.

Существует множество каналов, по которым происходит декогеренция состояний кубитов и квантовых компьютеров.

Амплитудная декогеренция состояния кубита состоит в уменьше-

нии начальной амплитуды состояния кубита. Декогеренция может происходить за счет межкубитовых взаимодействий и возникновения квантового хаоса(взаимодействиедолжнобытьменьшепороговогозначения).

Декогеренция возникает за счет ошибок управления кубитами (величина ошибок управления обратно пропорциональна числу вычислительных операций), поэтому необходимо контролировать частоты генераторов и амплитуды управляющих полей.

Декогеренция кубитов в многоуровневых системах происходит дополнительно за счет переходов с не задействованных в вычислениях уровней энергии. Процесс вычислений влияет на процесс декогерентизации, так как флуктуации управляющих сигналов также могут изменять состояния кубитов.

12.4. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА

Для реализации полномасштабного квантового компьютера, превосходящего по производительности любой классический компьютер, на каких бы физических принципах он ни работал, следует обеспечить выполнение следующих основных требований:

327

1.Реализация кубитов. Физическая система, представляющая собой полномасштабный квантовый компьютер, должна содержать достаточно большое число L > 103 хорошо различимых кубитов для выполнения соответствующих квантовых операций. Стационарные кубиты подходят для построения аппаратной части квантового компьютера. Бегущие кубиты (flyng qubits) используются для передачи квантовой информации (для квантовых коммуникаций).

2.Управление унитарными преобразованиями – способ управле-

ния преобразованиями в квантовых логических цепях.

3.Получение начальных состояний (кубитов) – это присвоение исходных значений кубитам путем инициализации регистров состоя-

ния 000.... Начальные состояния требуются также для квантовой коррекции ошибок.

4.Большое время декогерентности. Время разрушения суперпо-

зиции квантовых состояний должно, по крайней мере, в 104 раз превышать время выполнения основных квантовых операций (время такта). Для этого система кубитов должна быть довольно слабо связана

сокружением.

5.Измерение конечных состояний. Необходимо обеспечить изме-

рение с достаточно высокой надежностью состояния квантовой системы на выходе. Измерение конечного квантового состояния является одной из основных проблем квантовых вычислений.

Измерение должно носить неразрушающий характер, позволяя оставлять кубиты в состояниях, пригодных для дальнейшего использования. Необходимотакжеобеспечитьсчитываниеинформациискубитов.

6.Реализация полного набора универсальных квантовых логических элементов.

Главные технологии для квантового компьютера:

– твердотельные квантовые точки на полупроводниках: в качестве логических кубитов используются либо зарядовые состояния (нахождение или отсутствие электрона в определенной точке), либо направление электронного и/или ядерного спина в данной квантовой точке. Управление: черезвнешниепотенциалыилилазернымимпульсом;

– сверхпроводящие элементы (джозефсоновские переходы, сквиды и др.). В качестве логических кубитов используется присутствие/отсутствие куперовской пары в определенной пространственной области. Управление: внешний потенциал / магнитный поток;

328

–ионы в вакуумных ловушках Пауля (или атомы в оптических ло-

вушках). В качестве логических кубитов используют основное и возбужденное состояния внешнего электрона в ионе. Управление: классические лазерные импульсы вдоль оси ловушки или направленные на индивидуальные ионы + колебательные моды ионного ансамбля;

–смешанные технологии: использование заранее приготовленных запутанных состояний фотонов для управления атомными ансамблями или в качестве элементов управления классическими вычислительными сетями.

Практическое применение квантовых компьютеров

Для практического применения пока не создано ни одного кван-

тового компьютера, который бы удовлетворял всем вышеперечисленным условиям (см. выше общие требования).

На момент 2000 г. наибольший квантовый компьютер был составлен всего из семи кубитов. Этого достаточно, чтобы реализовать алгоритм Шора и разложить число 15 на простые множители 3 и 5. Кнастоящему времени (2019 г.) не известно, на основе какой технологии будет построен квантовый компьютер на 1000 кубитов. По прогнозам к 2020 г. будут реализованы квантовые компьютеры на 100 кубитов.

12.5. КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР НА ОСНОВЕ СПЕКТРОМЕТРА ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА3

В ЯМР-спектрометре (спектрометра ядерного магнитного резонанса) высокого разрешения спины ядер исследуемой молекулы образуют кубиты. Каждое ядро имеет свою частоту резонанса в данном магнитном поле. При воздействии импульсом на ядро на его резонансной частоте оно начинает эволюционировать, остальные же ядра не испытывают никакого воздействия. Для того чтобы заставить эволюционировать другое ядро, нужно взять иную резонансную частоту и дать импульс на ней. Таким образом, импульсное воздействие на ядра на резонансной частоте представляет собой селективное воздействие на кубиты. При этом в молекуле есть прямая связь между спинами, поэтому она является идеальной заготовкой для квантового компьютера, а сам спектрометр представляет собой квантовый процессор.

3 По материалам работы [1].

329

При физической реализации логических вентилей необходимо воздействовать на квантовую частицу (кубит) радиочастотным им-

Если Izl 12 (контролирующий кубит в состоянии 0 ), то при

указанных воздействиях контролируемый кубит совершает переходы

Izk Ixk Iyk Izk .

Если Izl 12 (контролирующий кубит в состоянии 1), то результатэволюции контролируемогокубита другой: Izk Ixk Iyk Izk .

Таким образом, спин Ik эволюционирует по-разному при разных

положениях Izl 12 :

CNOT 00 00, CNOT 01 01, CNOT 10 11, CNOT 11 10.

Здесь в i1i2 i1 – состояние контролирующего кубита.

Однокубитовое преобразование Адамара в технике магнитного резо-

Первые эксперименты на ядерных спинах двух атомов водорода

вмолекулах 2,3-дибромотиофена SCH:(CBr)2:CH и на трех ядерных спинах – одном в атоме водорода H и двух в изотопах углерода 13C –

вмолекулах трихлорэтилена CCl2:CHCl были поставлены в 1997 г.

вОксфорде (Великобритания).

Вслучае использования ЯМР-спектрометра важно, что для селективного воздействия на ядерные спины молекулы необходимо, чтобы они заметно различались по резонансным частотам. Позднее были осуществлены квантовые операции в ЯМР-спектрометре с числом ку-

битов 3, 5, 6 и 7.

330