книги / Физические основы нанотехнологий фотоники и оптоинформатики

В2008 г. другая группа исследователей из Калифорнийского университета объявила об успешной экспериментальной проверке данной теории. «Реинкарнация» кота Шредингера стала возможной. Наблюдатель А теперь может приоткрывать и закрывать крышку ящика, пока не убедится, что у наблюдателя Б кот окажется в нужном состоянии.

Открытие возможности «обратного коллапса» во многом перевернуло представления о базовых принципах квантовой механики.

Возникла идея не просто передачи потоков запутанных частиц

вразнесенные в пространстве приемники, но и хранения таких частиц неопределенно долгое время в приемниках в состоянии суперпозиции для «последующего использования». Еще из работ Раньяды 1990 г. было известно о таких расслоениях Хопфа, которые могли быть топологическими решениями уравнений Максвелла. Это означало, что математически могут существовать ситуации, при которых пучок фотонов или отдельный фотон будет бесконечно циркулировать по сложной замкнутой траектории, выписывая тор в пространстве.

В2008 г. американские исследователи занялись анализом получаемых расслоений и их возможной физической реализацией. В результате были найдены стабильные решения и технические способы, позволяющие реализовать такие решения. Оказалось, что пучок света действительно можно «свернуть в бублик» (точнее, в замкнутый тороидальный узел) и «положить на место» и такое состояние останется стабильным и самоподдерживающимся.

Помимо проблемы «складирования» запутанных частиц, остается нерешенной проблема декогеренции, т.е. утраты частицами запутанности со временем из-за взаимодействия с окружающей средой.

11.6. КВАНТОВАЯ КРИПТОЛОГИЯ5

Квантовая криптология состоит из криптографии (изобрете-

ние и применение секретных кодов) и криптоанализа (взлом секретных кодов).

Квантовая криптография используется для пересылки зашифрованных сообщений по двум каналам связи – квантовому и традиционному. Первый протокол квантового распределения ключа BB84 (КРК) был предложен Беннетом и Брассардом в 1984 г. и реализован в 1989 г. КРК – способ передачи секретных ключей от одной стороны к другой, обнаруживающий любые попытки их перехвата. Необычайно высокий

5 По материалам работ [3, 4].

311

коэффициент ошибок в перехваченном сообщении является отличным индикатором перехвата. При этом никакой полезной информации получить перхватчикам не удается.

Устройство Беннета и Брассарда передало секретный ключ на расстояние 30 см с помощью поляризованного света, прошедщего через кристалл кальцита и ряд электрооптических устройств. С тех пор квантовая криптография являлась одним из бурно развивающихся прикладных направлений квантовой физики, и к 2011 г. несколькими лабораториями и коммерческими фирмами были созданы работающие прототипы передатчиков и приемников.

Следует отметить, что главное преимущество квантовой криптографии состоит в абсолютной безопасности передаваемой информации. Оно базируется на гарантированном уведомлении, что, как только кто-либо попытается перехватить сообщение (подслушивает их), его состояние меняется. Это достигается за счет следующих квантовомеханических эффектов.

Квантовая неопределенность: неизвестный фотон может быть поляризован горизонтально (180 ), верикально (90 ), диагонально (45 и 135 ). Покафотоннеизмерен, ничего нельзясказатьоегополяризации.

Теорема о запрете клонирования квантовых состояний не позволяет восстановить первоначальное состояние перехваченного (измерением) фотона.

Если измерение выполнено (проведено различие между двумя неортогональными состояниями), сигнал навсегда потерян.

Измерения необратимы. Любая суперпозиция случайным образом коллапсирует в результирующее базовое состояние, теряя амплитуду вероятностей, которые были до измерения.

В связи с открытием и успешным тестированием обратимых слабых квантовых измерений основы надежности квантовой криптографии оказались под большим вопросом.

11.7. КВАНТОВЫЕ АЛГОРИТМЫ6

Квантовый алгоритм – это алгоритм, предназначенный для выполнения на квантовом компьютере.

Квантовый алгоритм представляет собой классический алгоритм, который задает последовательность унитарных операций (гейтов, или

6 По материалам работ [3, 4, 5].

312

вентилей) с указанием, над какими именно кубитами их надо совершать. Квантовый алгоритм задается либо в виде словесного описания таких команд, либо с помощью их графической записи в виде системы вентилей (quantum gate array).

Результат работы квантового алгоритма носит вероятностный характер. За счет небольшого увеличения количества операций в алгоритме можно сколь угодно приблизить вероятность получения правильного результата к единице.

Множества задач, допускающих решение на квантовом и классическом компьютерах, совпадают. Квантовый компьютер, таким образом, не увеличивает число алгоритмически разрешимых задач. Весь смысл применения квантового компьютера в том, что некоторые задачи он способен решить существенно быстрее, чем любой из классических. Для этого квантовый алгоритм должен по ходу вычисления генерировать и использовать запутанные квантовые состояния.

Любая задача, решаемая квантовым алгоритмом, может быть решена и классическим компьютером путем прямого вычисления унитарных матриц экспоненциальной размерности, получения явного вида квантовых состояний. В частности, проблемы, неразрешимые на классических компьютерах (например, проблема остановки), остаются неразрешимыми и на квантовых. Но такое прямое моделирование требует экспоненциального времени, и потому возникает возможность с использованием квантового параллелизма ускорять на квантовом компьютере некоторые классические алгоритмы.

Существует три класса квантовых алгоритмов:

1)алгоритмы с квантовыми скрытыми подгруппами преобразований абелевых групп;

2)алгортмы с усилением амплитуд состояний;

3)алгоритмыдлямоделированияквантовыхсистемнакомпьютере. Алгоритмы классов 1 и 3 предусматривают применение дискрет-

ного фурье-преобразования. На квантовом компьютере фурье-преоб- разование выполняется за полиномиальное число (n2) операций.

Алгоритм Гровера (2-й класс), поиска в базе данных, позволяет найти решение уравнения f (x) 1,0 x N за время О( N ). Предна-

значен для поиска некоторого объекта в неструктурированной базе данных. Достигается квадратичное ускорение решения задачи поиска.

313

Алгоритм Шора (1-й класс), факторизации чисел, позволяет разложить натуральное число n на простые множители за полиномиальное от log(n) время. Он является основой для работ по квантовой криптографии и демонстрирует экспоненциальное ускорение задачи раскодирования зашифрованных сообщений стандартом RCA. В основе криптосистемы с открытым ключом RCA лежит предположение, что решение математической задачи о разложении больших чисел на простые множители (например, произведение двух 200-значных чисел друг на друга) требует экспоненциально большого числа операций и астрономического времени на классическом компьютере. Квантовый алгортм Шора дает возможность вычислить простые множители больших чисел за полиномиальное время n3 и взломать шифры RCA криптосистем.

Алгоритм Залки – Визнера позволяет моделировать унитарную эволюцию квантовой системы n частиц за почти линейное время с использованием О(n) кубит. Относится к 3-му классу.

Алгоритм Дойча – Джоза по определению типа дискретной функции от дискретного аргумента позволяет «за одно вычисление» определить, является ли функция двоичной переменной f (n) постоянной (f1 (n) = 0, f2 (n) = 1 независимо от n) или «сбалансированной»

(f3 (0) = 0, f3 (1) = 1; f4 (0) = 1, f4 (1) = 0).

Алгоритм Саймона решает проблему черного ящика экспоненциально быстрее, чем любой классический алгоритм, включая вероятностные алгоритмы.

11.8. ЭНТРОПИЯ ФОН НЕЙМАНА – ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАПУТАННОСТИ ДВУХКУБИТОВЫХ СИСТЕМ7

Квантовая энтропия фон Неймана в абстрактном гильбертовом пространстве n имеет вид

S Tr ln ,

где – статистический оператор (матрица плотности).

Эволюция во времени статистического оператора определяется уравнением фон Неймана

7 По материалам работы [6].

314

ˆ

где H t – оператор Гамильтона (гамильтониан). Для кубитов А и В энтропия имеет вид

S A Tr A log2 A ,

S B Tr B log2 B ,

где«трек» Tr Sp «шпур» – этосуммадиагональныхэлементовматрицы.

Для чистого состояния двухкубитовой системы АВ, когда приведенные матрицы плотности для обоих кубитов имеют вид

log2 A log2 B log2 1 0 и энтропия двухкубитовой системы

Эти смешанные состояния (см. формулы (11.9) и (11.10)) состоят из чистых состояний, описываемых векторами с вероятностя-

ми P 0 12 и P 1 12 .

315

Энтропии для подсистем А и В следующие:

В запутанном состоянии максимальные значения приведенных матриц A и B следующие:

( A )max 12 0A0A 12 1A1A 12 IA ,

( B )max 12 0B 0B 12 1B 1B 12 IB .

Таким образом, квантовая энтропия фон Неймана может служит количественной мерой запутанности двухкубитовых систем. Сравните формулу (11.11) с формулой (11.8).

Список литературы

1.Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. – М.: Сов. радио, 1980. – 15 с.

2.Feynman R.P. Simulating physics with computers // International Journal of Theoretical Physics. – 1982. – Vol. 21, nо. 6. – P. 467–488.

3.Кайе Ф., Лафламм Р., Моска М. Введение в квантовые вычисления / НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т комп. исследований. – М.; Ижевск, 2009. – 360 с.

316

4.Перри Р. Элементарное введение в квантовые вычисления: учеб. пособие. – Долгопрудный: Интеллект, 2015. – 208 с.

5.Нильсен М.А., Чанг И.Л. Квантовые вычисления и квантовая информация. – М.: Мир, 2006. – 826 с.

6.Байков Ю.А., Кузнецов В.М. Квантовая механика: учеб. пособие. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. – 291 с.

317

ГЛАВА 12. КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР

12.1. СТРУКТУРА КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА1

Квантовый компьютер – это компьютер с аналоговым управлением и вероятностным представлением цифрового решения. Основные проблемы, связанные с созданием и применением квантовых компьютеров, заключаются в следующем:

1)необходимо обеспечить высокую точность измерений 10–5–10–4 параметровуправляющихкубитами сигналов;

2)внешние воздействия могут разрушить квантовую систему или внести в нее искажения.

Чтобы использовать квантовую схему для вычисления, нужно уметь вводить входные данные, делать вычисления и считывать результат, поэтому принципиальная схема любого квантового компьютера (рис. 12.1) должна включать следующие функциональные блоки:

– квантовый регистр для ввода данных;

– квантовый процессор для преобразования данных;

– устройство для считывания данных.

Квантовый регистр представляет собой совокупность некоторого числа L кубитов. До ввода информации в компьютер все кубиты кван-

тового регистра должны быть приведены в базисные состояния |0 . Эта операция называется подготовкой или инициализацией.

Рис. 12.1. Схема квантового компьютера [1]

1 По материалам работ [1].

318

Далее определенные кубиты (не все) подвергаются селективному внешнему воздействию (например, с помощью импульсов внешнего электромагнитного поля, управляемых классическим компьютером), которое изменяет значение кубитов, т.е. из состояния |0 они переходят в состояние |1 . При этом состояние всего квантового регистра перейдет в суперпозицию базисных состояний cn n , т.е. состоя-

ние квантового регистра в начальный момент времени t = 0 будет определяться функцией

2L 1

0 cn n .

n 0

Понятно, что данное состояние суперпозиции можно использовать для бинарного (двоичного) представления числа n.

В квантовом процессоре введенные данные подвергаются последовательности квантовых логических операций, которые с математи-

ˆ

ческой точки зрения описываются унитарным преобразованием Umn ,

действующим на состояние всего регистра.

В результате через некоторое количество тактов работы квантового процессора исходное квантовое состояние системы становится новой суперпозицией вида

n,m 0

Для построения любого вычисления достаточно всего двух базовых логических булевых операций. С помощью базовых квантовых операций можно имитировать работу обычных логических элементов, из которых сделаны компьютеры. Поскольку законы квантовой физики на микроскопическом уровне являются линейными и обратимыми, соответствующие квантовые логические устройства, производящие операции с квантовыми состояниями отдельных кубитов (квантовые вентили), оказываются логически и термодинамически обратимыми.

Квантовые вентили аналогичны соответствующим обратимым классическим вентилям, но, в отличие от них, способны совершать унитарные операции над суперпозициями состояний. Выполнение унитарных логических операций над кубитами предполагается осуществлять с помощью соответствующих внешних воздействий, которыми управляют классические компьютеры.

319

После реализации преобразований в квантовом компьютере новая функция суперпозиции представляет собой результат вычислений

вквантовом процессоре. Остается лишь считать полученные значения, для чего производится измерение значения квантовой системы.

Витоге образуется последовательность нулей и единиц, причем

всилу вероятностного характера измерений она может быть любой. Таким образом, квантовый компьютер может с некоторой вероятностью дать любой ответ. При этом квантовая схема вычислений считается правильной, если правильный ответ получается с вероятностью, достаточно близкой к единице. Повторив вычисления несколько раз и выбрав тот ответ, который встречается наиболее часто, можно снизить вероятность ошибки до сколь угодно малой величины.

Впамяти квантового компьютера (регистр состояния) хранятся значения L кубитов, однако квантовая система находится в состоянии, являющемся суперпозицией всех базовых 2L состояний, и изменение квантового состояния системы, производимое квантовым процессором, касается всех 2L базовых состояний одновременно. Соответственно,

вквантовом компьютере вычислительная мощность достигается за счет реализации параллельных вычислений, причем теоретически квантовый компьютер может работать в экспоненциальное число раз быстрее, чем классическая схема.

Программируемый квантовый компьютер в смысле архитектуры фон Неймана построить нельзя в силу теоремы о запрете программирования.

Теорема о запрете программирования:

Разные унитарные операторы U0 ,U1, ..., Un требуют ортогональных программ U0, U1, ..., Un.

Комментарий: пусть программа квантового компьютера состоит из нескольких унитарных операторов. Поскольку существует бесконечное множество унитарных операторов, программный регистр должен быть бесконечного размера.

12.1.1. Идеальный квантовый компьютер

Квантовый компьютер представляет собой регистр из n кубитов, управляемых внешними классическими сигналами. Квантовый компьютер встроен в классическое окружение, состоящее из управляющего классического компьютера и генераторов импульсов, управля-

320