книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии

при 0 <3 ж ^ 1. Обозначим через v1 (х) такую собственную функ­ цию Z-J, что

y i ( * ) > О п р и 0< х < ; 1

1

J vl dx — i

о

о

Операция взятия среднего линейна. Применим эту операцию к системе (V-34). Для этого помножим первое уравнение на vx (х)

ипроинтегрируем его по а: от 0 до 1. С учетом краевых условий

и(V.35) получим:

или

Упростим функцию F (0). Для этого разложим ее по формуле Тейлора в окрестности 0. Найдем: F (в) <=» F (0).

Таким образом, усреднение системы (V.34) дает:

Положения равновесия этого уравнения соответствуют сред­ ним значениям стационарных решений задачи (V.34). Поэтому,

следовательно, система (V-35) скачком переходит в высокотемпе­ ратурный режим, что соответствует тепловому взрыву системы-

171

Разберем сначала случай, когда ос = 1, Ф (0) = Ф х (0). Поло­

жения равновесия уравнения (V.40) являются абсциссами точек пересечения графиков ъх = Ф (0) и z2 = б (0 + 0О). Из рис. Y-5 видно, что уравнение имеет одно, два или три положения равно­ весия, в зависимости от значения параметра б, причем первое (в порядке возрастания 0) положение равновесия 0 Х всегда устой­ чиво, а второе — 02 0 Х — неустойчиво.

Пусть параметр б уменьшается. Тогда нижнее положение равновесия 0Х 0*, второе (неустойчивое) положение равновесия 02 также стремится к 0*, а верхнее положение равновесия 03->0* при 6j->- б*. Величина б* определяет наклон прямой, при котором

вого низкотемпературного режима в высокотемпературный устой­ чивый режим, соответствующий недопустимым температурам. Причем возмущенная система быстро стремится к стационарному режиму 116].

Легко видеть, что б* и 0* (координаты точки касания) опре­

172

Для случая Ф (0) = Фх (0) система (V.41) сводится к квад­ ратному уравнению относительно 0

В общем случае, когда а Ф_1 или а Ф 0, график Ф (0) показан на рис. V-5, б. При этом б* и 0* определяются из той же системы

Описанный метод использоваи для анализа тепловой устой­ чивости реактора гидрокрекинга, описываемого математической

на ЭВМ. Значения 0* и 6* находили соответственно из уравнений:

173

Глава VI

Методы оптимизации химико-технологических процессов

1. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Исследование химико-технологического процесса завершается поиском оптимальных условий его осуществления. В лаборатор­ ных исследованиях и при управлении — это подбор состава смеси, добавок к ней, катализаторов, режимных параметров; при проектировании — это выбор допустимого масштабного пере­ хода и оптимальной конструкции .технологического оборудова­ ния. При решении этих общих задач приходится иногда использо­ вать поиск оптимума и на вспомогательных этапах, главным из которых является наилучшее определение кинетических и термо­ динамических параметров процесса.

При постановке задачи оптимизации должна быть сформули­ рована и количественно охарактеризована оптимизируемая вели­ чина, которую называют целевой функцией, или критерием опти­ мизации у. Необходимо также, чтобы существовала возможность изменения у при изменении величин x v ..., xk, характеризующих состав и свойства сырья и полученного продукта и условия про­

при которых у будет оптимальным (т. е. минимальным или макси­ мальным).

Кроме того, следует учитывать, что на величины могут быть наложены ограничения в виде равенств или неравенств типа:

где XjXy Xj2 — постоянные.

175

Поскольку оптимизация проводится для системы уравиеиий (VI. 1) — (VI.2), не следует стремиться создать алгоритм поиска оптимума, который мог бы быть использован во всех возможных ситуациях, так как он может оказаться непомерно громоздким для большинства реальных задач.

Правильнее рассмотреть задачи, возникающие в реальных случаях, и наиболее эффективные методы поиска экстремума для различных ситуаций (см. главы I —IV).

Все группы задач оптимизации предполагают наличие коли­ чественного оптимизируемого показателя у. При этом зависимости (VI.1) — (VI.2) могут быть заданы в неявном или явном виде. Если в этих зависимостях отсутствуют случайные величины, то ,задачи поиска называют детерминированными (определепными), в противном случае — стохастическими.

Может показаться, что детерминированные задачи возникают при идеализации реальных ситуаций, так как в большинстве исследований ряд входных и выходных величии измеряется с ошибками, и следовательно, они являются случайными величи­ нами. Кроме того, на результаты реального процесса влияет столь большое число факторов, что их полный учет невозможен. Но при хорошей организации исследования ошибки измерения малы и можно исключить факторы, слабо влияющие на у\ это позволяет большую часть реальных задач рассматривать как детерминиро­ ванные.

Более близки к реальным ситуациям, но и более сложны стохастические задачи. Они возникают в тех случаях, когда ошибками .измерения некоторых величин х нельзя пренебречь, а также когда на увлияют неизвестные или неизмеряемые величиныПри больших ошибках и шумовом фоне поиск оптимума может оказаться бессмысленным, но в большинстве случаев удается разделить детерминированное и стохастическое влияние, причем

последнее относительно невелико- «Детерминированные задачи можно разделитьна две группы:

1) задачи, когда зависимости (VI-1), (VI-2), т. е. математическое описание процесса, заданы в явном виде; 2) задачи, когда вид некоторых зависимостей (VI-1), (VL2) неизвестен.

В первом случае для поиска оптимума могут использоваться аналитические и численные методы [1, 2]. При этом физико-хими­ ческий и технологический эксперимент завершается созданием зависимостей (VI. 1), (VI. 2); поиск оптимума осуществляется'при математическом исследовании этих зависимостейВо втор ом слу­ чае поиск оптимума связан с постановкой и анализом физико-хи­ мических экспериментов. Он осуществляется методами, основан­ ными на определении «направления» наиболее выгодного измене­ ния у и движении в этом направлении (например, метод градиента) или методами статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Группа задач оптимизации связана с поиском функций, опре­ деляющих оптимальный режим, например, функциональной зави-

176

симости температуры от длины реактора, при которой будет мак­ симальным выход продукта. К этому классу задач относятся й задачи управления химико-технологическими процессами в не­ стационарных условиях (пуск, остановка, переход от одного режима к другому, управление процессом с быстрой дезактива­ цией катализатора). Существует общая теория выбора оптималь­ ных функций, объединяющая ряд методов, однако для исследо­ вания задач химической технологии применяют лишь вариацион­ ные методы. В настоящее время широко распространено примене­ ние принципа максимума Понтрягина.

В последнее время большое внимание уделяется оптимизации химико-технологических схем, т. е. поиском таких вариантов и маршрутов, которые должны пройти обрабатываемые вещества, чтобы получить наиболее эффективно требуемую продукциюКроме обычных методов оптимизации для решения этих задач применяют методы математической топологии и теории графов*

2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЗАДАЧ

Аналитические методы сводятся к непосредственному опреде­ лению параметров точки экстремума функции многих переменных. Легко установить необходимые условия экстремумаЕсли изме­ нять только один из х , например Хр то у будет функцией только одной переменной с экстремумом в точке xf — хр Но в этой точке производная у по х,■ должна обратиться в нуль. Следова­ тельно, для функции многих переменных необходимые условия экстремума запишутся в виде

Для того, чтобы установить достаточные условия экстремума, выразим / (х) в окрестностях экстремальной точки (при х г = = х\ + Да?!, xk = xl. + Ахк) рядом Тейлора. Так как частные производные по х,- при я,- = х) равны пулю (в соответ­ ствии с необходимым условием) и членами более высоких поряд­ ков, чем второй, можно пренебречь при небольших Ах, то

кk

Если знак разности пе меняется для различных значений Ах, то получим максимум (при отрицательном знаке) или минимум

177

(при положительном знаке). Таким образом, достаточные условия запишутся в виде

Фо

Для поиска экстремума простых дифференцируемых функций, когда на переменные наложены условия типа равенств, часто используют метод неопределенных множителей Лагранжа. Если переменные связаны условиями

ф, (^1» *, / ^— 1, • * .у d (d < А) *

то можно составить линейную комбинацию приведенных выше функций:

А

Обратим внимание, что ЗФldXt = <pf = 0.

Таким образом, составив функцию Ф и приравняв ее произ­ водные по а: и Я нулю, получим систему уравнений (V I.3), решение которой даст оптимальные х] и значения неопределенных мно­

жителей Лагранжа.

' Для сложных реальных ситуаций метод множителей Лагранжа позволяет лишь сформулировать аналитически задачу оптимиза­ ции, а для нахождения оптимальных значений параметров необхо­ димо применение поисковых методов.

3. ПОИСКОВЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЗАДАЧ

Не всегда возможно и даже целесообразно использовать извест­ ное математическое описание процесса для получения системы уравнений, связывающих параметры оптимальной точки. Однако»

* В противном случае система (V I.l), (VI.2) несовместима.

178

всегда возможен поиск экстремума последовательным проведе­ нием расчетов по математическому описанию (VI. 1) при несколь­ ких произвольных наборах х х, ..., хк, сравнением найденных значений у и определением таких наборов, при которых значение у паиболее близко к экстремальному. При поисковых методах обычно задают возможные интервалы изменения каждого из х- В ходе поиска эти интервалы постепенно уменьшают так, чтобы выйти в «узкую» область изменения каждого из #, в которой нахо­

аргумента имеет один экстремум, т. е. является унимодальнойУнимодальная функция может не быть гладкой или непрерывной, она может иметь разрыв-

Метод сканирования. Если е — наименьшее изменение, кото­ рое приводит к ощутимому изменению у, то область поиска жт1х—£inin можно разбить на (ятах—хт1п)1&—1 интервалов и ис­ следовать у на границе каждого интервала. Сравнивая найденные значения у, выберем из них оптимальное. Такой метод называют сканированием (обеганием). Он прост в постановке, позволяет точно определить положение экстремума, но требует очень дли­ тельной вычислительной работы.

Известен ряд вариантов этого метода, позволяющих умень­ шить вычислительную работу при сканировании. Можно, напри­ мер, увеличить шаг поиска в 2Г раз и проводить расчеты при «крупных» шагах 2геПроводя расчеты, наблюдают за величи­ ной у- Найдя широкую «оптимальную» область, начинают дви­ жение в ней, уменьшив шаг в два раза — до 2Г_18Всю процедуру повторяют до получения «узкого» интервала вблизи экстремума. Этот метод хотя и эффективнее простого сканирования, также весьма трудоемок.

Более эффективны методы, основанные на так называемой минимаксной стратегии [3]. Если осуществляется поиск экстре­ мума унимодальной функции в области #min s? х = жтах, то один расчет у (при произвольной величине х = Xj) ие позволяет умень­ шить интервал поиска, поскольку неизвестно, в каком направле­ нии от х х следует двигаться при дальнейшем поискеПоэтому минимальное начальное число расчетов должно быть не меньше

179

Таким образом, активный поиск после каждой пары расчетов позволяет уменьшить область поиска, но это уменьшение зависит от размещения точек х х и х 2- Можно определить эффективность поискового метода по уменьшению в результате поиска области изменения х, в которой находится оптимальное значение, так назы­ ваемой области (интервала) неопределенности 1Х. Понятно, что 1Х зависит от начального интервала неопределенности 10 и числа расчетов к, т. ev lx = lx (lo' &)•

Различные методы поиска могут приводить к различным ин­ тервалам 1Х. Для сравнения поисковых методов целесообразно выбрать наихудшую из возможных для каждого метода ситуацию, которая характеризуется наибольшим из возможных интервалом неопределенности после к расчетов — Lk. По определению

Lfc=max 1Х(2о, ^0

Использовав известный принцип минимакса (минимизация максимального для различных видов поиска интервала неопреде­ ленностей), запишем:

•L£=minLfc=min [m ax lx (lo, Щ

Метод дихотомии. Продолжим рассмотрение поискового метода при первоначальном проведении двух расчетовИз рис- VI-1 видно, что этот интервал должен быть не больше, чем х 2—#min или *^шах—«&1* Следовательно, Ь2 (после двух расчетов) есть макси­ мальная из этих величин, что можно записать в виде:

I(;r2— ;rmin), (*шах— #i)]

Рассматривая рис- VI-1, легко убедиться, что из всех воз­ можных вариантов к минимальной (из максимально возможных)

Рис. VI-1. Возможные результаты двух начальных расчетов при поиске' экстремума унимодальной функции.

величине Ъг приведет планирование, когдах 1 и х 2 располагаются вблизи середины интервала, например на расстоянии е от сере­ дины (рис- VI-2)- Такое планирование часто называют е-мини- макснымМетод, использующий е-минимаксное планирование в последовательном поиске, называют дихотомией (половинным делением).

180